做数学：思想渊源与课程实施

摘 要：对“做数学”的思想渊源及课程实施做简要的梳理，有利于深入理解“做数学”的内涵，把握“做数学”的教学。“做数学”改变了从定义出发，进而介绍性质、规则、方法等，以“例题—习题”的模式，让学生在模仿中接受形式化知识体系的数学教学方式，体现了波利亚所说的“学习从行动和感受开始”，以及弗赖登塔尔“学一个活动的最好方法是做”的思想。在各国数学课程的实施中，对手脑协同以及数学活动体验的关注和强调，对理论与实践相结合的相关要求，无不体现了“做数学”的基本理念。

关键词：“做数学”;思想渊源;课程实施

长期以来，数学自身的高度抽象性，以及伴随工业化社会所形成的急功近利的教育观念偏差，致使中小学数学教学普遍存在过程形式化、目标功利化的问题，数学学习过程中学生的感官并未得到充分调动，学生的思维并未实现充分激活，学生的情绪很难获得正面体验。面对这些问题，受到欧美广泛推行的“Handon（动手做）”学习计划的影响，基于杜威“从做中学”和陶行知“教学做合一”的教育思想，“做数学”越来越为数学教育工作者所重视。学生学习数学主要不应该是记数学、背数学、练数学、考数学，而应该是“做数学”。孔企平.小学儿童如何学数学[M].上海：华东师范大学出版社，2001：120125。“做数学”让学生在“做”的过程中，经历知识的产生过程、丰富知识的表征方式、触及知识的基本原理，为抽象的数学知识直观化、可视化创造了条件，成为促进学生深度理解所学数学知识的重要路径。郭庆松.在“做数学”中促进深度理解[J].教育研究与评论，2021（3）：30。对“做数学”的思想渊源及课程实施做简要的梳理，有利于我们深入理解“做数学”的内涵，把握“做数学”的教学。

一、 数学教育思想演进中的“做数学”

自欧几里得以降，数学形成了以一些基本的公理和定义为基础，通过一系列逻辑步骤演绎而得的定理（结论）体系，构成了所谓的欧几里得范式。郝宁湘.论实验数学对欧几里德范式的挑战[J].自然辩证法通讯，2002（3）：28。严谨性已成为数学的基本特征，严密的逻辑推理和高度的抽象化使得数学成为一门演绎科学。掌握形式化的体系固然是学习数学的目标，但需要进一步思考的是：我们是否只能如传统方式那样，将这一体系从定义出发，进而介绍性质、规则、方法等，以“例题—习题”的模式，让学生在模仿中接受？

事实上，考察数学史上的重大发现，或追寻数学家的思考历程，我们会发现，数学研究者们往往是从直觉开始，作出数學的种种猜想，进而再给出证明（或在证伪后提出新的猜想）的。至于那些符号或定义，往往是因表达和交流的需要而引入的，都是思维活动的产物而已。由此，皮亚杰、科普兰、迪恩斯、彼格斯等心理学家或数学教育家都强调由数学操作活动获得的实际体验对数学学习的重要价值。这里，更加值得关注的是同时具有数学家与数学教育家身份的几位大家的数学教育思想中所体现的“做数学”。

对“问题解决”教学作出奠基性贡献的美籍匈牙利数学家和数学教育家波利亚指出：“数学被人看作是一门论证科学，然而这仅仅是它的一个方面。以最后确定的形式出现的定型的数学，好像是仅含证明的纯论证性的材料，然而数学的创造性过程是与其他知识的创造过程一样的。在证明一个数学定理之前，你先得推测证明的思路。你先得把观察的结果加以综合，然后加以类比。你得一次又一次地进行尝试。”G.波利亚.数学与猜想（第一卷）：数学中的归纳和类比[M].李心灿，王日爽，李志尧，译.北京：科学出版社，2001：5。他借用康德的名言“人的认识从感觉开始，从感觉上升到概念，最后形成思想”，进一步指出：“学习从行动和感受开始，再从这里上升到语言和概念，最后形成该有的心理习惯。”乔治·波利亚.数学的发现：对解题的理解、研究和讲授[M].刘景麟，曹之江，邹清莲，译.北京：科学出版社，2006：284。并据此将数学学习的过程分为三个阶段：探索阶段、形式化阶段和同化阶段。作为第一阶段的探索阶段，联系行动和感知，在直觉和启发水平上发展，奠定了数学学习的基础。这里的行动无疑可以通俗直白地理解为“做”。“学数学”从“做数学”开始，是波利亚关于“问题解决”的理论及其实践给我们的重要启示。他主张，数学教育的根本目的是“教会学生思考”，教学过程应该遵循的三个基本原则是主动学习、最佳动机、循序渐进。这为后续“做数学”的研究与实践奠定了基础。

