低雷诺数下串列布置双圆柱涡激振动特性研究1)

涂佳黄 黄林茜 何永康 吕海宇 梁经群

(湘潭大学土木工程与力学学院，湖南湘潭 411105)

引言

涡激振动现象广泛存在于实际工程中,如海洋立管[1]、桥梁拉索[2]、高层建筑[3]等.弹性支撑结构体置于一定速度的流场中,会在其两侧产生交替脱落的旋涡,并诱发结构表面产生流体脉动力,引起结构振动.当弹性支撑结构的振动频率与涡脱落频率基本重合时,引发共振,从而对结构造成不可逆的破坏[4].因此,对于涡激振动问题一直是研究的热点之一,并取得了一系列成果[5-8].

在实际工程中,结构往往以结构群的形式出现,因此对圆柱群涡激振动问题进行研究具有重要意义.影响涡激振动的主要参数包括雷诺数[9]、剪切率[10]、质量比[11]、间距比[12]、频率比[13]等.近些年来学者们关于各个参数对圆柱涡激振动的影响开展了大量的研究.Papaioannou 等[14]对不同间距比工况下串列双圆柱与单圆柱工况涡激振动问题进行了研究,当间距比较小时,上游圆柱所对应的锁定区间较单圆柱工况明显扩大,但当间距比超过临界间距比时,上游圆柱基本不受下游圆柱影响,其振幅与单圆柱工况相似.Mittal 和Kumar[15]对Re=100 工况下,串列和错列布置双圆柱体流致振动进行了数值模拟,当圆柱排布方式从串列布置转变为并列布置时,双圆柱结构运动轨迹将从“8”字形转变为“椭圆”形.及春宁等[16]对Re=100 条件下,串列双圆柱在不同情况下的流致振动进行了数值模拟研究,发现无论上游圆柱固定或者振动,下游圆柱的振幅会强于上游圆柱.Qin 等[17]对串列布置双圆柱体进行了实验研究,在不同的频率比工况下分别发现了锁定、涡激发以及驰振等不同的振动机制.陈文曲等[18]运用分块耦合法对下游圆柱涡致振动的升阻力特性进行了模拟研究,发现结构表面升力的变化和涡脱落模态以及初始涡脱落时刻之间的内在联系.邹琳等[19]运用动网格技术对Re=100 条件下串列双圆柱涡激振动响应进行数值模拟研究,发现在不同间距比工况下,下游圆柱升阻力系数在折减速度Ur=7.2 附近会出现“跳跃现象”,并出现阻力峰值.陈威霖等[20]对小间距比下串列双圆柱尾流耦合机制进行了模拟研究,发现由于串列双圆柱之间平衡位置差的调和当间距比L/D=1.1 时,在较广的折减速度区间内圆柱会发生大振幅运动.段松长等[21]研究了错列角度对双圆柱涡激振动的影响,当折减速度较小时,柱体升阻力系数随错列角度的增大而增大,当错列角度固定时,折减速度的改变对升力影响较大而对阻力影响较小.Ryan 等[22]对层流范围内临界质量比进行了探究,当Re=40～ 95 范围内存在临界质量比,且其值随着雷诺数的增大而减小.Chen 等[23]对间距比L/D=1.2～ 5.0 范围内串列三圆柱进行数值模拟研究,并分析了平衡位置偏移、低频振动以及漩涡脱落与圆柱之间的时机3 个关键因素对驰振现象的影响.

综上所述,目前研究者们对于影响多圆柱涡激振动参数的探讨大多集中在取两到3 个变量,且多集中在对雷诺数、间距比、剪切率等关键参数影响的研究,而对不同频率比的影响研究较少.然而,在实际工程中,结构会受到多种环境参数变量的影响.因此,本文基于四步半隐式特征线分裂算子有限元方法对层流条件下串列双圆柱双自由度涡激振动问题进行了模拟研究,主要分析了频率比(r=1.0,1.5,2.0),间距比(L/D=2.5,3.5,5.5),剪切率(k=0.0,0.05,0.1)以及折减速度(Ur=3～ 20) 4 个关键参数对结构动力响应、尾涡特性、频谱特性、相位特征与能量传递方面的影响,并揭示其内在机理,为实际工程应用提供参考依据.

