复习匀变速直线运动的“54321”

摘 要：勻变速直线运动作为运动学的核心内容，不仅是高中物理教学的重点内容，而且也是高考必考的知识，本文探究如何有效地复习和掌握有关匀变速直线运动的知识要点.

关键词：匀变速直线运动;速度公式;位移公式;位移;速度;加速度

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2022）04-0096-05

匀变速直线运动是运动学中最典型最基本的运动，有关匀变速直线运动的知识是运动学奠基性的内容之一，其重要性不言而喻.如何有效复习和熟练掌握相关的匀变速直线运动的知识和方法，我们认为必须紧紧抓住以下的“54321”.

1 把握五大公式

匀变速直线运动是运动学中最为典型的运动，描述匀变速直线运动规律的五大公式是运动中最为重要的关系式.

1.1 速度公式

速度公式v=v0+at是描述做匀变速直线运动的物体其速度随时间的变化规律，它涉及末速度v，初速度v0，加速度a，时间t等物理量，速度公式是一个矢量式.

例1 汽车以15m/s的速度在水平路面上匀速前进，紧急制动后做匀减速直线运动，加速度大小为3m/s2，则刹车后4s时汽车的速度为（  ）.

A. 27m/s B. 3m/s C. 10m/s D. 0

分析 由速度公式得：

v=v0+at=15m/s-3×4m/s=3m/s

可见，选项B正确.

1.2 位移公式

位移公式x=v0t+12at2是描述做匀变速直线运动的物体其位移随时间的变化规律，它涉及位移x，初速度v0，加速度a，时间t等物理量，位移公式是一个矢量式.

例2 一辆汽车匀速行驶，然后以1m/s2的加速度加速行驶，从加速行驶开始，经12s行驶了180m，则汽车开始加速时的初速度为多大？

分析 位移公式x=v0t+12at2得：v0=xt-at2=18012-1×122s=9m/s

所以，汽车开始加速时的初速度为9m/s.

1.3 速度-位移关系式

速度-位移公式v2t-v20=2ax是描述做匀变速直线运动的物体其速度与位移之间的关系，它涉及末速度vt，初速度v0，加速度a，位移x等物理量，速度-位移公式是一个矢量式.

例3 某航母跑道长200 m，飞机在航母上滑行的最大加速度为6 m/s2，起飞需要的最低速度为50 m/s.那么，飞机在滑行前，需要借助弹射系统获得的最小初速度为（  ）.

A.5 m/s B.10 m/s C.15 m/s D.20 m/s

分析 位移公式v2t-v20=2ax得：

v0=v2t-2ax=502-2×6×200m/s=10 m/s，可见选项B正确.

1.4 平均速度公式

平均速度的定义式是v-=xt，对于匀变速直线运动，平均速度为v-=v0+vt2=vt2.平均速度公式是矢量式.

例4 一物体做匀加速直线运动，通过一段位移Δx所用的时间为t1，紧接着通过下一段位移Δx所用的时间为t2.则物体运动的加速度为 （  ）.

A.2Δxt1-t2t1t2t1+t2  B.Δxt1-t2t1t2t1+t2

C.2Δxt1+t2t1t2t1-t2D.Δxt1+t2t1t2t1-t2

分析 用平均速度公式先求得物体通过第一段位移Δx的中时速度，即vt12=Δxt1，再求得物体通过第二段位移Δx的中时速度，即vt22=Δxt2，利用速度公式得：vt22-vt12=at12+t22，解得：a=2Δxt1-t2t1t2t1+t2.可见，选项A正确.

1.5 推论

由匀变速直线运动的规律可推出xm-xn=（m-n）aT2.此公式是处理纸带的理论依据.

例5 质点做匀加速直线运动，由A到B和由B到C所用时间均是2s，且前2s和后2s位移分别为24m和60m，求该质点运动的加速度.

分析 由推论得：x2-x1=（2-1）aT2

即a=x2-x1T2=60-2422m/s2=9m/s2

在五大公式中，共涉及v0、vt、a、t、x等五个物理量，其中每个公式中都含有四个物理量，只要知道三个物理量就可求出另外一个物理量.在运用五大公式解题时，务必注意公式的矢量性和适用性，务必注意解题的结果必须与实际问题相符合.

2 熟悉四种方法

2.1 图像法

有些问题用公式法求解会遇到麻烦，甚至无法解答，但如果使用图像法反而轻而易举.

例6 某物体以一定的初速度从A点冲上固定的光滑斜面，到达斜面最高点C时速度恰为零，如图1所示，已知物体运动到斜面长度3/4处的B点时，所用的时间为t，求物体从B滑到C所用的时间.