同样是数学家和数学教育家的荷兰皇家科学院院士和数学教育研究所所长弗赖登塔尔认为，传统的数学教学出现了一种“违反教学法的颠倒”，数学家从不按照他们发现、创造的真实过程介绍他们的工作，而教科书更是常将通过分析法获得的结论采用综合法的形式叙述，使文字表达的思维过程与实际获得的发现过程完全相反，这对数学学习形成了某种障碍。他系统地分析了“想”和“做”的关系，认为除了现成的数学以外，还存在一种作为活动的数学。一方面，要将数学作为一个现成的产品提供给世界;另一方面，又要将现成的数学转换成“做”出来的数学。进而，他将夸美纽斯的教学论原理之一“教一个活动的最好方法是演示”，进一步发展为“学一个活动的最好方法是做”弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬，等编译.上海：上海教育出版社，1995：103110。。他认为，数学来源于普通的常识，数学实质上是人们常识的系统化，因而每一个学生都可能在一定的指导下，通过亲身经历的“做”来获得这些知识。他进一步提出了有指导的“再创造”方式，为“学一个活动的最好方法是做”作出了深刻的注解。

数学是最古老的科学之一。远古时期的人类祖先首先在日常生活中获得数与形的概念，在此基础上进一步凝聚成各种规则、定理。于是，日常的知识逐渐提高，发展成了数学。这个过程实质上是在“做”中不断创造、发现的过程。数学发展的历史进程如此，个人学习数学的进程同样如此。每一个人都可以在学习数学的进程中，根据自己的体验，用自己的思维方式，重新创造、发现有关的数学知识。也就是说，教师不必将各种规则、定理灌输给学生，而要创造合适的条件，提供尽可能多的“做”的机会，让学生在实践活动中，见识并感受更多的具体而鲜活的例子，“再创造”各种法则，“再发现”有关规律。显然，这并非机械地重复历史，而是对历史的借鉴。

除了上述数学科学发展的视角，从教育学的视角，我们同样可以获得相关的理论支持。首先，通过自身活动所获得的知识与能力，远比别人强加的要理解得透彻、掌握得到位，也更具实用性，一般来说还可以保持较长久的记忆。其次，“再创造”包含了发现，而发现是一种乐趣，因而通过“再创造”来学习能引起学生的兴趣，并激发学生深入探索研究的学习动力。最后，通过“再创造”方式，可以进一步促使学生借助自身的体验形成这样的观念：数学是一种人类的活动，数学教学（学习）也是一种人类的活动。唐瑞芬.数学教学理论选讲[M].上海：华东师范大学出版社，2001：3536。

为了说明“做”的重要性及基本特性，弗赖登塔尔常以学习游泳为例：游泳虽然有理论，也需要观察示范动作，但最重要的还是实际的下水练习，一直站在岸上，动作要领记得再熟也不可能学会游泳。回到数学学习领域，如同要在游泳中学会游泳，我们也必须在“做数学”中学习数学。

20世纪90年代，我国数学家与数学教育家陈重穆先生针对“片面理解科学性原则，在名词、术语上孜孜以求”的时弊，撰文表达了“淡化形式，注重实质”的观点，其中特别提到“不要把概念放在最前，教学不要从概念出发，而要从实际出发，‘先做后说’”“概念教学要靠直观演示，具体操作，使学生对它有实际领悟”陈重穆，宋乃庆.淡化形式，注重实质——兼论《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲》[J].数学教育学报，1993（2）：78。。这里虽然是就具体的数学概念教学而言的，但还是鲜明地表达了“做数学”的观念，對数学教育，特别是义务教育阶段的数学教育具有重要的意义。

二、 各国数学课程中的“做数学”

1957年11月苏联人造卫星上天，引起了美国乃至整个西方世界对教育的反思。反思认为，技术落后的主要原因是教育，特别是数学教育落后。随后，在布鲁纳等一大批著名学者的推动下，从美国到欧洲开始了历时十多年、史称“新数运动”的数学教育现代化运动。当新数学课程在美国大多数学校推开后，其对结构思想的过于强调，特别是“任何学科的知识都可以用某种方式教给任何年龄的学生”的所谓早期学习的思想，在教学实践中受到了很多的质疑。批评的意见主要集中在以下几个方面：（1） 过于抽象，过于演绎;（2） 过于“内向”，而不重视数学的应用;（3） 过分强调了结构、严格性和符号化;（4） 包含了许多不应该在中小学施教的内容;（5） 过分强调了一些较新的但用处不大的数学分支。黄建弘.小学数学课程标准比较研究[M].上海：华东师范大学出版社，2001：11。显而易见的是，改进上述问题需要更多联系学生的实际，通过“做”的过程，让学生获得更多的直观经验，有更多的机会应用数学。而另一方面，“新数运动”中强调的“激发学生学习积极性的首要条件是对数学真正的兴趣”，以及“让学生亲自去发现结论和规律，使自己成为发现者”等观点，并未遭到全盘否定。显然，成为发现者的前提乃是亲自去“做”。