1 流固耦合数值方法

1.1 流体控制方程

基于任意-拉格朗日欧拉方法下不可压缩黏性流体N-S 方程的无量纲形式表达如下[24]

式中,xi与xj分别为i,j方向空间坐标;ui与p为流体速度与压力;cj=uj-wj,其中wj为网格移动速度,cj为流体相对于wj的对流速度;t为时间;雷诺数Re=UcD/ν,其中D与Uc分别为特征长度尺寸与中心来流速度,ν为流体动力黏性系数.

1.2 固体控制方程

弹性支撑圆柱结构运动体系可假设为质量-阻尼-弹簧系统,双自由度运动结构的控制方程无量纲形式如下

式中,X与Y分别为结构顺流向和横流向无量纲位移;ξ为结构阻尼系数,为了得到最大结构位移响应,取ξ=0;Ur,x=Uc/(fn,xD)和Ur,y=Uc/(fn, yD)分别为x方向(顺流向)与y方向(横流向)折减速度,其中fn,x和fn,y分别为弹性支撑圆柱体结构的顺流向和横流向自然频率;分别为阻力系数和升力系数;mr=m/(ρD2)为结构折合质量,其中m为单位长度结构质量,ρ为流体密度.本文采用Newmark-β时间积分法求解结构动力方程.

1.3 网格更新

为了避免网格失效,本文对Laplace 方程的边值问题方法进行了改进,采用改进的Laplace 方程对网格坐标进行更新[25]

式中,Si为网格节点i方向位移;Гm和Гf分别为网格动边界和固定边界;gi是运动边界上的节点位移;τ是网格形变控制参数,表达式如下

式中,Δe为计算网格单元的面积(或体积);Δmin和Δmax分别为网格单元中最小与最大的面积(或体积).本文采用Galerkin 有限元方法求解该Laplace 方程的边值问题.

1.4 计算流程

本文采用分区迭代方法求解钝体结构涡激振动问题,该算法的计算流程如下:

(1) 求解流体控制方程:运用基于四步半隐式CBS 稳定化有限元方法求解流体控制方程式(1)和(2),获得t(n +1)时刻流场速度与压力,从而得到流体作用于结构上的流体力.

(2)求解固体控制方程:将流体力施加到结构,以Newmark-β时间积分方法求解结构运动控制方程式(3),得到t(n +1)时刻结构的动力响应.

(3) 网格更新:采用Galerkin 有限元方法求解Laplace 方程式(4),获得网格节点位移及网格速度,并更新网格坐标.

(4)返回第一步开始计算t(n +2)时刻,并循环至系统达到稳定为止.

本文的数值方法已运用于涡激振动相关问题求解过程中,并能得到较好的数值结果[26-28],验证其正确性与可靠性.

2 问题描述

2.1 计算模型

基于上述方法本文对串列双圆柱流致振动问题进行了数值模拟研究,其计算模型如图1 所示,两圆柱在横流向与顺流向均可自由振动,选取雷诺数Re=100,其他参数选取为:间距比L/D=2.5,3.5,5.5;剪切率k=0.0,0.05,0.1;固有频率比r=fn,x/fn,y=1.0,1.5,2.0;折减速度Ur=Ur,x=3～ 20;质量比mr=7.85.计算域尺寸为[-30D,60D] × [-10D,10D],上游圆柱(upstream cylinder,UC)的圆心位置为(0,0),下游圆柱(downstream cylinder,DC)的圆心位置为(L/D,0).本文计算域堵塞率B=5%,边界条件设置如下:模型入口设定为速度入口ux=Uc+ky(Uc=1.0),uy=0;模型出口设定为压力出口p=0;上下边界均为自由滑移边界∂ux/∂y=0,uy=0;结构表面为无滑移壁面u x=uy=0.对于弹性支撑圆柱体结构,为了获得较大的结构动力响应,故不考虑阻尼影响,将其简化成质量-弹簧系统模型,其量纲归一化时间步长设为Δt=0.002.

图1 计算模型与边界条件Fig.1 The computational model and boundary conditions

2.2 网格划分

本文流场计算域采用非结构化三角形网格划分法,为了更准确的刻画出圆柱尾涡的形成与发展,故对圆柱附近及尾流区域进行网格加密处理.由表1 可知,与密网格GIII 相比,网格GI 的Xmax/D与Ymax/D的计算结果最大变化率分别为6.25%和4.96%;网格GII 的最大变化率分别下降为0.33%和0.06%.由于网格GII 已满足数值模拟结果网格收敛性要求和计算精度要求,且若采用密网格GIII,虽能获得更高的计算精度,但计算耗时会大幅度增加,效率降低.综上所述,本文所有算例采用的网格密度和分布情况与GII 类似.

