考虑射程损失的高超声速飞行器突防弹道分析与设计方法*

李丛卉，梁海朝，王剑颖

(中山大学 航空航天学院· 深圳·518106)

0 引 言

高超声速飞行器是指飞行速度超过马赫数5的飞行器。高超声速飞行器具备实现高速度、远距离、大威力的战术打击效果的能力，在未来战场上具有极大的战略意义和威慑性，因此成为了世界各军备大国竞相争夺的技术制高点[1]。由于高超声速武器的加速研发，高超声速防御系统也随之发展，包括对于高超声速飞行器的探测以及反高超导弹等，这会对高超声速武器的作用产生严重影响。目前成熟的导弹防御系统包括助推段、中段和末段三层防御[2]。因此，要继续充分发挥高超声速飞行器的优势与作用，其机动突防技术亟待发展。

导弹的机动变轨是指导弹利用空气动力或小型助推器产生推力，产生加速度以改变速度大小和方向，从而改变原有飞行弹道[3]的动作。目前弹道导弹中段机动突防措施主要可分为程序式机动突防和自主机动突防两种[4]。程序式机动突防是指导弹按照事先设定好的机动程序，在发射后的固定时间点进行固定的机动动作，以降低敌方对弹道的预测精确度。这种机动方式的鲁棒性较差，适用性低，并且对发动机和控制系统性能要求都较高。自主机动突防是指导弹在探测到敌方拦截导弹时，通过探测到的拦截弹飞行参数，由弹载计算模块实时计算，并得到最优突防机动指令，进行自主的突防机动。其优点在于主动化、智能化，可以根据实际情况给出最优突防策略，以得到较高的突防成功率。但是由于一般情况下的机动突防过程具有突发性，时间较短，这种实时计算的方式对于弹载探测和计算模块的要求较高，技术难度较大[5]。

目前，在高超声速突防领域居于领先地位的主要是美俄两国。美方对其现役的主要陆基战略弹道导弹民兵Ⅲ导弹做出了许多改进，以提高其机动突防能力，主要包括采用分导式多弹头、加装突防装置，以及末助推控制系统等[6]。白杨M导弹是俄罗斯弹道导弹的代表，其突防能力主要体现在先进的隐身技术、新型火箭发动机、特殊的飞行弹道，可降低被防御系统探测到的概率，并且还采用了新型的质心机动变轨技术，通过移动装置使质心偏移，产生控制力和力矩，从而实现机动变轨[7]。目前，世界上军事强国常用的主要突防方法有：突防弹道规划、微分对策/单边最优制导律设计、合理突防最优制导律设计等[8]。

以往对于高超声速飞行器机动突防的研究，通常都将目光聚焦在机动方式、突防成功率等方面，而对突防造成的射程变化关注不多。然而，在高超声速飞行器机动突防的同时，速度大小、方向等飞行参数的变化会导致射程的变化，这种变化可能导致导弹的落点产生偏差，从而改变其对目标打击的精确程度，是不可忽略的。本文针对高超声速飞行器机动导致的射程变化问题，分别对于弹道式和滑翔式两种高超声速飞行器，开展机动-射程变化二者之间关系的研究。

1 弹道式高超声速飞行器突防机动对射程损失影响分析

弹道式高超声速飞行器的突防机动动作通常发生在自由段和再入段，在这两个飞行阶段中飞行器弹道形状较为固定，轨迹易被预测，且机动能力较差，易于受到反导拦截弹攻击[9]。因此，需要利用携带的动力装置进行机动以躲避攻击。但机动会导致飞行速度和方向变化，进而导致落点和射程变化。本章将针对弹道式高超声速飞行器自由段和再入段机动导致射程变化的影响进行分析。

1.1 弹道式高超声速飞行器再入段机动

弹道式高超声速飞行器的再入段，即从飞行器再入大气层开始到飞行器落地打击目标为止。在此段中，飞行器位于大气层内，无持续性自主动力，受到地球引力和气动力作用。

1.1.1 再入段动力学模型与射程分析

弹道式高超声速飞行器在大气中的运动微分方程为

(1)

其中，L为升力；D为阻力；Z为侧向力；Θ为速度倾角；v为飞行器飞行速度；β为射程角。采用零攻角再入，因η=0，故升力L=0，即L=Z=0，简化得到零攻角再入时的运动微分方程为

(2)

射程

S=βR0

(3)

其中，R0为地球半径。根据式(2)的第4式，可得

(4)

