基于解析解的小范围高频率机动飞行器制导律设计*

彭科科，刘国群

(1.中国兵器工业集团航空弹药研究院有限公司· 哈尔滨·150000；2.哈尔滨工业大学 航天学院· 哈尔滨·150001)

0 引 言

在现代作战环境下，巡航类飞行器的状态通常为等速等高飞行，大概率会受到来自敌方威胁区的拦截器的威胁，因此飞行器需要在特定位置进行小范围高频率的机动飞行以提高其生存能力[1]。考虑到巡航类飞行器掠地/海飞行的特点，其在纵向平面内的机动范围有限，所以将机动方向固定为横向平面。传统的制导方法如比例导引，由于其视线角速度的收敛特性，比例导引在制导的过程中视线角速度会逐渐趋于零，这是不利于突防的[2-3]。因此，需要找到一种合适的制导律使得飞行器能够在小范围内进行高频的侧向机动。

现有的机动飞行制导律主要集中在弹道打击末段，其中一种方式为虚拟目标跟踪法。何磊等[4]根据高超声速滑翔器螺旋机动突防的概念，设计了一个具有曲线渐伸线性质的虚拟目标，然后令飞行器通过自适应比例导引律对虚拟目标进行跟踪。该方法能够使飞行器较好地跟踪瞬时虚拟目标，从而完成螺旋机动，但是通过其仿真结果可以看出，虚拟目标形成的轨迹尺度较大，机动频率较低，并不适合小范围机动飞行器的制导律。

另一种制导律方法是基于滑模变结构理论。段安娜等[5]在考虑终端约束的情况下，推导了基于滑模变结构的螺旋机动制导律，其在切换面引入视线角参考指令和螺旋机动控制项，但是需要对制导律中的参数进行试凑整定，通用性不强。宋贵宝等[6]设计了纵向平面和航向平面内的螺旋机动变结构制导律，其视线角速度均按照正弦规律变化，能够提高飞行器的突防概率。

黄鲁豫等[7]结合虚拟目标和滑模变结构理论两种方法的思想，基于自抗扰控制及反步滑模控制，提出了一种多约束条件下的导弹螺旋机动制导方法，采用补偿器在攻角超出约束范围时对指令进行修正，以实现对攻角的限制。针对有界不确定性及未知干扰，设计了干扰观测器对其进行估计与补偿，提高了系统的鲁棒性。但是其螺旋轨迹过于平滑，仍不适合小频率范围内的机动。

传统的制导律设计方法，例如选择视线角速度作为制导律状态量或跟踪虚拟目标的方式[8-9]，存在参数整定困难、机动频率较小的问题。为了尽可能提高巡航类飞行器在平飞过程中的侧向突防能力，本文基于导弹的动力学，根据期望的飞行轨迹得到了制导律的解析解。该方法形式简单且有效，无需调参，只要在一定的初始条件下即可实现飞行器能力范围内最高频率的正弦机动。

1 飞行器动力学模型建立

将飞行器动力学方程建立在弹道坐标系上，有如下形式

(1)

式中，X、Y、Z分别为飞行器受到的阻力、升力和侧向力；m为飞行器的质量；V为飞行器的速度；θ为弹道倾角；ψ为弹道偏角；γV为倾侧角；g为重力加速度。

要确定飞行器质心相对于地面坐标系的运动轨迹(弹道)，需要建立飞行器质心相对于地面坐标系运动的运动学方程[10]

(2)

式中，x、y、z分别为发射系下飞行器3个方向的位置坐标。

2 横向往复高频机动制导律设计

2.1 正弦机动制导律设计

期望巡航类飞行器能够在横向机动范围进行高频率的往复机动，令侧向位移为正弦形式，即发射系下有

z=Asin(ωt)

(3)

其中，A为机动幅值；ω为机动频率。

同时根据动力学方程，有

(4)

将式(3)代入式(4)，得到

(5)

又因纵向平面保持不进行机动的等高飞行状态，故cosθ≈1，对式(5)移项可得

(6)

根据过载表示的动力学方程可知

(7)

其中，nz为飞行器的侧向过载。

将式(6)代入式(7)可得

(8)

省略小项后可简化为

(9)

可见，侧向的过载指令也是正弦形式。

2.2 正弦机动制导律初值与最大机动频率的选定

由2.1节得出，侧向过载为正弦形式时，在等高等速环境下也可以得到正弦形式的侧向位移。但是从式(7)可以看出，该过程包含积分过程，因此需要设定合适的弹道偏角初值ψ0。

设给定侧向过载为nz=A′sin(ωt)，其中A′=-Aω2/g。代入式(6)，对时间积分可得

(10)

积分常数C为

(11)

因此，弹道偏角ψ可以表示为如下形式

(12)

观察式(6)，在等速飞行(V=const)、等高飞行(cosθ=1)和小机动(sinψ≈ψ)的条件下，若希望侧向机动为标准正弦形式，ψ的表达式必须为标准余弦形式，否则在余弦项和常数项的共同影响下，侧向位移会以余弦和正比例叠加的形式逐渐偏离，因此弹道偏角初值ψ0需要满足

(13)

即

(14)

将A′的表达式代入式(14)，得到

(15)

