带U型切口的非线性压电能量采集器的动力学仿真研究

申 俊， 宋 芳

(1.上海工程技术大学 机械与汽车工程学院, 上海 201620；2.上海工程技术大学 工程实训中心， 上海 201620)

随着无线传感器网络节点的大范围分布使用，如何给无线传感器网络节点供电成为一个难题。因此，学者们提出收集环境周围的振动能量，将其转化为电能给无线传感器网络节点供电[1-4]。目前，振动能量采集技术根据采集原理不同可以分为：电磁式、静电式、压电式和磁致伸缩式[5]。压电式采集器具有结构简单、环境适应能力强和输出电压大的优点[6-7]。因此，压电振动采集器设备在微能量采集领域备受关注。传统单一的线性压电悬臂梁结构存在的问题是：当周围环境中的振动能频率偏离其结构本身的谐振频率时，压电悬臂梁输出的电压会大幅度下降[8]。引入磁场而具有非线性特性的压电采集器相比传统的线性压电采集器而言，其对环境中的振动能具有相对较宽的采集频带，有利于提高机电转换效率[9]。

Ando等[10]提出了由磁力构建的具有非线性双稳态性质的MEMS振动采集器，实验结果表明该采集器能有效收集低频环境中的振动能。Shah等[11]进一步在磁力引入的压电采集器中，研究了悬臂梁末端磁铁和外部磁铁的间距变化对采集器电压输出的影响，研究结果表明间距在8.5 mm时该采集器的采集效果最佳。为了证明磁力引入后压电振动采集器的宽频作用，Song等[12]设计了一种磁力耦合阵列式的压电振动采集器。该采集器既能在杂乱的磁场中响应，又能在外界振动能的激励下响应，并且该采集器具30 Hz的频带宽。

笔者考虑到磁场引入构成的非线性压电采集器系统具有宽频的优势，提出了一种引入磁场的带U型切口的非线性压电振动采集器；建立了该采集器的理论模型，运用数值仿真研究了激振频率的变化对该采集器电压输出的影响，以及内、外梁磁铁间距变化对该采集器电压输出的影响。

1 系统模型和基本结构

该采集器的三维结构如图1所示，其结构包括内部矩形悬臂梁(内梁)、外部U型悬臂梁(外梁)、压电片、磁铁1和磁铁2。其中基底材料为铜；永磁铁为Nd2Fe14B。

图1 采集器三维结构示意图Figure 1 Three dimensional structure diagram of harvester

该采集器可以等效为2个单自由度的弹簧-阻尼-质量系统，其等效模型如图2所示。其中，内、外梁压电片均表示为电容Cp，用导线将压电片并联，与外接负载电阻RL串联，构成一个闭合电路。

图2 采集器等效模型Figure 2 Harvester equivalent model

根据振动力学可以得到该能量采集系统的动力学模型方程[13-14]：

(1)

式中：Meq1，Ceq1,Keq1和Z1(t)分别为内部悬臂梁的等效质量、等效阻尼、等效刚度和磁铁1沿垂直方向的位移；Meq2，Ceq2,Keq2和Z2(t)分别为外部U型悬臂梁的等效质量、等效阻尼、等效刚度和磁铁2沿垂直方向的位移；u(t)为外部激振源；V(t)为该采集器输出的电压；φ为压电陶瓷(PZT)的机电耦合系数；Fmv为2个磁铁之间磁力沿垂直方向的分力。

根据基尔霍夫第一定律，可以得到采集器的机电耦合方程：

(2)

式(1)中Meq1，Ceq1和Keq1具体计算公式如下[15-16]：

(3)

式中：Ii为内梁中压电片与基底铜粘合在一起后整体悬臂梁的惯性矩；Ei为内梁中压电片与基底铜片粘合在一起后整体悬臂梁的弹性模量；li1，wi1，ti1和lp，wp，tp分别为内梁基底材料铜和陶瓷压电片(PZT)的长、宽和厚度；m1为内梁末端磁铁的质量；ρc为基底材料铜的密度，ρp为陶瓷压电片(PZT)的材料的密度；ξc为采集器的阻尼比。

其中：

(4)

(5)

式中：Ec为基底材料铜的弹性模量，Ep为陶瓷压电片(PZT)的弹性模量。

式(1)中Meq2，Ceq2和Keq2的计算公式为：

(6)

式中：Io1为外部U型矩形悬臂梁的直角拐角前部分整体的惯性矩；Io2为外部U型直角拐角后部分的惯性矩；Eo1为外部U型矩形悬臂梁直角拐角前粘有压电片部分整体的弹性模量；Eo2为外部U型直角拐角后部分的弹性模量；lo1，wo1，to1分别为外部U型矩形梁的长、宽和厚度；lo2为外部U型梁直角拐角末端的长度；m2为外梁末端磁铁的质量。

其中：

(7)