表1 网格独立性验证:串列布置双圆柱流致振动计算结果(L/D=2.5,r=1.0,k=0.0, Ur=6.0)Table 1 Grid independence test:the results for the two tandem circular cylinders at L/D=2.5,r=1.0,k=0.0, Ur=6.0

3 计算结果与分析

3.1 振幅特性

本文对不同剪切率,固有频率比,间距比以及折减速度工况下串列布置双圆柱双自由度流致振动振幅变化情况进行了分析.由图2 可知,圆柱横流向振幅要远大于其顺流向振幅,且UC 的共振区间明显要宽于DC 的共振区间.整体上看,频率比较小工况(r=1.0 与r=1.5)对UC 振幅值变化影响较小,其幅值随折减速度的变化较为接近,但当r增大到2.0 时,UC 在两个自由度方向的振幅明显增大.一方面,当频率比较大时,x,y方向的结构刚度不同,使其容易受到流体脉动力的影响,进而导致脉动力引发的振动越大.另一方面,可能由于此时圆柱流向振动和横向振动同时达到共振有关,双频共振的出现使得频率比为2.0 时,圆柱振幅明显增大.特别的是,UC 在两个自由度方向达到最大振幅值的折减速度不同,而DC 基本同步.另外,由于来流以及间隙流的干扰,使得UC 与DC 两者“锁定区间”的折减速度范围存在差值,UC 较DC 更早进入共振状态,同时也会更早退出.

图2 不同频率比与剪切率工况下,串列双圆柱双自由度最大振幅随折减速度的变化(L/D=2.5)Fig.2 The variation of the maximum vibrating amplitude of tandem double cylinders with reduced velocity under different frequency ratios and shear rates in two degrees of freedom (L/D=2.5)

图2 不同频率比与剪切率工况下,串列双圆柱双自由度最大振幅随折减速度的变化(L/D=2.5) (续)Fig.2 The variation of the maximum vibrating amplitude of tandem double cylinders with reduced velocity under different frequency ratios and shear rates in two degrees of freedom (L/D=2.5) (continued)

3.1.1L/D=2.5

当折减速度(Ur=3～ 4) 较小时,两圆柱在x,y方向仅微弱振动,振幅接近于零.当Ur=5 时,振幅开始“启动”,UC 在横流向的振幅值迅速增大,逐渐进入锁定状态.然而,顺流方向仅在r=2.0 工况下圆柱体结构会发生明显的振幅,在其它频率比(r=1.0,1.5)工况下,UC 基本不振动,如图2 所示.由图3 可知,r=1.0 与r=1.5 工况所受到的流场时均压力基本相同,UC 迎流面受到来流的冲击作用受到正压,其尾部由于涡流的脱落产生吸力受到负压作用.当r=2.0 时,UC 受到的正压面积更广,与此同时DC 的前驻点附近开始出现正压,两圆柱尾部负压面积均增大,这可能是该工况比其它两个工况振幅更大的原因,如图3(c)所示.随Ur进一步的增大,圆柱开始进入“锁定区间”(Ur=5～ 10),在此区间内圆柱的振动频率与涡脱落频率无限接近,从而诱发共振现象.由图2 观察到两圆柱在横流向的振幅值迅速增大,并在不同的折减速度处取得极值.另外,UC 在不同自由度方向上被“完全锁定”的折减速度不同,其横流向振幅最大值在Ur=7 处取得,其值为0.82(k=0.05,r=2.0).然而,在Ur=5 时顺流向振幅达到最大值,其值为0.19(k=0.0,r=2.0).对于下游圆柱则没有出现错位现象,DC 在两个自由度方向上被“完全锁定”的折减速度相同,其横流向上最大振幅值达到了1.36(k=0.0,r=2.0)是UC 的1.7 倍,顺流向上最大振幅值为0.24(k=0.0,r=2.0)是UC 的1.3 倍.当Ur≥9 时,UC 退出锁定区间,在两个流向上的振幅均趋于稳定,横流向最大振幅值维持在0.2 附近,而顺流向最大振幅值已趋于零.然而,DC 横流向的振幅在Ur=9 时,还维持着较大的振幅值1.0.随着Ur的继续增大DC 在x方向的振幅值为0,在y方向的振幅由1.0 递减到0.2 左右,当Ur≥16 时,UC 与DC 在两个流向的振幅值均趋于0,两圆柱体结构不再发生振动.