只要给到确定的初始条件ψ0和式(9)形式的侧向过载nz，即可得到z=Asin(ωt)形式的侧向位移。

因机动飞行器主要考虑的是侧向平面的机动飞行，对纵向平面要求等高飞行即可，所以纵向制导律可以设计为关于高度的简单比例-微分反馈形式。综上所述，在等高飞行的情况下，为了得到z=Asin(ωt)形式的侧向位移，参考式(9)形式，设计制导律如下

(16)

其中,ny为纵向过载指令，nz为侧向过载指令；KP、KD分别为比例系数和微分系数；yref为期望高度与实际高度之差；vy_ref为y向期望速度与实际y向速度之差。只需要确保机动时刻t0的弹道偏角初值ψ0=-Aω/Vcosθ即可。

同时由式(16)的第2式可知，最大需用过载是由机动幅值A和机动频率ω共同决定的，在给定机动幅值A和飞行器最大可用过载的情况下，最大机动频率为

(17)

3 仿真试验及结果分析

3.1 仿真结果

对2组典型工况进行仿真和分析：

工况1中，设定速度V=1000m/s，飞行高度y=10000m，侧向过载限幅20g，机动幅值A=100m，开始机动时间为10s，机动结束时间为60s。根据式(17)计算得到的机动频率为1.4rad/s。

仿真结果如图1～图6所示。

图1 飞行三维图Fig.1 Three-dimensional flight graph

图2 z坐标随时间变化曲线Fig.2 Time histories of the z-position

图4 z方向速度随时间变化曲线Fig.4 Time histories of the z-velocity

图5 攻角和侧滑角随时间变化曲线Fig.5 Time histories of the AOA and beta angle

图6 过载随时间变化曲线Fig.6 Time histories of the normal load

工况2中，设定速度V=200m/s，飞行高度y=3000m，侧向过载限幅30g，机动幅值A=100m，开始机动时间为10s，机动结束时间为60s。根据式(17)计算得到的机动频率为2.2133rad/s。

仿真结果如图7～图12所示。

采用基础粒子群优化(Particle Swarm Optimization，PSO)算法对最大机动频率进行优化计算[11]，设PSO基本参数如下：

图7 飞行三维图Fig.7 Three-dimensional flight graph

图8 z坐标随时间变化曲线Fig.8 Time histories of the z-position

图9 偏航角随时间变化曲线Fig.9 Time histories of the yaw angle

图10 z方向速度随时间变化曲线Fig.10 Time histories of the z-velocity

图11 攻角和侧滑角随时间变化曲线Fig.11 Time histories of the AOA and beta angle

图12 过载随时间变化曲线Fig.12 Time histories of the normal load

种群个体数量N=20，最大迭代次数30次，惯性权重w=0.7，自我学习因子C1=0.5，群体学习因子C2=0.5。优化变量为机动频率，优化指标为机动频率最大，约束条件为机动过载小于可用过载[12]。

仿真初始条件：飞行器初始状态为(0,10000,0,1000,0,0)(6个状态量分别为发射系下x、y、z、V、θ、ψ)。

设最大可用过载为20g，横向机动幅值为50m，对最优频率进行优化，并与解析解对比，得到如图13～图16所示结果。

图13 PSO过程中适应度随迭代次数的变化曲线Fig.13 The change curve of fitness with the number of iterations in PSO process

图14 PSO过程中最优频率随迭代次数的变化曲线Fig.14 The change curve of optimal frequency with the number of iterations in PSO process

图15 解析最优频率得到的过载变化曲线Fig.15 Time histories of normal load based on analytical optimal frequency

图16 PSO最优频率得到的过载变化曲线Fig.16 Time histories of normal load based on optimal frequency in PSO

3.2 结果分析

图1～图6仿真结果显示，本文设计的机动制导律可以较好地完成侧向机动。从图1、图2和图6可以看出，机动飞行器在制导律的作用下实现了侧向机动，机动幅值满足工况中的要求，同时需用过载充分利用了可用过载空间，在满足机动幅值的情况下实现了飞行器能力范围内最大频率的机动。从图3也可以看出，在等速等高和机动时刻的偏航角初值符合要求的情况下，偏航角也是标准的正弦形式。

图7～图12仿真结果体现的是速度较小情况下制导律的实现情况。从图8可以看出，机动飞行器的侧向机动幅值并没有达到要求的100m，这是因为在推导解析表达式的过程中，式(8)分母中根号项被置成了1，但是在速度较小的情况下，根号项会略小于1。省略导致式(16)第2式中正弦幅值项分母偏大，使得式(17)中的分子项偏大，得到了偏大的机动频率，最终制导指令在一个周期内不足以激励飞行器达到最大机动幅值。对比表1中的结果可以发现，在速度较大的情况下，解析表达式中的省略项可忽略不计，因此侧向机动幅值较为准确；在工况2中的200m/s的小速度下，幅值误差会增加至10%左右。

通过图13～图16中PSO的仿真结果可以验证，解析算法能够精确得出最大机动频率，而PSO计算得出的最大机动频率精度也能很好地满足要求，误差率在5%以内。

4 结 论

本文研究了基于解析解的小范围高频率飞行器制导律，实现了平飞过程中飞行器小范围的侧向机动，仿真结果表明，所提出的制导律能够充分利用飞行器可用过载进行最高频率的机动，制导精度较高。但是本文在解析解求取过程中,认为幅值乘以频率相对于速度是一个小量，在速度较小和幅值较大时,飞行器的实际机动幅值会略小于期望幅值，因此后续将考虑对解析过载指令进行一定的速度补偿,以充分发挥飞行器的机动能力。