分析 先作出物体运动过程的v-t图像，如图2所示.

由数学知识可知，相似三角形面积之比等于对应边平方比，即：

S△AOCS△BDC=CO2CD2

图1          图2

在v-t图像中，图线与坐标轴围成的面积表示物体的位移，则S△AOC=4S△BDC

而OD=t，OC=t+tBC，将这些条件代入上式得：

41=t+tBC2t2BC，解得：tBC=t.

2.2 逆推法

有些問题顺着研究比较麻烦，倒过来解答就比较容易，比如解决匀减速至速度为零的运动，逆向过程就是初速度为零的匀加速运动，用逆推法解决起来更容易.

例7 （2019年全国卷1）如图3所示，篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮，离地后重心上升的最大高度为H.上升第一个H4所用的时间为t1，第四个H4所用的时间为t2.不计空气阻力，则t2t1满足

（  ）.

A.1<t2t1<2    B.2<t2t1<3

C.3<t2t1<4D.4<t2t1<5

图3

分析 运动员起跳到最高点的运动是一个末速度为零的匀减速运动，如果把这个运动逆过来分析，就是初速度为零的匀加速直线运动.对初速度为零的匀加速直线运动，经过相同位移所用的时间之比为t1∶t2∶t3∶t4∶…=1∶2-1∶3-2∶4-3∶…，则运动员上升第一个H4所用的时间t1与第四个H4所用的时间t2之比为t2t1=14-3=3.732，可见选项C正确.

2.3 相对法

取不同的参考系，有时对一些特定问题的解答会有意想不到的效果.

例8 火车以速率v1向前行驶，司机突然发现在前方同一轨道上距车为s处有另一辆火车，它正沿相同的方向以较小的速率v2做匀速运动，于是司机立即使车做匀减速运动，该加速度大小为a，则要使两车不相撞，加速度a应满足的关系为（  ）.

A.a≥v21-v222s  B.a≥v212s

C.a≥v222sD.a≥（v1-v2）22s

分析 取前方做匀速运动的火车为参考系，则后方火车的初速度为v1-v2，为使两车刚好不相撞，只要后方火车通过位移s后的速度恰好减小为零即可，由位移-速度公式v2t-v20=2ax得：

（v1-v2）2=2as

解得：a=（v1-v2）22s

可见，要使两车不相撞，加速度a应满足的关系为a≥（v1-v2）22s，选项D正确.

2.4 全程法

全程法是指对于某几个小过程在加速度不变的情况下，可以取全程进行研究，有时反而可以简化解题的繁琐.

例9 物体在恒力F1作用下，从A点由静止开始运动，经时间t到达B点.这时突然撤去F1，改为恒力F2作用，又经过时间2t 物体回到A点.求F1 、 F2大小之比.

分析 物体在恒力F1作用下，根据牛顿第二定律得：F1=ma1

设过程的位移为x，由位移公式得：x=12a1t2

接着，物体在恒力F2作用下，先做匀减速运动，直至速度减为零，然后，物体开始返回做匀加速运动，最后回到出发点，取全程运动进行研究.

根据牛顿第二定律得：

F2=ma2

此时物体的位移为-x，由位移公式得：

-x=v×2t-12a22t2

由于后一过程的初速度等于前一过程的末速度，即：

v=a1t

解以上五式得：F1∶F2=4∶5

3 理解三个物理量

在运动学里，有三个重要的物理量，即位移x、速度v和加速度a.

（1）位移.描述物体位置变化的物理量，位移是矢量，用初位置指向末位置的有向线段来表示.

（2）速度.描述运动快慢的物理量，速度是矢量，用位移与发生这个位移所用时间的比值来表示.平均速度是描述某段时间（或位移）内的运动快慢，瞬时速度是描述某时刻（或某位置）的运动快慢.

（3）加速度.描述速度变化快慢的物理量，用速度的变化与对应的时间的比值来表示.加速度是矢量.

例10 以下说法正确的是（  ）.

A.位移的大小与路程总是相等

B.速度的大小与位移的大小成正比

C.加速度的大小与速度的大小有关

D.加速度描述速度变化的快慢，但加速度的大小与速度的大小无关

分析 位移和路程是两个不同的概念，只有在物体做方向不变的直线运动时，物体的位移大小才与路程相等，选项A错误;速度是描述物体位置改变快慢的物理量，速度的大小与位移的大小并无直接关系，则选项B错误;加速度的大小与速度的大小无关，选项C错误，选项D正确.