图3 k=0.0 与Ur=7 时,不同频率比下流场无量纲时均压力图Fig.3 Dimensionless time-averaged pressure diagram of flow field at different frequency ratios at k=0.0 and Ur=7

3.1.2L/D=3.5

当间距比增大到3.5 时,UC 与DC 在两个自由度上最大振幅值变化规律与L/D=2.5 工况大致相同,UC 在Ur=6 处Ymax/D值最大,其最大值为0.79(k=0.05,r=2.0),而DC 在Ur=8 处Ymax/D值最大,其最大值为1.33(k=0.1,r=2.0),如图4 所示.其中,UC 的振幅变化趋势较为规律,而DC 较为特殊.特殊在于:均匀来流工况下,DC 在x与y方向上最大振幅值出现了“平台期”,其“锁定区域”图形类似于梯形,在Ur=7 与8 时结构会发生最大振幅,如图4(a)所示.剪切来流工况下(k=0.05),频率比较小时(r=1.0,1.5)DC 在横流向上的振幅值随Ur的增大规则的增大,然而在r=2.0 工况下,Ymax/D在Ur≤7 时缓慢的增加,但当Ur=8 时,Ymax/D会从0.5(Ur=7)跳跃到1.47(Ur=8),DC 在此频率比工况振幅启动开关要晚于另外两个频率比工况,如图4(b) 所示.由图5 可观察到,在r=1.5 工况下,DC 在Ur=7 与Ur=8 时尾部的负压面积相当,如图5(b)所示,使得DC 在横流向上的振幅相同,出现了“平台期”.然而,在r=2.0 工况下,DC 在Ur=7 时尾部负压区面积接近于0,当折减速度增长到8 时,其尾部负压区面积增大并超过了其他频率比工况,导致结构大振幅现象会延时出现.当剪切率进一步增大到k=0.1 时,UC 在小频率比工况下(r=1.0,1.5)横流向振幅被完全锁定的折减速度区间有所扩大(Ur=6～ 8),如图4(c)所示.此时DC 在r=1.5 工况下无论是横流向振幅还是顺流向振幅都较平缓.当r=1.0 与r=2.0 时,其在横流向上的振幅值在Ur≤7 时都较平缓,然而在Ur=8 处会突然跳跃到一个极大值,这与k=0.05 工况相似,但不同的是,在k=0.1 工况下,DC 在r=1.0 时Xmax/D最大会增长到0.5(Ur=8),结构顺流方向振动会达到最大值.

图4 不同频率比与剪切率工况下,串列双圆柱双自由度最大振幅随折减速度的变化(L/D=3.5)Fig.4 The variation of the maximum vibrating amplitude of tandem double cylinders with reduced velocity under different frequency ratios and shear rates in two degrees of freedom (L/D=3.5)

图5 不同频率比工况下,流场无量纲时均流场压力图(k=0.05)Fig.5 Dimensionless time-averaged pressure diagram of flow field at different frequency ratios (k=0.05)