联立式(4)与式(2)第3式，得

(5)

由于再入段过程时间短，可近似认为Θ≈Θe,Θe为再入角，即再入大气层瞬间速度矢量与当地地平面夹角。代入式(4)并对等号两边积分，得到未机动时的再入段射程为

(6)

从再入瞬间到任意高度h时的射程为

(7)

1.1.2 突防机动的射程变化分析

首先建立描述速度变化的坐标系，如图1所示。为方便描述过程，选用弹道坐标系，即坐标系原点O1为飞行器质心，O1x2轴沿飞行器飞行速度方向；O1y2在铅垂面内，垂直于O1xv轴；O1zv与另外两轴成右手螺旋系。

图1 弹道坐标系下的速度矢量Fig.1 Velocity vector in ballistic coordinate system

其中，v1为飞行器未机动前的原速度；Δv为机动产生的速度，为空间矢量，可分解到xyz三轴上。基于图1描述的坐标系，考虑Δv沿x方向、在xOz平面内、在xOy平面内、在空间内等四种机动方式，分别对弹道式高超声速飞行器在再入段机动造成的射程变化进行分析和推导，如图2所示。

(a) Δv在xOz平面内

Δv沿x方向时，由于再入段过程时间短，可近似认为Θ≈Θe，即速度倾角Θ不变，恒等于再入倾角Θe。此时，Δv只改变原速度大小而不改变方向，因此再入段射程不变。

Δv在xOz平面内时，机动后速度大小为

(8)

速度夹角为

(9)

机动后，速度倾角Θ变化。由空间几何关系，可知变化后速度倾角Θ2为

(10)

Δv沿z方向的情况，可以由此种情况简化而得。即Δvx为0，仅有Δv=Δvx。

Δv在xOy平面内时，机动后速度大小为

(11)

速度夹角为

(12)

机动后，速度倾角Θ变化。由几何关系可知，变化后Θ2为

Θ2=Θe-θ

(13)

Δv在空间内时，机动后速度大小为

(14)

速度夹角为

(15)

机动后，速度倾角Θ变化。由空间几何关系可知，变化后Θ2为

(16)

Δv在yOz平面内的情况，可以由此种情况简化得到。即Δvx为0，仅有y和z方向的速度增量。

由上述四种情况可分别得到向不同方向机动后的速度倾角Θ2。代入式(7)，得到机动后再入段射程S1为

(17)

结合式(6)所求得的原射程S0，得到再入段机动射程变化为

(18)

其中，Θ2由上述四种分类分别求得。

1.1.3 弹道式再入段射程影响分析

分析弹道式再入段的速度变化-射程变化关系式(18)可知，对射程产生影响的因素主要是机动高度h和速度变化Δv，其中速度变化Δv是通过改变速度倾角Θ来影响射程的。射程变化量ΔS与机动高度h成正相关；对于速度变化Δv，机动后速度倾角Θ2相对于再入倾角Θe的变化与Δv数值成正相关，从而射程变化量ΔS与Δv数值成正相关。

速度变化Δv的方向对于射程变化也有不同的影响。根据前文理论推导，当Δv在x轴方向时，由于再入段过程较短，可将再入段全程速度倾角Θ近似为再入倾角Θe，即认为速度倾角Θ保持不变，因此x轴方向的Δv不影响射程。当Δv在y轴方向时，若Δv方向沿y轴正向，飞行器速度倾角上抬，原本为负值的Θ2数值上减小，相较Θe变化更大，射程变化ΔS与y轴上的Δv分量大小成正相关；若沿y轴负向，则恰好相反，射程变化ΔS减小。当Δv在z轴方向时，方向沿z轴正负向对称，可仅考虑一侧，其对射程产生的影响由两部分组成：一方面，z方向的Δv会使飞行器速度增大，从而使射程增大；另一方面，z方向的Δv会导致飞行方向的偏移，如图3所示。

图3 z方向速度变化导致射程损失Fig.3 Range loss due to velocity change in z direction

机动后的射程2会小于原射程1，即机动后的方向变化会导致射程损失。z轴上的Δv对射程产生的影响由上述两部分耦合而成，为非线性关系，不能明确给出，需要通过仿真进行验证。

