从“探究与发现”走向“数学探究活动”

吕增锋 杨洁

【摘 要】教师探究教学经验的缺乏已经成为阻碍数学探究活动顺利实施的重要因素。高中数学教材“探究与发现”栏目的教学实践有助于教师积累数学探究活动的经验，其教学过程经过迁移后可为数学探究活动所用，从而达到以“微探究”撬动“大探究”的实践效果。

【关键词】数学探究;数学育人;方向向量;参数方程

【作者简介】吕增锋，正高级教师，甬城教育名家，宁波市领军拔尖人才;杨洁，一级教师，主要研究方向为数学建模与解题研究。

【基金项目】2021年浙江省教研课题“指向核心素养的高中数学建模课程开发与实践研究”（G2021074）

自2006年9月起，人教A版高中数学教材就增加了“探究与发现”这一栏目。虽然“探究与发现”栏目是数学知识的延伸与拓展，不仅蕴含丰富的数学问题，而且隐藏着众多的数学思想方法，是发展学生数学探究能力与理性思维的重要载体，但由于该栏目在數学主体知识之外，很多内容并不在高考范围内，因此并没有引起广大一线教师的重视，甚至有的教师认为“探究与发现”栏目是多余的。随着新课程改革的深入，数学建模与数学探究活动正式进入课堂，为此，新课程标准还专门为该内容的学习安排了10个课时。数学探究活动是研究数学内部问题的综合实践活动，它需要学生具备敏锐的问题意识，熟悉数学研究方法，而这些能力一般学生都很难达到。那么，“探究与发现”栏目与“数学探究活动”到底有何关联？如何实现从“探究与发现”到“数学探究活动”的跨越？笔者对此进行研究，以期为教师教学提供参考。

一、“探究与发现”的数学主题与分类

通过对5册人教A版高中数学新教材（以下简称人教A版新教材）进行梳理，笔者发现一共设置了11次“探究与发现”（ 其中“*”表示2007年人教版高中数学教材也有同样的内容），见表1。其中必修第一册中的“探究与发现”出现的次数最多，达到了4次，占比超过36.3;而选择性必修第二册出现的次数最少，只有1次。

从探究活动的内容来看，“探究与发现”的主题可以分为知识拓展类、数学应用类、思想方法类、数学史类等。例如，“互为反函数的两个函数图象的关系”“为什么y=±bax是双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线”属于知识拓展类;“利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质”属于数学应用类;“牛顿法——用导数方法求方程近似解”则属于数学思想方法类;“祖暅原理与柱体、锥体的体积”既蕴含丰富的数学史实，又体现了微积分思想及其应用。因此，它兼具数学应用类、思想方法类与数学史类的特点。从探究活动的完成方式来看，“探究与发现”的主题可以分为交流型数学探究、调查型数学探究以及实验型数学探究[1]。从探究活动的开放水平来看，“探究与发现”的主题还可以分为问题起始型探究、证据起始型探究、结论起始型探究、论证起始型探究[2]。当然，“探究与发现”的主题还有其他的分类方法，在此不再赘述。

二、以“微探究”撬动“大探究”

数学探究活动是高中数学课程中引入的一种新的学习方式，它是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程。但在教学实践中，由于缺乏数学探究活动的实施经验，从而出现探究主题不明确、教师过度干预、过程流于形式、思维深度不够等现象，而“探究与发现”栏目的开设有助于扭转这一局面。

数学探究活动是一项数学研究活动，其过程包括：发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过自主探索、合作研究论证数学结论。例如，在人教A版新教材必修第二册“用向量法研究三角形的性质”的数学探究活动中，教材不仅设计了完整而系统的探究任务，即从研究的思路、内容、方法等角度对初中研究三角形的过程进行梳理，用向量方法对已有的结论进行证明，总结向量方法处理几何问题的基本程序，立足向量视角发现新的数学结论等，而且还规定了探究的具体要求，即小组集体讨论探究方案，确定研究思路;以专题作业的形式撰写研究报告;完善研究成果，全班进行成果交流、评价等。

从字面上看，“探究”“发现”是并列关系，即探究的过程也是试图发现的过程，相比数学探究活动，明显少了一些复杂性和系统性。如果说数学探究活动是对数学问题的一次“大探究”“大发现”，那么探究与发现充其量就是一次“微探究”“小发现”，例如，“互为反函数的两个函数图象的关系”就是为了发现“互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称”这一基本事实;“方向向量与直线的参数方程”就是在向量视角下推导直线的参数方程。因此，问题指向明确、探究任务简单是探究与发现的典型特征。