20世纪70年代后期，美国与欧洲在社会舆论的压力下，由反对“新数运动”而呼吁“回到基础”，但回到“新数运动”之前显然已经不可能。1980年，全美数学教师理事会（National Council of Teachers of Mathematics，简称为NCTM）出版了《行动议程》（An Agenda for Action），提出“问题解决”应成为中小学数学的核心。经过近十年的探索，1989年，NCTM发布了《学校数学课程与评估标准》（Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics）。又历时十年，2000年，NCTM发布了《学校数学教育的原则和标准》（Principles and Standards for School Mathematics）。相继发布的“课程标准”，表达了新的数学课程观。其中较为突出的便是，强调数学学习是一个现实的体验、理解和反思的过程，以学生为主体的学习活动对学生理解数学极为重要，学生实践、探索与思考数学是学生理解数学的重要条件，而所谓“懂得数学”就是“会做数学”。人们是在一些有具体目的的活动中收集、发现和创造知识的。教学中应该反复强调，“干”比“知道”更为重要。全美数学教师理事会.美国学校数学课程与评价标准[M].人民教育出版社数学室，译.北京：人民教育出版社，1994：6。无论是应用数学知识解决问题，还是人们熟知的数学学习方式，都与“做”相联系。知识之间能否建立联系，既取决于知识本身之间的关系，也与学生学习过程的参与度有关，而“做数学”的过程，可以有效提高学生数学学习的参与度。

为了解决美国各州之间课程标准不一带来的成绩和学习水平认证以及教育公平等问题，全美州长协会（National Governors Association，简称为NGA）和美国首席州立学校官员理事会（The Council of Chief State School Officers，简称为CCSSO）在2010年联合推出了《州际核心数学课程标准》（Common Core State Standards for Mathematics）。到2012年，美国已有45个州和华盛顿特区签署了使用该标准的文件。全美州长协会和首席州立学校官员理事会.美国州际核心数学课程标准：历史、内容和实施[M].蔡金法，孙伟，江春莲，等编译.北京：人民教育出版社，2016：10。基于对“过程与能力”的重视，该标准提出了与内容标准相对应的一般性的数学实践标准，共包含以下八个方面：（1） 理解问题并能坚持不懈地解决问题;（2） 抽象化、量化地进行推理;（3） 构建可行的论证，评判他人的推理;（4） 数学建模;（5） 合理使用恰当的工具;（6） 关注准确性;（7） 寻求并使用结构;（8） 在不断地推理中寻求并表征规律。该数学实践标准突出了美国著名教育家杜威所强调的“从做中学”，强调教学过程应看作“做”的过程，教师必须按照学生能够理解数学的标准来教学，而不仅是教会学生熟练地解题。由此获得的启示有：（1） 加强数学内容与数学实践的联系;（2） 教师应该成为数学实践的引导者;（3） 学生应该成为数学实践的参与者。全美州长协会和首席州立学校官员理事会.美国州际核心数学课程标准：历史、内容和实施[M].蔡金法，孙伟，江春莲，等编译.北京：人民教育出版社，2016：270271。这也是引导学生经历“做数学”的几个基本原则。

各国的课程标准，虽然未必明确提出“做数学”，但是，其中对数学课程实施的相关要求都或多或少地体现了“做数学”的理念。德国黑森州2010年编写的12年义务教育数学课程大纲，提出：“数学教学中的学习应贴近现实并结合生活中的应用实例;知识、能力及技能应该在数学教学中，通过发现生动形象的生活实例并进行分类操作而学习掌握。”③④

曹一鸣.十三国数学课程标准评介（小学、初中卷）[M].北京：北京师范大学出版社，2012：157，202203，283284。日本2008年颁布的小学和初中的数学课程标准，在描述总体目标时，都首先强调通过数学活动，让学生掌握基础知识和基本技能，并让学生切实感受到数学活动的快乐和用数学解决问题的益处。“数学活动以问题解决的形式实施，教师在此过程中适当地进行指导，将理论结合具体的操作，重视理论与实践之间的灵活应用。”③新加坡2011年公布的数学教育大纲，更重视数学过程，其核心元素是学习体验。“数学是一个充满乐趣并令人兴奋的学科，它使得学生有机会进行创造性的活动，体验思想的火花迸射而产生的快乐。”④在“做数学”的过程中进行创造，进而获得积极体验，正是这样的课程设计所追求的。

三、 我国数学课程改革中的“做数学”