3.1.3L/D=5.5

当间距比进一步增大到5.5 时,两圆柱之间的间距超过临界间距比,此时UC 的振动情况与单圆柱工况相似,而DC 受到上游圆柱尾流的影响明显增强[12].图6 给出了L/D=5.5 时不同剪切来流工况下UC 与DC 双自由度振幅变化情况.由图可观察到UC 较DC 振幅变化更加规律,其振幅变化主要集中在4＜Ur＜9 范围内.随着剪切率的增大,不同固有频率比对DC 影响较大,对UC 影响较小.这是由于对于串列双圆柱绕流,上游圆柱的涡激振动是一种共振现象,然而下游圆柱受到共振作用的同时,还受到UC 尾流与圆柱的相互作用,随着剪切率与间距比的增大,尾流与圆柱的相互作用逐渐起到主导作用,使得不同频率比对圆柱振幅的影响越发明显.Ur≤7时,DC 在r=2.0 工况下的Ymax/D值一直小于r=1.5 与r=1.0 工况.但是当Ur=8 时,r=2.0 工况下的横流向最大振幅值会超过另两个工况取得最大值,又会在Ur=9 时迅速减小.与均匀来流工况相比,DC 在剪切来流中振幅变化范围有所扩大,在UC 尾流的影响下,DC 出现了次峰,且剪切率越大,UC 尾流与DC 相互作用越强,次峰越明显,如图6(b)与图6(c)所示.相较于k=0.05 工况,剪切率增大到k=0.1 时,DC 在顺流向的幅值变化呈波动状,且频率比越小波动越明显.DC 在横流向上,r=1.0 与r=2.0 工况均会在Ur=8 处取得极大值,然而r=1.5 工况则处于平稳的波动状,没有明显的峰值,与L/D=3.5 工况类似,如图4(c)所示.由于双圆柱体结构间距较大,UC 受到DC 的影响较小,UC 尾涡脱落完整,DC 上行涡拉长在远尾流区脱落,如图7 所示.而下行涡由于DC 的剧烈振动受到抑制,在整个锁定区间内,圆柱脱涡情况较为接近,使得此工况下圆柱振幅大小接近.

图6 不同频率比与剪切率工况下,串列双圆柱双自由度最大振幅随折减速度的变化(L/D=5.5)Fig.6 The variation of the maximum vibrating amplitude of tandem double cylinders with reduced velocity under different frequency ratios and shear rates in two degrees of freedom (L/D=5.5)

图7 r=1.5,k=0.1 时不同折减速度下的同一时刻流场瞬时涡量图Fig.7 Instantaneous vorticity diagram of flow field at the same time at r=1.5 and k=0.1

图7 r=1.5,k=0.1 时不同折减速度下的同一时刻流场瞬时涡量图 (续)Fig.7 Instantaneous vorticity diagram of flow field at the same time at r=1.5 and k=0.1 (continued)

3.2 相位特性变化

圆柱涡激振动中升力与位移的相位差变化体现了流体力做功的正负.当结构的振动频率接近涡脱落频率时会发生同步现象,升力幅值突然变大并且其与结构位移间的相位会有180°的跳跃[29-31].

3.2.1L/D=2.5

当L/D=2.5 时,双圆柱体结构升力与位移之间的相位差在折减速度Ur=3～ 6 时接近于零,如图8 所示,说明此时圆柱结构在一个振动周期内能量净传输量为零.随着折减速度进一步增大,在Ur=6～ 9 区间内升力与位移之间的相位差完成了从同相到反相的转变,相位从0°跳跃到180°,能量传递在此区间内变得复杂起来,并且这个转变区间正对应着圆柱振幅锁定区间,由此说明相位转变与结构振动幅度有着密切的关系,如图2 所示.整体来说,剪切率的改变对升力与位移相位差的影响不明显,UC 与DC 仅在相位转变区间(Ur=6～ 9)较为杂乱而在其它区间内都较为规则.当间距比较小时,UC 与DC 结合类似一个整体,在来流作用下,两者之间的相位差呈现同步变化.另一方面,频率比的变化对UC 与DC 的影响主要在于:在相位转变区间,频率比越小,结构升力与位移之间的相位差完成从同相到反相的转变速度越快.然而,频率比越大在锁定区间圆柱振幅越大,如图2 所示.由此可以总结出:随频率比的增大会逐渐加强对结构涡激振动效应的影响,能量从流体传递到柱体的速度越缓慢,且过程会更复杂.

图8 在不同剪切率与频率比下,串列双圆柱升力与横流向位移相位差变化图(L/D=2.5)Fig.8 Diagram of phase difference between lift and transverse displacement of double cylinders in series at different shear rate and frequency ratio (L/D=2.5)

以L/D=2.5,k=0.0,r=2.0 工况为例,当Ur=6,8,10 时,UC 上升力与位移间相位差分别处于同相、相位转变以及反相区间.图9 为3 个折减速度工况下升力时程曲线与位移时程曲线图,由图9(a)可知,当Ur=6 时,升力与位移同相变化,升力时程曲线变化幅值明显大于位移时程曲线,且横流向位移时程曲线变化呈现标准的正弦曲线而升力位移时程曲线虽然同为正弦曲线,但其每一个峰值由一大一小两个次峰组成.当Ur=8 时,升力与位移处于相位转变的复杂期,升力时程曲线呈现明显的调制振幅,横流向时程曲线虽为调制振幅但在各个瞬时阶段总的振幅值相差不大,且位移幅值变化区间要大于升力时程曲线,如图9(b)所示.当Ur=10 时,升力与位移完成了相位转变,升力时程曲线与位移时程曲线反相且均会呈现规则的正弦曲线,升力变化幅值区间再次大于横流向位移变化幅值区间.由此可以总结出:升力与位移时程曲线在同相与反相区间会呈规则的正弦曲线,然而在相位转变期间,能量传递紊乱,升力与位移时程曲线均会发生调制振动.