虽然数学探究活动立足于数学的宏观研究，探究与发现针对的是数学的微观结论，但两者都是探究式学习。无非是数学探究活动学生自主探究多，教师干预少，探究活动贯穿在整个学习过程中;探究与发现更多是在教师的指导下进行有序探究，探究任务简单，相对容易完成。探究与发现的开展可以为数学探究活动的实施积累宝贵的经验，其教学过程经过迁移后可为数学探究活动所用，从而达到以“微探究”撬动“大探究”的实践效果。

三、从“探究与发现”走向“数学探究活动”

基于“微探究”服务于“大探究”的认识，“探究与发现”在教学目标的定位上应该立足数学探究的育人功能，在教学流程上要凸显数学探究的过程，在教学评价上要力求数学探究成果的多样性，从而实现“探究与发现”与“数学探究活动”的无缝对接。接下来，笔者以人教A版新教材选择性必修第一册的“方向向量与直线的参数方程”为例，谈谈具体的做法。

（一）分析探究材料的育人功能

与一般的教学内容不同，“探究与发现”栏目中的材料一般都具有较强的综合性和研究性，问题的解决思路往往直指核心素养的中枢。因此，“探究与发现”教学设计不能被零碎的知识点所束缚，对于探究材料的解读，教师不仅要关注“四基”“四能”，还要着重分析其潜在的育人功能，以育人功能来统领知识点与数学思想方法，从而有效设计教学活动，这样才能更好地发挥数学探究活动的应有价值。

探究材料的“方向向量与直线的参数方程”，从内容上看是借助直线的方向向量来推导直线的参数方程，但推导过程中却蕴含着丰富的育人功能。首先，向量的工具作用得到进一步凸显。学生通过之前的学习已经知道向量能够作为研究平面几何与立体几何的工具，而通过这节内容的学习之后，发现解析几何也可以借助向量进行研究。其次，联系的观点得到进一步加强。不仅向量与几何存在联系，参数方程与普通方程，以及数学与物理也有联系。再次，整体与局部的视角转化开始启动。例如在物理学习中，我们往往会把复杂的运动分解为简单的运动进行研究，如在研究平抛运动时，我们将其分解成水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动。同样，在数学中，有时直接推导曲线的普通方程比较困难，而推导参数方程则比较容易，所以可先求参数方程，然后再把参数方程转化为普通方程，这种以局部来刻画整体的研究思路可以起到化繁为简、化难为易的效果。最后，“运动中的不变性”的核心思想开始萌发。这个思想是解析几何中曲线方程的推导依据，在此之前教材并没有明确给出“直线”的几何定义，而方向向量及物理匀速运动的介入，直线就可以看成是质点按照给定的方向匀速运动所形成的轨迹。

（二）对探究材料进行再加工

教材中探究材料的来源一般有四个途径：一是課堂教学内容的自然延伸;二是对实际生活的思考;三是不同数学内容之间的联系和类比;四是数学与其他学科内容的交叉。但受到教材的篇幅限制，探究材料的内容往往比较精简，比如，“互为反函数的两个函数图象的关系”只占不到半页的篇幅，而“方向向量与直线的参数方程”最多占了一页的篇幅。因此，单凭这些材料本身是不足以构成一节完整的数学探究课的，这就需要教师围绕探究材料的育人功能，对探究材料进行再加工。

在“方向向量与直线的参数方程”中，教材重点关注直线参数方程的推导，以及参数方程和普通方程的相互转化，而对于为什么要学参数方程？参数方程有什么用？直线参数方程中参数的几何意义及应用等关键问题却没有进行解释。如果直接照搬教材内容进行教学，只能让学生“知其然”，而“不知其所以然”，更是无法“知何由以知其所以然”，这不仅不利于学生学习动机的激发，而且无法发挥本节课的育人功能。因此，把教材缺失的内容补足并进行再加工是开展“探究与发现”教学的关键，它考验了教师创造性使用教材的水平。本节课补充的内容具体见表2。

（三）设计问题驱动教学进程

问题是数学探究的驱动力，是帮助学生完成探究学习的脚手架。教师可先把课堂教学分为若干个环节，然后围绕着这些环节设计一个个相对独立却又紧密联系的问题，最后通过对这些问题的思考来推进学生的探究学习。“方向向量与直线的参数方程”这节课主要由引入、推导、辨析、应用四个环节组成，其问题设计如下。

环节一：引入

在物理学中，对于复杂的运动往往被分解为简单的运动加以研究，比如，平抛运动的运动轨迹是比较复杂的抛物线（部分），物理学家在研究该运动时，通常把它分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动。在数学中，有些曲线的轨迹方程很难直接表示为关于x，y的普通方程，而是把x与y分别表示出来，比如，圆的摆线方程通常被表示为x=r（θ-sinθ）y=r（1-cosθ），这个方程最大的特点是分别呈现了x，y与参数θ之间的关系，而没有给出x，y之间的直接关系，我们把这一类方程称作参数方程。