例11 某物体做匀减速直线运动，其初速度为v0=20m/s，经时间t=5s，末速度vt=5m/s，方向与初速度方向相反，求：

（1）加速度多大？

（2）物体的位移多大？

（3）这段时间内物体的平均速度？

分析 （1）由速度公式v=v0+at得：a=vt-v0t=-5-205m/s2=-5m/s2

（2）由位移公式x=v0t+12at2

得：x=20×5-12×5×52m=37.5m

（3）由平均速度的定义式v-=xt得，v-=37.55m/s=7.5m/s

4 关注二个注意点

4.1 矢量性

由于五大公式都是矢量式，使用时必须规定正方向，与正方向一致的物理量应取正，与正方向相反的物理量应取负，在解题时务必牢记.

例12 某同学将手中的“溜溜球”沿竖直方向向上抛出，已知其出手时的速度是5m/s，经过3s，该球落到抛出点下某处，速度为25m/s，已知该球在运动过程中加速度不变，则该球的加速度大小为（  ）.

A.6.67m/s2 B.10m/s2 C.8m/s2 D.9m/s2

错解 已知初速度v0=5m/s，末速度vt=25m/s，由速度公式v=v0+at得：

a=vt-v0t=25-53m/s2=6.67m/s2

则选项A正确.

正解 选取竖直向上的方向为正方向，则物体的初速度为v0=5m/s，末速度vt=-25m/s，由速度公式v=v0+at得：

a=vt-v0t=-25-53m/s2=-10m/s2

加速度为负，表示加速度的方向与正方向相反，即加速度a的方向沿竖直向下方向，故选项B正确.4.2 相符性

应用五大公式解决一些实际问题时，要注意解题的结果应与实际情况相符合.

例13 汽车以15m/s的速度在水平路面上匀速前进，紧急制动后做匀减速直线运动，加速度大小为3m/s2，则刹车后6s时汽车的速度大小为（  ）.

A. 3m/s B. 2m/s C. 1m/s D. 0

错解 由速度公式v=v0+at得：v=15m/s-3×6m/s=-3m/s，可见刹车后6s时汽车的速度大小为3m/s，选项A正确.

正解 由速度公式v=v0+at可求得汽车速度减小为零的时间为：

t=v-v0a=0-15-3s=5s

由此可知汽车刹车5s后速度已经减小到零，第6s汽车处于靜止状态，因此，刹车后6s时汽车的速度大小为零，故选项D正确.

5 处理一条纸带

利用打点计时器打出的纸带求出物体的速度和加速度是力学实验中的关键环节.

（1）求速度.利用某段时间内的平均速度与这段时间中间时刻的瞬时速度大小相等的原理求出瞬时速度，即vt2=xt.

（2）求加速度.最典型的纸带是具有6段位移（共有7个计数点，这里的位移是指相邻的二个计数点间的距离）的情形，由推论xm-xn=（m-n）aT2可得：

a1=x4-x13T2，a2=x5-x23T2 ，a3=x6-x33T2

则物体的加速度为：

a=a-=a1+a2+a33=x6+x5+x4-x3-x2-x13×3T2

例14 某同学研究小车的匀变速直线运动.实验时，他将打点计时器接到频率为50 HZ的交流电源上，得到一条纸带，打出的部分计数点如图4所示（每相邻两个计数点间还有4个点，图中未画出）.s1=3.59 cm，s2=4.41 cm，s3=5.19 cm，s4=5.97 cm，s5=6.78 cm，s6=7.64 cm.则小车的加速度a=m/s2（要求充分利用测量的数据），打点计时器在打B点时小车的速度vB=m/s.（结果均保留两位有效数字）

图4

分析 由于两相邻计数点间的时间间隔T=0.1 s;

由 a=x6+x5+x4-x3-x2-x13×3T2

可得：

a=5.97+6.78+7.64-3.59-4.41-5.19×10-29×0.12m/s2

=0.80m/s2

打点计时器在打B点时小车的速度

vB=s1+s22T=3.59+4.41×1022×0.1m/s

=0.40 m/s.

总之，在复习和学习匀变速直线运动时，必须牢牢把握“54321”，注意弄清概念，理解规律，掌握方法，提高能力，以达到高效复习的目的.

参考文献：

[1] 成金德.实例分析纸带的处理方法[J].高中数理化，2018（7-8）：79-82.

[2] 成金德.浅谈位移公式x=v0t+12at2的含义和应用[J].中学生数理化，2020（10）：33-35.

[责任编辑：李 璟]