图9 在Ur=6,8,10 时,上游圆柱升力与横流向位移时程曲线图(k=0.0,r=2.0)Fig.9 The time history curve of lift force and transverse displacement of upstream cylinder at Ur=6,8 and 10 (k=0.0,r=2.0)

3.2.2L/D=3.5

当间距比L/D=3.5 时,随着两圆柱之间间隙的增大,上游圆柱的尾流将对下游圆柱造成一定的影响.如图10 所示,在均匀来流工况下,UC 与DC 上升力与位移相位差的转变与L/D=2.5 工况相似,都主要在“锁定区间”完成相位的转变.剪切来流下UC 在Ur=4 处出现了“弱锁定”现象,特殊的是随着剪切率增大到0.1 时,UC 与DC 在相位转变区间(Ur=7～ 8)出现了“平台期”,在这个“平台期”内,随折减速度的变大,升力与位移相位差不发生改变,流体与柱体之间能量传递相同.如图10(c)所示,“平台期”仅出现在r=1.5 与r=2.0 工况中,UC 在此两个频率比的相位差接近而DC 随频率比的增大升力与位移的相位差增大.通过对“平台期”附近折减速度工况进行加算发现从Ur=6 增长到Ur=7 的过程中,各工况呈规律的线性增长,而从Ur=8 增长到Ur=9的过程中,会在Ur=8 处出现跳跃增长.较为特殊的是,在小频率比r=1.0 时,UC 相位差会从40°跳跃到120°,而DC 相位差的变化较小,Ur=7 与Ur=8两个工况的相位差几乎一致.

图10 在不同剪切率与频率比下,串列双圆柱升力与横流向位移相位差变化图(L/D=3.5)Fig.10 Diagram of phase difference between lift and transverse displacement of double cylinders in series at different shear rate and frequency ratio (L/D=3.5)

以L/D=3.5,k=0.1 工况为例,DC 横流向振幅在Ur=8 时取得最大值,结构进入“锁定状态”发生共振现象.图11 给出了不同频率比工况下DC 在共振状态的升力时程曲线与位移时程曲线.当r=1.0 时,升力与横流向位移时程曲线均为调制振幅,且横流向位移时程曲线呈现为更为特殊的“拍”频.当升力曲线幅值达到最大值时,位移曲线幅值则达到最小值,两者之间会发生错位振动.当r=1.5 时,升力与位移时程曲线调制幅度变小,时程曲线变化情况越发规律,位移时程曲线幅度明显要大于升力时程曲线.当频率比进一步增大到2.0 时,横流向位移时程曲线已恢复成规律的正弦曲线,而升力时程曲线则呈现一个大周期包含3 个小周期的特殊调制振幅.

图11 在不同频率比工况下,下游圆柱升力与横流向位移时程曲线图(k=0.1,Ur=8)Fig.11 The time history curve of lift force and transverse displacement of downstream cylinder at Ur=6,8 and 10 (k=0.1, Ur=8)