问题1-1 为什么平抛运动可以被分解为水平和竖直方向的运动？（平面向量基本定理）

问题1-2 参数方程具有怎样的特点？（方程组形式，以参数作为连接x，y之间的桥梁）

【设计意图】通过对平抛运动中速度的分解与合成的探究，教师既让学生了解了参数方程的现实背景，又让学生体会到学习参数方程的意义。

环节二：推导

前面学习了直线的点斜式、两点式、一般式等多种形式的方程，这些方程都是对x，y之间关系的直接反映，这类方程都被称为普通方程。接下来教师引导学生学习直线的参数方程。

问题2-1 确定一条直线需要什么条件？[一个点P0（x0，y0）与一个方向]

问题2-2 如何表示直线的方向？（方向向量v→）

问题2-3 直线与方向向量存在什么关系？（P0P=tv→）

问题2-4 方向向量能进行分解吗？（按照坐标系进行正交分解）

问题2-5 根据直线与方向向量的关系，你能给出直线的几何定义吗？（以一个定点为出发点，按照固定的方向向两边无限延伸形成的轨迹为直线。）

问题2-6 直线的参数方程以什么作为参数比较合适？（t）

问题2-7 如何借助方向向量推导直线的参数方程？[设方向向量为v→=（m，n），直线上任意一点为P（x，y），则由向量共线的充要条件P0P=tv→，得

x=x0+mty=y0+nt

（t为参数）。]

【设计意图】通过对方向向量与直线普通方程、参数方程关系的探究，教师让学生体会方向向量在形成直线轨迹中所起的决定性作用。同时，在推导参数方程的过程中，凸显了参数的几何意义，学生体会到参数的媒介作用。

环节三：辨析

问题3-1 如何验证方程x=x0+mty=y0+nt（t为参数）表示的是直线方程？（进行纯粹性与完备性证明）

问题3-2 直线的参数方程与物理学中匀速运动有什么关系？[质点以速度v→=（m，n）匀速运动产生的运动轨迹为直线（射线），而这种运动可以被看作是水平与垂直方向两种运动的合成。]

问题3-3 直线的参数方程唯一吗？请举例说明。（由于直线方向向量不唯一，因此直线的参数方程也不唯一。）

问题3-4 直线的参数方程与普通方程可以相互转化吗？（可以通过消参相互转化）

问题3-5 直线的参数方程有没有更好的表示形式？[引入方向向量v→=（cosθ，sinθ），其中θ是直线的倾斜角，则直线的参数方程可以表示为x=x0+tcosθy=y0+tsinθ（t为参数），这样不仅可以从参数方程中获得倾斜角的大小，而且还满足|t|=|P0P|。]

【设计意图】借助匀速运动揭示直线参数方程与普通方程的内在联系，教师让学生学会将参数方程与普通方程进行相互转化。在探究参数的几何意义的过程中，教师让学生知道参数并不是唯一的。

环节四：应用

问题4-1 写出经过点A（2，1）且倾斜角为60°的直线参数方程。

问题4-2 已知直线的参数方程为x=-1+ty=1+3t（t为参数），求直线的倾斜角。

问题4-3 已知直线的参数方程为x=-1+12ty=1+32t（t为参数），求直线上到点（-1，1）距离为2的点的坐标。

【设计意图】教师让学生能够利用倾斜角写出直线的参数方程，反之，能够通过直线的参数方程求直线的倾斜角，同时体会参数方程在运算中的简化作用。

波利亚认为，学习任何知识的最佳途径都是由自己去发现、探究，因为这种理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系。数学探究活动就是一次奇妙的发现之旅、研究体验和试错经历，对学生来说弥足珍贵。当前实施数学探究活动的焦点已不在于理论层面的“应然性”探讨，而在于具体教学行为中的“实然性”操作[3]。“探究与发现”栏目不仅是教材的重要组成部分，还是数学探究活动走向“实然”的“敲门砖”。

参考文献：

[1]周仕东，郑长龙，付立海.科学探究活动的类型、功能以及活动方式[J].化学教育，2005（4）：9-11.

[2]刘云，张广祥，黄永明，等.高中数学必修教科书中的数学探究活动分析[J].数学教育学报，2012（10）：76-79.

[3]谢益民. 反思中践行：数学探究活动的实践取向[J]. 教学与管理，2012（11）：53-55.

（责任编辑：陆顺演）