考虑有功和视在功率电气参数的电网级联崩溃模型

金娜,张桂东

(1.广东省新能源和可再生能源研究开发与应用重点实验室,广东广州510640;2.广东工业大学自动化学院,广东广州510006)

1996年8月10日，美国俄勒冈州一条1 300 MW的电力线路发生故障，导致连锁反应停电，影响了美国西部11个州的400多万人[1]。4日后，俄亥俄州的另一次电网小问题引发了美国历史上最大规模的停电，导致数百万人持续15 h处于断电状态[2]。

2006年11月4日，为了让一艘船从高架电缆下驶过，必须切断德国西北部的一个交叉路口的输电线，由此造成负载量发生了微小的变动，进而使负载流量超过安全限值，最终导致欧洲各地发生了大面积停电事故。类似地，在2012年7月底，印度电网的Bina-Gwalior-Agra备用线路停运，致使发生后续的电网级联故障，进而延伸至东部和东北部地区，造成世界历史上最大规模的停电事故[3]。

印度、美国等世界各地频繁发生的大停电引起了人们对连锁故障引发的电网安全问题的极大关注[4-6]。对大停电的调查显示，几乎所有停电都是由初始扰动或相当小的事件引发的[7-8]。例如，当1个车站因超载而发生故障时，它的负荷会自动转移到邻近的车站[9]。如果邻近电网的负载能力足够大，它们通常能够处理额外的负载；然而，如果容量很小，邻近电网会因为过载而崩溃。此外，那些发生故障的站点必须将其负载重新分配给邻近电网，最终导致连续故障；大量站点和输电线路过载并出现故障。

级联故障现象在复杂网络中很常见[10-11]，它在自然界和人们的日常生活中无处不在，就像电网系统一样。由于电网中有大量的节点以及系统中每个节点之间有着强而复杂的耦合线，它们也是复杂的网络系统。近年来，针对复杂电网中的连锁故障进行了相关研究，并提出了许多连锁模型。

文献[12]提出一种模拟真实电力系统的网络分布模型，当1个节点发生故障时，它的负载被随机地重新分配给邻近电网。此外，还提出了其他模型，例如：限制网络中每个节点负载的最大负载模型[13]；用于无标度网络的光纤束模型，其具有幂律分布[14]；考虑级联故障引起的停电中2种类型转变的简化传输系统模型[15]；关于负荷上限和下限的排队模型[16]；根据表征节点容量的关键参数揭示了相变现象的阈值模型[17]；基于网络上流量动态分布的线节点混合动态模型[18]；隐藏故障模型[19]；高鲁棒性和低成本模型、改进的纤维束模型和Kuramoto模型等[20-24]。这些模型预设了移除故障节点之后的负载再分配是随机的或遵循最短路径分配策略；然而，由于电网的电气特性，实际上在移除故障节点之后负载是按电气物理特性重新分配的，因此，都不能反映实际电网，更难以对实际电网的级联崩溃进行准确预判。虽然上述工作对于复杂网络级联崩溃的分析很杰出，但是都没有考虑电网特有的电气物理特性，至今尚未确立一个考虑实际电气物理特性的数学模型。实际电力系统中有3种负荷，即视在、有功和无功负荷，在实际电网中，如果1个节点上的任何类型的负载超过其容量，该节点将会崩溃。

为解决上述模型的不足，本文分析电网特有的电气物理特性，建立1个新型的电网级联崩溃模型。针对已有文献没有基于电网功率的实际电气特性、未考虑功率参数的问题，建立考虑有功和视在功率负载的新型电网级联崩溃模型。在该模型中，如果节点上的任何一种负荷超过其事先确定的容量，节点将发生故障，有功和视在负荷将被重新分配。

1 级联失效模型

已有复杂电力网络所建立的模型由于没有考虑电力网络所特有的电气特性，往往难以较好地反映实际模型。有功和视在功率负载作为电力网络最常见的具有电气特性的部分，是电网中的重要组成部分，因此，要建立能够反映实际的电网复杂网络模型必须考虑有功和视在功率电气参数对电网级联崩溃的影响。

该模型可描述为：

(1)

式中：Pi(t)、Si(t)分别为负载节点i在t时刻的有功功率、视在功率；Φi(t)为t时刻节点i的相邻节点的索引集；Ω(t)为t时刻的节点集合；ΔPji(t)、ΔSji(t)分别为在t时刻节点j到节点i再分配的有功功率、视在功率增量。

(2)

式中pj(t)为节点j的状态，pj(t)=0表示节点j处于正常状态，pj(t)=1表示节点j发生故障，即：

(3)