3.2.3L/D=5.5

当间距比进一步增大到5.5 时,此时两圆柱之间的距离超过了临界间距比,上游圆柱与来流之间的相互作用类似于单圆柱体,而下游圆柱既受到来流作用,又受到上游圆柱尾流的干扰,使得其横流向位移与升力相位差随折减速度的变化越发复杂.由图12 可知剪切率的不同对UC 影响较小而对DC 影响较大.均匀来流工况下,如图12(a) 所示,UC 上升力与位移间的相位差变化较为规律,主要在“锁定区间”完成了相位的转变,且频率比越大,转变的速度越缓慢.DC 的不同之处是:当Ur=8 时,DC 升力与位移相位差增长到150°附近,而在Ur=9处相位差跌落到120°出现了能量的“反哺”,随着折减速度的增大又再次回到180°.在剪切来流当中,当折减速度较小时(Ur=3),上下两圆柱存在30°的初始相位差,随着Ur的增大,升力与位移间的相位差先减小到0°随后在“锁定区间”(Ur=6～ 8)完成从同相到反相的转变.特别的是,当DC 退出“锁定区间”后,在Ur=9 处,升力与位移间的相位差会从180°减小到120°左右,最后再随折减速度的增大又重新回到180°.从图12(b)与图12(c)可以观察到,剪切率越大(k=0.1),下游圆柱相位差重新回到180°的折减速度越大.当k=0.05 时,r=1.5 与r=2.0 工况下的DC 相位差变化同步,不同的是r=1.0 工况下的相位差在小幅度上升后又会在Ur=11 处降低到120°左右,最后在Ur=16 处彻底完成相位的转变.当剪切率增大到1.0 时,UC 与DC 仅在r=1.5 频率比工况下出现了“平台期”.对于上游圆柱而言,当Ur≥9 时,3 个频率比工况均已完成相位的转变,但特殊的是r=1.0 工况较另两个频率比工况要更加不稳定.对于下游圆柱,当Ur=8 时,3 个频率比工况相位差值较大,r=1.0 与r=2.0 工况均是在到达一个极大值后在Ur=9 时相位差值回落且随着折减速度的增大最后在较大折减速度下重新上升到180°.然而,对于r=1.5 工况没有出现相位差回落现象,其升力与位移间的相位差随着折减速度的增大缓慢增长,并最终在Ur=18 时彻底完成相位的转变.

图12 在不同剪切率与频率比下,串列双圆柱升力与横流向位移相位差变化图(L/D=5.5)Fig.12 Diagram of phase difference between lift and transverse displacement of double cylinders in series at different shear rate and frequency ratio (L/D=5.5)

由图12(c) 可观察到当圆柱退出锁定区间后,UC 在Ur=8 处完成相位转变后,随着折减速度的增大,将会一直维持反相变化.图13 给出了L/D=5.5,k=0.1,r=1.0,Ur=14 工况UC 与DC 的升力时程曲线与横流向位移时程曲线图.由图13(a) 可知,UC 的横流向位移时程曲线为一个大周期包含两个小周期的调制振幅,而升力时程曲线变化类似于正弦曲线,但每临近两个峰值幅值有细小的差别.另一方面,DC 升力时程曲线呈现特殊的调制振幅,波峰变化相同,而波谷则为一低一高两种波况,且两者之间最小振幅值为接近1.7 倍大小的关系,如图13(b)所示.

图13 Ur=14 时,串列双圆柱升力与横流向位移时程曲线图(k=0.1,r=1.0)Fig.13 The time history curve of lift force and transverse displacement of upstream cylinder and downstream cylinder at Ur=14 (k=0.1, r=1.0)

3.3 流体力功率谱密度分析

在3.2 节中通过对串列双圆柱的升力与横流向位移相位差变化情况进行对比分析,探究了不同工况下圆柱结构与流体之间能量转换的关系.本节将以r=1.5 工况为例进一步对下游圆柱流体力系数功率谱密度(PSD)在不同间距比以及剪切率工况下的主峰幅值、频谱成分及波动性进行分析,深入探究结构能量变化情况及内在力学机理.

如图14 所示,在均匀来流工况下,当Ur=4 时,不同工况下的升阻力PSD 曲线均较为光滑,主频能量值较小,圆柱振动微弱.当折减速度增长到6 时,在小间距比工况下(L/D≤3.5)流体力PSD 曲线增大至3 阶,升力PSD 曲线包围的面积有效增大使得DC 获得更多的动能,在横流向开始产生较大的振幅.然而,在L/D=5.5 工况下,流体力系数PSD 曲线次峰及杂频占据的能量值增多,下游圆柱运动更加复杂.当Ur为7～ 8 时,此时下游圆柱位于锁定区间,PSD 曲线出现多阶同等量级的频率峰值,波动性增强,能量由流体大量流向圆柱体,DC 剧烈振动.当Ur增大到9 时,在L/D≤3.5 工况下,下游圆柱流体力PSD 曲线波动性减弱,能量已基本完成从流体传入结构物的转变.然而在L/D=5.5 工况下,流体力PSD 曲线出现了多个杂频,且能量均匀分布在各杂频上,使得能量出现“反哺”现象,能量会从结构传回到流体中,如图12 所示.