(8)

式中：Eo2为外部U型直角拐角后部分的弹性模量，数值上Eo2=Ec；wo2和to2分别为外部U型梁直角拐角末端的宽度和厚度。

采集器尺寸如图3所示。

图3 采集器尺寸示意图Figure 3 Dimension diagram of harvester

2 系统非线性势函数分析

2.1 磁力计算

图4所示为磁铁1和磁铁2的几何尺寸示意图。磁铁1和磁铁2在平衡位置处产生的排斥力为[17]：

图4 磁铁几何尺寸示意图Figure 4 Schematic diagram of magnet geometry

(9)

式中：l1,w1和h1分别为磁铁的长度、宽度和高度；D为2块磁铁之间水平方向间距；Br为永磁铁的磁性能参数；μ0为真空导磁率。

2.2 势函数分析

图5所示为采集器受力分析图。由图可知磁铁在垂直方向磁力的分力Fmv的表达式为：

图5 采集器受力分析Figure 5 Stress analysis of harvester

(10)

不考虑磁铁在平衡位置时磁铁所受重力对悬臂梁的影响，由图5可知d1和d2间满足如下关系[18]：

(11)

2块磁铁沿垂直方向的磁力为：

(12)

当磁铁1和磁铁2在任意时刻位于某一位置时，如Z1(t)=zo1，Z2(t)=zo2，则该采集器内梁的势能V1与外梁的势能V2表达式分别为：

(13)

表1 采集器材料参数Table 1 Material parameters of energy harvester

表2 采集器结构尺寸参数Table 2 Structural dimension parameters of harvester mm

图6 采集器势能系统Figure 6 Harvester potential energy system

由图6可知，在外界的随机激励下，该采集器的V1和V2随着d1的取值而产生随机变化。这种随机变化体现在势函数会从单势阱过渡到双势阱。因此，在该采集器受到外界的振动激励源作用时，内梁在某一时刻处于单稳态振荡；而其外梁则可能处于双稳态振荡模式。由于2者处于随机变化的振荡模式下，当磁铁1越过水平位置时，必然会牵引磁铁2的运动；当磁铁2越过水平位置时，必然也会牵引磁铁1的运动；从而为内、外悬臂梁做大幅度持续振荡创造了条件，有利于提高采集器对振动能量的采集效率。

3 仿真分析

仿真过程中采用的外界随机激励u(t)=Acos (2πft),该激励为余弦激励，激励源的幅值大小为A=0.1；在仿真过程中通过选取不同余弦激励的激励频率f对式(1)和(2)在MATLAB中采用Runge-Kutta法进行数值分析。

由于环境中振动能量大多是低频振动源，因此仿真过程中选取的频率变化范围为0～40 Hz，频率的步长取为1 Hz；不断调整采集器内、外梁末端磁铁间距D，获取采集器均方根电压输出响应结果。如图7所示为该采集器随激振频率f和不同间距D的变化趋势。由图可知，采集器存在一个明显的谐振频率，并在该谐振频率下，采集器输出的均方根电压值到达最大。当间距D=2 mm时，该采集器的谐振频率为28 Hz，而当D的取值范围在大于2 mm,小于10 mm时，该采集器的谐振频率集中在27 Hz。

图7 采集器均方根电压响应输出Figure 7 RMS voltage response output of Harvester

仿真结果表明：压电采集器随着间距D的取值范围减小，其谐振频率输出的均方根电压逐渐增大，当D=10 mm时，该采集器输出的均方根电压为26.095 V，而当D=2 mm时，该采集器输出的均方根电压到达了31.47 V。但是采集器有效频带为3 Hz并不随间距D的减小而发生较大的改变。

4 结论

将磁场引入采集器中能拓宽采集频带的宽度，同时兼顾采集器结构的紧凑型，笔者提出了一种非线性U型切口压电振动能量采集器；分析了采集器系统内、外梁势能的变化趋势，建立了采集器的理论振动模型；在MATLAB中进行数值模拟分析了激励源的频率和内、外悬臂梁末端磁铁间距D对采集器均方根电压输出的影响。

主要结论如下：①采集器内、外梁的势能趋势会在采集器受到外界激励时，处于动态变化中，采集器内梁的势能趋势可以从单稳态系统过渡到双稳态系统；同时采集器外梁也可能从双稳态系统过渡到单稳态系统。这种随机变化的不确定性，有利于实现采集器大幅度、持续地振荡。②伴随着磁铁间距D的减小，该采集器在其谐振频率输出的均方根电压逐渐增大，且D的减小对采集器输出的有效频带宽影响不大。

笔者所提出的压电振动能量采集器可以作为微能量采集器领域中采集器结构设计的一种新思路，但是由于本研究中将磁铁产生的复杂磁场直接简化成一种力，可能降低了采集器模型的精确性，因此，下一步应对理论模型进行优化。