1.2 弹道式高超声速飞行器自由段机动

弹道式高超声速飞行器的自由段，即为主动段结束、发动机关机，到再入大气层之间的部分。自由段位于大气层外，仅受到地球引力作用，无气动力作用。

1.2.1 自由段动力学模型与射程变化分析

图4中，k点为关机点，e点为再入点。由轨道特性可知，未机动时自由段弹道对称。fk、fe分别为关机点和再入点的真近点角。关机点与再入点两矢量夹角，即射程角βe

βe=fe+fk

(19)

(a) 机动前

根据关机点参数rk、vk、Θk求得轨道参数半通径P、偏心率e、能量参数νk，从而分别求解关机点k和再入点e处的真近点角，即可求出射程角βe，最终可得机动前射程

S0=R0βe

(20)

自由段中的机动对后续弹道的影响分为两部分：其一是改变自由段轨道，影响自由段射程；其二是改变再入点位置以及再入点处的再入角、速度大小等参数，从而改变再入段轨迹和射程。接下来计算在点1机动后，从机动点1到新的再入点e之间的新轨道的射程。为简化表述，使用图1中弹道系进行描述，主要可分为两种情况，一种是Δv仅位于xOz平面内、无y方向分量，另一种是存在y方向分量。针对上述两种情况，分别对弹道式高超声速飞行器自由段机动对射程造成的影响进行分析和推导。

首先是Δv位于xOz平面内，无y方向分量的情况。此分类包含Δv仅沿x或z方向，或在x和z方向都有分量这三种情况。在这种情况下，Θ2=Θ1，速度倾角不变，仅速度大小改变，变为

(21)

求解机动后的新轨道参数，包括半通径P1、偏心率e1以及能量参数ν1，可分别得到f1、fe，则机动点1和再入点e之间的射程角β2为

β2=fe-f1

(22)

根据动量矩守恒，可得新的再入点再入角Θe。新轨道与原方向偏差角度

(23)

由上述求得的参数，得到射程变化如下：

自由段新射程

Sf=Reβ1cosθ+Reβ2

(24)

自由段射程变化

ΔSf=Sf-Sf0=Re(β1cosθ+β2-βe)

(25)

再入段新射程

(26)

再入段射程变化

(27)

总射程变化

(28)

参考1.1节分析式(22)、式(23)有:

自由段新射程

Sf=Reβ1+Reβ2

(29)

自由段射程变化

ΔSf=Sf-Sf0=Re(β1+β2-βe)

(30)

再入段射程变化

(31)

总射程变化

(32)

上文中，下标为k的符号代表关机点k处的参数，下标1代表原未机动轨道在机动点1处的参数，下标2表示在机动点1处机动后发生变化的参数，下标e表示在再入点e处的参数。β1为关机点k与机动点1之间射程角，β2为机动点1与再入点e之间射程角。

1.2.2 弹道式再入段射程影响分析

分析弹道式自由段的速度变化-射程变化关系式(28)及式(32)可知，对射程产生直接影响的参数主要有：机动后新再入点e的位置、e处再入倾角Θe，以及机动点1的位置。其中机动点1的位置即机动时间，射程变化ΔS与机动时间成负相关。而新再入点e的位置及参数主要受到机动时间和速度变化Δv的影响。机动时间t或速度变化Δv不同，会导致机动后新轨道形状的不同，从而影响新再入点e的位置及参数。x、y、z这3个方向的速度变化Δv都会改变自由段的轨道参数，包括半通径P1、偏心率e1以及能量参数ν1等，使轨道形状发生改变，从而改变再入点e的位置和飞行参数，最终改变射程。除此之外，z方向的Δv还会改变飞行方向，如前文图3所示，机动后的方向变化会导致射程损失。z轴上的Δv对射程产生的影响由上述两部分耦合而成，为非线性关系，需要通过仿真进行验证。

2 滑翔式高超声速飞行器突防机动对射程损失影响分析

滑翔式高超声速飞行器的突防主要发生在平飞滑翔段，即从发射段结束、飞行器达到最高点p，到下压打击点d之前的这一段，全程在大气层内。此段过程中，飞行器飞行高度大致在60～30km，占整个飞行过程的比例较大，时间较长，飞行状态较为平稳，速度波动不大，高度缓慢下降，因此很容易被敌方反导系统探测到并预测轨迹，从而进行拦截。因此，滑翔式飞行器在此段具备一定的机动突防能力至关重要。

滑翔式飞行器通常通过大攻角机动改变飞行状态，从而突破反导拦截弹的重围。本章将对滑翔式高超声速飞行器的平飞滑翔段进行推导与论证，分析其机动对于射程变化量的影响。

2.1 平飞滑翔段动力学模型与射程分析

滑翔式飞行器的运动学方程

(33)