1949—2000年，我国数学教育的课程目标、课程设置、内容和要求都主要反映在由国家颁布的教学大纲之中。教学大纲总体上侧重于对所学内容及其范围或程度的规定，至于对教学方式方法的要求，则主要聚焦在如何让学生通过练习形成相应基本技能，对如何根据学生的认知特点开展相适应的教学活动并未做過多的表述。除了中华人民共和国成立初期和“文革”结束之后具有过渡性质的教学大纲以外，1963年、1986年和1992年颁布的教学大纲比较具有代表性。1963年颁布的大纲，仅在“教学中应该注意的几点”中用较小的篇幅提到“要适当地联系实际”“要理论联系实际”⑥⑦

课程教材研究所.20世纪中国中小学课程标准·教学大纲汇编：数学卷[M].北京：人民教育出版社，2001：454，111，156。。1986年颁布的大纲除了继续强调理论联系实际之外，在提及注意培养学生初步的逻辑思维能力和空间观念时，强调“要通过直观教学和实际操作，引导学生在感性材料的基础上，理解数学概念，进行简单的判断、推理，掌握数学最基础的知识”⑥。1992年颁布的《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）》，在提及几何初步知识的教学要求时，则进一步提出“引导学生对物体、模型等的观察、测量、摆拼、画图、制作、实验等活动，掌握形体的基本特征和面积、体积的计算方法，并且注意在实际中应用，以利于培养初步的空间观念”⑦。上述教学大纲体现的教学理念，对数学学习中让学生经历“做”的过程，虽然总体上不够重视，但是随着时间的推移，呈现出逐步开始关注数学学习中的“做”，逐步丰富“做”的内容与过程的趋势。

2001年，我国启动了影响深远的第八次课程改革。作为课程改革的纲领性文件，《基础教育课程改革纲要（试行）》指出：“要改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力。”与之相呼应，2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》，从课程理念到课程实施建议，都对学习方式的改善提出了具体而明确的要求。在“课程理念”部分提出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。”“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”在“课程实施建议”部分提出：“数学教学，要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发，创设生动有趣的情境，引导学生开展观察、操作、猜想、推理、交流等活动，使学生通过数学活动，掌握基本的数学知识和技能，初步学会从数学的角度去观察事物、思考问题，激发对数学的兴趣，以及学好数学的愿望。”“数学学习过程充满着观察、实验、模拟、推断等探索性与挑战性活动。教师要改变以例题、示范、讲解为主的教学方式，引导学生投入探索与交流的学习活动之中。”

2012年，《义务教育数学课程标准（2011年版）》正式施行，在分析我国传统数学教学优势的基础上，相应地进行了纠偏和完善，但基本保留了上述相关要求，并在“课程实施建议”中，进一步强调：学生应用知识并逐步形成技能，离不开自己的实践;学生在获得知识、技能的过程中“只有亲身参与教师精心设计的教学活动，才能在数学思考、问题解决和情感态度方面得到发展”。

此外，以发展学生的核心素养为课程目标导向，新一轮的义务教育数学课程标准修订工作正在进行中，已经为教学实践所认同的动手实践等学习方式将会进一步得到坚持。与此同时，也将更加强调引导学生在真实情境中发现问题和提出问题，大幅增加“综合与实践”的内容，让学生在主题活动和项目学习中分析、解决实际问题，体验跨学科的综合学习。由此，“做”的方式将会更为丰富，“做”的过程将会更加深入，“做”中获得的体验也将会更好地支撑起学生的数学思维。

为了将课程标准的理念和要求落实到数学课程中，教材编写者进行了积极的尝试和探索。苏教版小学数学教材在一到四年级分册的每个内容中都安排了“想想做做”板块。这里的“做”不仅是做习题、做练习，还通过精心选择素材设计了丰富的数学活动，引导学生开展观察、操作、猜想、推理、交流等活动。除此之外，教材还专门设计了《动手做》栏目：依托相应的数学内容设计了具体的操作活动，引导学生

在手脑协同、边做边思中切实经历“做数学”的过程。苏科版初中数学教材设置了丰富多彩的栏目，助力学生“做数学”。除了《做一做》《练一练》等栏目外，还专门设置了“数学实验室”“数学活动”“课题学习”等实践性任务，引导学生“做数学”，通过“做”感受数学本质。

“做数学”丰富了学生数学学习的过程，“做”的经历让学生在关注“知识是什么”的同时，也体会到“知识怎么来”“知识向哪里去”;更重要的是，学生在通过“做”主动参与数学学习的过程中，获得理性精神、创新意识及实践能力的全面发展。“做数学”也给课程实施带来了新的挑战，如何通过“做数学”更好地实现数学学科的育人价值，特别是在形成人的理性思维、科学精神和促进人的智力发展方面的独特价值，还需要广大数学教育工作者的不懈探索。

（郭庆松，江苏省教育科学研究院中小学教学研究室。江苏省教育学会小学数学专业委员会秘书长。主要研究方向：小学数学课程、教学、评价等。）