谈谈立体几何中的点到直线距离的求法

甘志国

摘 要：很少文献谈及立体几何中的点到直线距离的求法，文章较好地解决了这一问题.

关键词：立体几何;点到直线距离;求法;向量

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2022）04-0076-03

在立体几何中，求点到平面的距离、异面直线的距离、直线到平面的距离（此时直线与平面不相交）、两个平行平面的距离有一个统一的公式d=AB·nn，其中两点A，B分别在两个图形上，n指平面的一个法向量（求两条异面直线的距离时，n与这两条异面直线的方向向量均垂直）.

但用以上公式不能求点到直线的距离，下面谈谈立体几何中点到直线距离的求法.

定理 （1）如图1所示，若直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是空间任一点，且AP=a，PQ⊥l于点Q，则

PQ= AP2-AQ2=a2-（a·u）2.

（2）如图2所示，点A∈l，直线m与直线l平行或重合，在直线m上选非零向量m，P是空间任一点，过点P作PH⊥l于点H.若AH=d，点P到直线l的距离PH=h，则

d=AP·mm，h= AP2-d2.

（3）在空间直角坐标系中，若三点A，B，C（两点B，C不重合）的坐标分别是（x1，y1，z1），（x2，y2，z2），（x3，y3，z3），则点A到直线BC的距离

h=[（x2-x1）2+

（y2-y1）2+（z2-z1）2]

[（x3-x1）2+（y3-y1）2+（z3-z1）2]-

[（x2-x1）（x3-x1）+（y2-y1）（y3-y1）+（z2-z1）（z3-z1）]2（x2-x3）2+（y2-y3）2+（z2-z3）2.证明 （1）（ⅰ）当Pl时，由题设及图1，可得a在直线l上的投影向量AQ=（a·u）u.

在Rt△APQ中，由勾股定理可得欲证结论成立.

（ⅱ）当P∈l时，可得

a2-（a·u）2=a2-（a·ucosπ）2=0

=PQ.

综上所述，可得欲证结论成立.

（2）（ⅰ）当点Pl时，由题设，得

AP·m=m·AP·cos〈AP，m〉=md.

解得d=AP·mm.

在Rt△APH中，由勾股定理，得

h=AP2-d2.

（ⅱ）当点P∈l即点P，H重合时，由题设可得〈AP，m〉=0或π.

所以d=AP=AP·mm，

h=0=AP2-d2.

（3）由结论（1），可得点A到直线BC的距离

h=[（x2-x1）2+

（y2-y1）2+（z2-z1）2]

[（x3-x1）2+（y3-y1）2+（z3-z1）2]-

[（x2-x1）（x3-x1）+（y2-y1）（y3-y1）+（z2-z1）（z3-z1）]2

（x2-x3）2+（y2-y3）2+（z2-z3）2①

由拉格朗日恒等式：

若ui，vi∈C（i=1，2，…，n;n≥2），则

∑ni=1u2i∑ni=1v2i-∑ni=1uivi2=∑1≤i<j≤n（uivj-ujvi）2.

令n=3，可得恒等式

（u21+u22+u23）（v21+v22+v23）-（u1v1+u2v2+u3v3）2

=（u1v2-u2v1）2+（u1v3-u3v1）2+（u2v3-u3v2）2.

由此恒等式，可得

（a21+b21+c21）（a22+b22+c22）-（a1a2+b1b2+c1c2）2

=（a1b2-a2b1）2+（a1b3-a3b1）2+（a2b3-a3b2）2.

（a21+b21+c21）[（a1+a2）2+（b1+b2）2+（c1+c2）2]-[a1（a1+a2）+b1（b1+b2）+c1（c1+c2）]2

=[a1（b1+b2）-（a1+a2）b1]2+[a1（c1+c2）-（a1+a2）c1]2+[b1（c1+c2）-（b1+b2）c1]2

=（a1b2-a2b1）2+（a1b3-a3b1）2+（a2b3-a3b2）2.

所以（a21+b21+c21）[（a1+a2）2+（b1+b2）2+（c1+c2）2]-[a1（a1+a2）+b1（b1+b2）+c1（c1+c2）]2

=（a21+b21+c21）（a22+b22+c22）-（a1a2+b1b2+c1c2）2.

在该恒等式中令

a1=x2-x1，b1=y2-y1，c1=z2-z1，a2=x3-x2，b2=y3-y2，c2=z3-z2，

由①可得欲证结论成立.

注 第（1）问得到的结论就是普通高中教科书《数学·选择性必修·第一册·A版》（人民教育出版社，2020）第33页给出的结论的推广.实际上，它与第（2）问的结论如出一辙.

题1 如图3所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上且AE=EB，求点E到直线A1D的距离.

解法1 如图4所示建立空间直角坐标系D-xyz，得点D（0，0，0），A1（1，0，1），E（1，1，0），

所以A1E=（0，1，-1），A1D=（-1，0，-1）.

在定理（2）中可选m=A1D，

进而可得

d=A1E·A1DA1D=12.

所以点E到直线A1D的距离

h=

AE2-d2=2-12=62.

解法2 如图4所示建立空间直角坐标系D-xyz，得点D（0，0，0），A1（1，0，1），E（1，1，0），所以由定理（3）可得点E到直线A1D的距离

h=62.

解法3 可求得△A1DE是邊长为2的正三角形，用等面积法也可求得答案.

题2 （2021年高考上海卷第9题）在圆柱底面半径为1，高为2，AB为上底底面的直径，点C是下底底面圆弧上的一个动点.若点C绕着下底底面旋转一周，则ΔABC面积的取值范围是.

解法1 如图5所示，过点C作CC′⊥上底面于点C′，再过点C′作C′H⊥AB于点H，可得AB⊥平面CC′H，所以AB⊥CH.

图5可得C′H的取值范围是[0，1]（当且仅当点C′与点A或点B重合时，C′H=0;

当且仅当点C′与上底面的两个半圆AB的中点重合时，C′H=1）.

所以△ABC的高CH=CC′2+C′H2=22+C′H2的取值范围是[2，5].

所以△ABC面积12AB·CH=CH的取值范围是[2，5].

解法2 如图6所示建立空间直角坐标系O′-xyz（其中O′是圆柱下底面的中心），可得两点

A（0，-1，2），B（0，1，2）.

可设点C（cosθ，sinθ，0）（0≤θ<2π）.

由定理（2），可得点C到直线点AB的距离

h=5-sin2θ.

进而可得h的取值范围是[2，5].

所以△ABC面积12AB·h=h的取值范围是[2，5].

参考文献：

[1]赵坤武.立体几何中有关距离的统一公式[J].数理化解题研究，2007（04）：8-10.

[责任编辑：李 璟]