(34)

由简化后的运动学方程联立得到

(35)

则

(36)

两边积分，得到射程

(37)

2.2 突防机动的射程变化及影响因素分析

滑翔式飞行器通过攻角变化进行机动。攻角α变化会导致升阻力系数CL与CD发生改变，速度减小，从而影响机动后的射程。

从平飞滑翔段起始点p到机动点1未机动，射程不变

(38)

到达机动点1后，攻角变化，升阻力系数CL与CD发生改变，从而使升力L与阻力D都发生改变。速度减小，变为v2。从机动点1到平飞滑翔段结束点d，射程为

(39)

因此，机动导致的射程变化

(40)

其中，变化前后的升阻力系数CL1、CD1、CL2、CD2，以及机动点1处机动前速度v1、机动后速度v2、原滑翔段末端点速度vd、机动后滑翔段末端点速度vd′，需要在仿真模拟实验中通过迭代计算得到。

分析滑翔式平飞滑翔段的攻角变化-射程变化关系式(40)可知，对射程产生影响的因素主要是机动位置和攻角变化量。其中射程变化ΔS与机动高度成正相关。而攻角变化量主要通过改变升阻力系数CL与CD，从而改变升力L和阻力D，继而影响后续飞行状态，最终影响射程。而大攻角机动一般会导致速度减小，升力下降，阻力增大，因此这种机动方式理论上会导致射程减小，即射程损失。同时攻角变化也不能过大，不能超过临界攻角，否则可能导致飞行器失速。

3 数值仿真分析

3.1 弹道式再入段机动仿真验证

对于弹道式高超声速飞行器的再入段进行速度的机动。主要考虑因素为：机动位置(高度)、xyz这3个方向速度变量大小、速度变量方向、机动模式(包括脉冲机动、方波机动、相位不同、周期数不同的正弦机动等)[10]。

(a) 机动高度

从图5(a)可以看出，射程变化量与机动高度成正相关。从图5(b)可以看出，xyz这3个方向的速度变化量对射程造成的影响从大到小排序依次为：y方向影响最大，其次是x方向，z方向影响最小，基本在1km以内，且三者产生的射程变化量都与速度变化量大小成正相关。此处x方向的仿真结果在数值上与理论分析产生一定差异，原因是理论分析的速度倾角Θ不变这一假设，使得其得到结论为x方向的机动对射程造成影响可以忽略，但实际上速度倾角的变化是不可忽略的。从图5(c)可以看出，随着Δv远离yOz平面，速度变量对射程的影响随之呈现先增大后减小的趋势，在大约40°左右达到峰值。而随着Δv与xOy平面夹角增大，射程变化减小。因为当Δv与y轴正向夹角为0°～90°时，y轴分量射程增加，与x轴同样使射程增加的影响叠加，产生的射程变化量较大；当与y轴正向夹角为90°～180°时相反，y轴分量的负向影响与x轴正向影响正负抵消。Δv与yOz平面夹角和与xOy平面夹角两种情况的示意图如图6所示。

(a) Δv与yOz平面夹角

观察图5(d)和(e)，使用脉冲机动、方波机动,以及相位不同(0°、45°、90°、180°)、周期数不同(双周期、三周期)的正弦机动等机动模式，当加速时间较短(2.5s内)时，正弦180°相位产生的射程变化最小，其次是脉冲模式；加速时间增长到较长(2.5s后)后，各种模式对射程的影响都以相似的幅度增大，其中最小的是脉冲模式，其次是三周期正弦和两周期正弦模式。

3.2 弹道式自由段机动仿真验证

对于弹道式高超声速飞行器的自由段进行速度的机动。主要考虑因素为：机动位置、xyz这3个方向速度变量大小、速度变量方向、机动模式(包括脉冲机动、方波机动、相位不同、周期数不同的正弦机动等)，与再入段类似。