式中PMj、SMj分别为有功功率、视在功率负载容量。

(4)

式中：β、γ分别为有功功率、视在功率负载的容差参数；Pj(0)和Sj(0)为初始值。

(5)

式中：kj(0)为t= 0时节点j连接的支路数；α为可调参数，它确定了节点的负载强度，α>0。t时刻负载崩溃的比例函数

(6)

式中：ki(t)为t时刻节点i连接的支路数。

用N表示Ω(0)中的节点数，随机地从网络中删除节点(节点i)，根据式(1)—(6)，节点i的负载将被分发到其相邻节点，如果其相邻节点的负载超过其容量，则再分配将再次重复，直到其余节点的所有负载都低于其容量。此后，可以从Ω(t)获得断开的节点的数量，用ai表示。重复此过程，直到网络中的所有节点都被选中1次，并且只被选中1次。定义归一化雪崩指数

(7)

0≤aN≤1，aN= 0表示没有任何节点发生故障，而aN=1表示所有节点都发生故障，并且参数aN越小，发生级联故障的可能性就越小。

显然，较大的容差参数β和γ意味着发生级联故障的概率较小，但会导致设备的成本和体积增加。定义β*、γ*分别为β、γ的阈值，当aN= 0时，每个电网都有其固定的β*和γ*。当β≥β*和γ≥γ*时，不会发生级联故障，β*和γ*越小，电网越稳定。

2 算例分析

文献[25]将代表电厂和电站的2 783个节点作为主要考虑因素，由此模拟欧洲电网。其中这些节点与代表输电线路的3 762条边一起构成了欧洲国家电网[26]。在MATLAB中仿真得到欧洲电网的雪崩指数aN与可调参数α、容差参数β和γ的关系如图1所示。

图 1中雪崩指数aN是容差参数β和γ的函数，α分别取值0.5、1.0、1.5和2.0，根据颜色条指示相应的雪崩指数。随着容差参数的增加，颜色从黄色变为蓝色。很明显，容差参数越大，雪崩指数越小，因此，级联故障发生的可能性越小。

在图1中，随着可调参数α的变大，黄色区域变小，蓝色区域变大，这意味着大的连锁故障概率变小，中、小的连锁故障概率变大，如图2所示。图2中p(aN

随着α的增加，qj(t)会减小(由导出函数推导)，但初始载荷会增加，aN不仅仅由qj(t) 决定，还由qj(t)和初始载荷决定。因此，aN不是关于参数α的递减函数，参数α取决于初始载荷的增长率和qj(t)的递减率。在欧洲电网中，p(aN<0.2)以上的线路随着α的增加而增加，但p(aN<0.2)以下的线路在α= 1时达到最大值，随后减少。图1显示，轻载工况下(α较小)的危险区域(黄色区域)和安全区域(蓝色区域)都大于满(重)载工况下(α较大)的危险区域和安全区域，这是合理的，即在实际电力系统中，轻载工况运行时发生连锁故障的概率通常较小，但一旦发生，通常是非常大的连锁故障，而满(重)载工况运行时的连锁故障较大，但一旦发生，通常是小的连锁故障。此外，当α<1时，随着α的增加，蓝色区域增加，而黄色区域减少，这意味着在非常轻的负载条件下，随着负载的增加，级联故障的概率变小。

图1 雪崩指数aN和α、β、γ的关系Fig.1 Relationships between avalanche index aN and β、γ、α

图2 连锁故障概率p与可调参数αFig.2 Relationship between cascading failure probability p and adjustable parameter α

临界容差参数β*、γ*与可调参数α的关系如图3所示。β*、γ*应随α的增加而下降，β*、γ*在0<α<0.7时下降，在α≥0.7时上升。

图3 α与β*、γ*的关系Fig.3 Relationship between αandβ*、γ*

如图3所示，随着可调参数α的变化，可以找到不同的临界容差参数β*和γ*。对于工程师来说，设计具有适当容量的设备以防止级联故障并降低成本是有用的。

3 结束语

本文利用复杂网络理论，提出了考虑有功和视在功率电气参数的电网级联崩溃模型。研究发现，随着可调参数α的增大，大的级联失效概率增大，而中、小的级联失效概率减小，而极小的级联失效概率在α=1时达到最大值。此外，临界容差参数不会随着α的增大而减小，当α=0.7时，临界容差参数会达到最小。因此，为了保证电网的稳定性和低成本，研究了容差参数β和γ以及可调参数α对级联失效概率的影响，找出阈值β*和γ*来选择合适的容差参数具有重要意义。