图14 不同间距比工况下,下游圆柱升力系数功率谱密度(红线)与阻力系数功率谱密度(黑线) (k=0.0,r=1.5)Fig.14 The power spectral density of lift coefficient (red) and drag coefficient (black) of downstream cylinder under different spacing ratios (k=0.0,r=1.5)

与均匀来流相比,剪切来流工况下,各工况流体力PSD 曲线波动性增强,所包含的多阶频率峰值增多,能量变化剧烈相对应的下游圆柱振动情况越发剧烈,如图15 所示.在Ur=4 工况下,升力PSD 曲线与阻力PSD 曲线主峰频率重合,使得能量大量由流体传入圆柱体结构,在升力与横流向相位差图中出现了“弱锁定”现象.随折减速度的增大(Ur≤8),升力系数PSD 曲线出现的次峰数目增多且构成整体呈下降趋势的曲线,包含的总能量较多,DC 逐渐进入锁定状态并振动剧烈.值得注意的是,当L/D≥3.5 时,如图15(b)与15(c)所示,Ur=7 与Ur=8 工况下流体力系数PSD 曲线出现的频率峰值数目、整体曲线变化趋势以及各阶频率峰值所对应的能量值都相同.从图16 观察到,此时两个折减速度工况在一个周期内的能量变化曲线其高、低峰值以及曲线变化形态都相同,这就意味着折减速度从7 增至8 的过程中圆柱能量变化相同,这可能是升力与横流向位移相位差出现“平台期”的原因,如图10(c)与图12(c)所示.

图15 不同间距比工况下,下游圆柱升力系数功率谱密度(红线)与阻力系数功率谱密度(黑线) (k=0.1,r=1.5)Fig.15 The power spectral density of lift coefficient (red) and drag coefficient (black) of downstream cylinder under different spacing ratios(k=0.1,r=1.5)

图16 在Ur=7 与Ur=8 工况下串列双圆柱的能量曲线(L/D=3.5,k=0.1,r=1.5)Fig.16 Energy curve of tandem double cylinders under the of Ur=7 and Ur=8 cases (L/D=3.5,k=0.1,r=1.5)

图16 在Ur=7 与Ur=8 工况下串列双圆柱的能量曲线(L/D=3.5,k=0.1,r=1.5) (续)Fig.16 Energy curve of tandem double cylinders under the of Ur=7 and Ur=8 cases (L/D=3.5,k=0.1,r=1.5) (continued)

4 结论

基于四步半隐式特征线分裂算子有限元方法,对串列布置双圆柱双自由度结构体系涡激振动问题进行了数值模拟,分析了间距比、剪切率、频率比以及折减速度四个关键影响因素的变化对结构振动响应及流场的影响,主要结论如下.

(1)UC 的共振区间明显宽于DC 的共振区间,UC 在两个自由度方向达到最大值的折减速度不同,而DC 基本同步.由于来流与间隙流的干扰,使得UC 与DC“锁定区间”的折减速度范围存在差值,UC 较DC 更早进入也更早退出共振状态.固有频率比与剪切来流的变化对DC 影响较大,对UC 影响较小.

(2)两圆柱主要在锁定区间完成相位的转变.频率比越大对圆柱涡激振动影响越大,能量从流体传递到柱体的速度越缓慢与复杂,圆柱完成从同相到反相的速度越缓慢.特别的是,在L/D≥3.5,r≥1.5的剪切来流工况下会出现相位差的“平台期”.此“平台期”出现在锁定区间Ur=7 与Ur=8 工况下,此时随着折减速度的增大,升力与位移之间的相位差不变.当间距比超过临界值时,对DC 相位转变影响较大,下游圆柱在完成相位转变后会随着折减速度的增大出现相位差回落现象,并且剪切率越大,回落的折减速度区间越广.

(3)在均匀来流工况下,升阻力PSD 曲线频率呈两倍关系,然而在剪切来流工况下,则基本重合.当间距比较大时,折减速度越大,流体力PSD 曲线出现的杂频越多,由于能量均匀分布在各杂频上,使得能量出现“反哺”现象.在剪切来流工况下,当L/D≥3.5 时,Ur=7 与Ur=8 工况中流体力系数PSD 曲线高度相似,同时两工况的能量变化也相同,这可能是在升力与位移相位差图中出现“平台期”的原因.