(a) 机动时间

从图7(a)可以看出，射程变化量与机动时间成负相关。从图7(b)可以看出，xyz这3个方向的速度变化量对射程造成的影响从大到小排序依次为：y方向影响最大，其次是x方向，z方向影响最小，且三者产生的射程变化量都与速度变化量大小成正相关。从图7(c)可以看出，射程变化量Δv与yOz平面夹角大致成正相关，而Δv与xOy平面夹角成负相关。在与yOz平面夹角曲线的变化过程中，在15°处会出现一个射程变化量为0的点，此处y轴方向分量使射程减小，与x轴、z轴的正向影响正负抵消。观察图7(d)，使用脉冲机动、方波机动、正弦机动(包括相位为0°、45°、90°、180°，以及单周期、双周期、三周期)等机动模式，在加速时间较小时(20s以内)，其余几种机动模式产生的射程变化都小于脉冲机动，特别是正弦45°相位、正弦90°相位和方波机动；在加速时间较大(大于20s后)时，其余几种模式对射程产生的影响都逐渐增大，而正弦90°相位的射程损失仍然能保持在较小的范围内。另外，对比自由段和再入段中射程变化的数值，可见自由段机动对射程变化的影响远大于再入段。

3.3 滑翔式机动仿真验证

对于滑翔式高超声速飞行器的平飞滑翔段进行攻角的机动。主要考虑因素为：机动位置、攻角变化大小、机动模式(包括脉冲机动、方波机动、相位不同、周期数不同的正弦机动等)[11]。滑翔式飞行器通过大攻角改变升力L和阻力D，从而改变射程。

考虑一个弹道式高超声速飞行器的平飞滑翔段，速度约在Ma=5.5～6。攻角固定为11°，机动高度在30～50km范围内变化，射程变化曲线如图8(a)所示；固定在高度45km处进行机动，攻角在1°～20°范围内变化，射程变化曲线如图8(b)所示；为探究机动模式影响，固定机动高度为45km，攻角变化量Δα为5°，射程变化曲线分别如图8(c)和(d)所示。

从图8(a)可以看出，射程变化量与机动高度成正相关，即机动位置越高，射程变化量越大；从图8(b)可以看出，射程变化量与攻角变化量成正相关，负攻角变化量会导致射程减小，即射程损失，而正攻角变化量会导致射程变大；观察图8(c)和(d)，使用脉冲机动、方波机动,以及相位不同(0°、45°、90°、180°)、周期数不同(双周期、三周期)的正弦机动等机动模式。无论使用何种机动模式，在机动时长较短(10s以下)或较长(30s以上)时，导致的射程变化都较大;而当机动时长适中(10～30s范围内)时,产生的射程变化较小，选择机动周期时应当尽量选择在此范围内。放大观察13～18s范围，其中双周期、正弦45°相位机动和方波机动产生的射程损失较小，正弦0°相位、正弦180°相位、三周期正弦机动产生的射程损失较大。

(a) 机动高度

4 结 论

本文分别开展了弹道式和滑翔式两种高超声速飞行器突防机动造成的射程变化的推导和仿真验证工作，推导并分析了机动位置、速度变化量大小和方向、攻角变化量、机动模式等的影响。通过仿真对推导得到的机动-射程变化量关系进行了验证，结果表明，机动位置、速度变化量大小和方向、攻角变化量、机动模式等会影响弹道式和滑翔式高超声速飞行器的射程变化量。

根据分析和仿真结果，给出对射程影响较小的突防机动策略建议如下：

1)针对弹道式高超声速飞行器的再入段机动，应尽量在距地面高度较低、接近目标点处进行机动。尽量选择z方向机动，或Δv在x正y负区域的机动方向，并保持与yOz平面夹角在80°以上，且速度变量尽可能小。机动时长较短(2.5s内)时，优先选用正弦180°相位的机动模式；机动时长较长(2.5s后)时，可考虑使用脉冲机动。但考虑到对于实际应用中脉冲突变的瞬时加速度很大，难以实现，可以选择使用双周期、三周期等多周期正弦机动模式。

2)针对弹道式高超声速飞行器的自由段机动，应尽量在较为接近再入点的时间段机动。选择z方向机动，或Δv在x正y正区域的机动方向，特别是可选择与yOz平面夹角为15°附件区域，且速度变量尽可能小。机动时长较短(20s内)时，可选用正弦45°相位、正弦90°相位、方波等机动模式；机动时长较长(20s后)时，正弦90°机动模式表现最优，可以优先选用。考虑到自由段机动导致的射程变化通常要大于再入段，因此应尽量选择在再入段进行机动。

3)针对滑翔式高超声速飞行器的平飞滑翔段机动，应尽量在较为接近平飞滑翔段末端点的时间段机动，攻角变化量控制较小，机动模式上优先选择正弦双周期、正弦45°相位机动和方波机动模式，且机动时长尽量控制适中，大致在10～30s范围内。