一类平面五次扰动系统的极限环分支

杨春妮，洪晓春

(1.陕西师范大学 数学与统计学院, 陕西 西安 710119;2.云南财经大学 统计与数学学院, 云南 昆明 650221)

为了解决希尔伯特第16问题,Aronld于1990年提出了弱化的希尔伯特第16问题[1],即研究扰动系统的Abel积分孤立零点个数的上界问题.在此之后的几十年里，大量学者对Abel积分零点个数问题进行了研究，也获得了很多优秀成果,但是此问题也没有得到彻底解决.

对于四次哈密顿系统

(1)

其中a,b,c∈.文献[2]证明了系统(1)在(α+βx+γx2)y扰动下的极限环个数至少是2.

对于扰动的三次系统

(2)

文献[3]证明了系统(2)的极限环个数不超过12.

对于扰动的三次系统

(4)

文献[4]使用判定函数方法[5]及数值模拟方法[6]得出系统(4)可以同时分支出3个极限环,而且给出了3个极限环的具体位置.

对于扰动的四次系统

(5)

文献[7]使用判定函数及数值模拟的方法得出系统(5)可以同时分支出3个极限环.

对于扰动的五次系统

(6)

文献[8]使用判定函数及数值模拟的方法得出系统(6)可以同时分支出3个极限环.

对于扰动系统

(7)

其中R(x,y,λ)=mx2+ny2+ky4-λ.文献[9]使用判定函数及数值模拟的方法得出系统(7)可以同时分支出15个极限环,而且给出了15个极限环的具体位置.

对于五次哈密顿系统

(8)

文献[10]对系统(8)相图情况进行了分类，分为a,b,c,d,e,f,g7种情况.进一步证明了系统(8)在任意n次多项式扰动下的极限环个数不超过54n-13.

(9)

其中0<ε≪1,a0,a1,a2,a3∈.当a3=0时,文献[11]得出系统(9)可以同时分支出3个极限环，给出了出现双尖点极限环的情况.

继续使用判定函数及数值计算的方法,得出系统(9)可以同时分支出4个极限环.当ε=0.001,a0=-0.231 771,a1=-2,a2=2.8,a3=-2.6时,使用数值模拟方法给出了4个极限环的具体位置,同时呈现了双尖点极限环.

1 对非扰动系统的定性分析

这一部分，将对系统(9)所对应的非扰动系统的性态进行分析.

系统(9)对应的非扰动系统为

(10)

图1 非扰动系统(10)的相图

系统(10)的首次积分为

(11)

由(11)得

(12)

当y=0时,由(11)得

x6-3x4+3x2-6h=0.

(13)

对于任意给定的h(0

2 判定函数与判定曲线

这一部分，将引入扰动系统的判定函数、判定曲线等概念,以及需要使用的定理.

文献[5]中研究了扰动系统

(14)

其中p(0,0)=q(0,0)=0.系统(14)的Abel积分为

A(h)=∮Γhy[q(x,y)-λ]dx-x[p(x,y)-λ]dy.

(15)

令Abel积分A(h)=0,使用格林公式,我们得到

(16)

其中Γh(D)表示闭曲线Γh所围的区域.函数λ(h)称为扰动系统(14)的判定函数,判定函数对应的图像称为判定曲线.

定理1[12]对于任意给定的λ0,

(i)如果点(h0,λ(h0))是直线λ=λ0与判定曲线λ=λ(h)的交点,且λ′(h0)>0(<0),则当λ=λ0时,系统(14)在Γh0附近有一个稳定(不稳定)的极限环.

(ii)如果直线λ=λ0与判定曲线λ=λ(h)没有交点,则当λ=λ0时,系统(14)没有极限环.

同理,如果随着h的增加,Γh向内收缩,则极限环的稳定性与之相反.

3 扰动系统(9)的极限环分支

这一部分，将给出扰动系统(9)的判定函数及判定曲线,使用判断曲线得出结论,再用数值模拟方法对结论进行了检验,给出极限环的具体位置.

对于扰动系统(9),可得其Abel积分为

A(h)=∮Γh(a0+a1x2+a2y2+a3x2y2)ydx.

(17)

对于(17),使用格林公式得

A(h)=∬Γh(D)(a0+a1x2+3a2y2+3a3x2y2)dxdy.

(18)

令A(h)=0,由(18)可得2个判定函数如下:

(19)

(20)

当a1=-2,a2=2.8,a3=-2.6时,由(12)、(13)、(19)、(20),得判定函数如表1.

表1 当a1=-2,a2=2.8,a3=-2.6时, 扰动系统(9)的判定函数

由表1表示的函数,可以得系统(9)的判定曲线见图2.由定理1及系统(9)的判定曲线,可以得出以下定理.

图2 扰动系统(9)的判定曲线 图3 系统(9)的4个极限环图

定理2对于扰动系统(9),当a1=-2,a2=2.8,a3=-2.6,0<ε≪1时,由系统的判定曲线,可得到以下结果.

(i)当a0>0.307 368 或a0=-0.377 335 时,系统有1个极限环.

(ii)当-0.377 335

(iii)当0≤a0<0.307 368 或a0=-0.307 992 时,系统有3个极限环.

(ⅳ)当-0.307 992

特取a0=-0.231 771,a1=-2,a2=2.8,a3=-2.6,ε=0.001,使用数值模拟方法得到系统(9)的4个极限环,由大到小的极限环顺次通过点(1.863,0),(1.684,0),(1,0)(即双尖点极限环),(0.4568,0),它们的稳定性顺次是: 稳定,不稳定,稳定,不稳定，其中1个是双尖点极限环,见图3.

4 结语

使用定性理论和数值计算方法研究了扰动系统(9)的极限环分支情况,结果表明,在特殊五次扰动下,当a1=-2,a2=2.8,a3=-2.6,-0.307 992

以上内容为纯理论研究,对于许多实际问题，若系统能够出现稳定极限环，这是一种非常好的性态，例如在生物数学中，研究人员也研究这一类极限环问题,见文献[13,14,15]等.