初中学生解题思维能力培养的三重境界

江宋标

[摘  要] 解题是一个系统工程，这个工程的提升和优化关联着许许多多的因素，并不是一个单纯的由量变积累到质变的必然过程. 解题过程是一个思维过程，学生良好的解题能力的形成与提升，必须要加强学生解题思维能力的培养. 教师在实际教学中，要有意识地创设问题情境，组织学生参与并体验探究过程，提示问题解决的思维方向，引导学生解题后再反思，不间断地培养学生数学解题思维的自然性、深刻性和创造性.

[关键词] 学生;解题;思维;问题

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维;要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法[1]. 其中解题教学是初中数学教学的首要任务. 著名数学家G·波利亚指出：掌握数学意味着什么？这就是说善于解题.

解题是一个系统工程，这个工程的提升和优化关联着许许多多的因素，并不是一个单纯的由量变累积到质变的必然过程. 解题过程是一个思维过程，学生良好的解题能力的形成与提升，必须要加强学生解题思维能力的培养. 文章就如何培养学生的解题思维能力，优化思维品质，让学生体味解题的乐趣，提升学生的数学核心素养作一些探讨，供各位教师教学时参考.

（1）心如浮云常自在，意似流水任东西——培养解题思维的自然性. 单墫教授指出：思维的自然性就是抓住问题的实质，题目该怎么解就怎么解，不故弄玄虚，朴实自然. 笔者认为，自然性是指大多数学生能够自然想到的，运用基本性质、定义和基本图形就能解答出来;就是从知识点的原点出发，向外进行思维扩展.

例题  如图1所示，直线y=2x-2与x轴、y轴分别相交于点A，B，将此直线绕点B顺时针旋转45°，旋转后的直线与x轴相交于点C，求点C的坐标.

思路解析  问题表征既有文字也有图形，就要用数形结合思想进行分析. 题中提到了一次函数，自然想到求函数与两坐标轴的交点的坐标，条件中出现了一个斜角45°，这是处理本题的关键. 教师要引导学生对45°产生直接联想，即由45°可以自然地联系到什么样的几何基本图形或几何模型. 相信经过教师的启发和学生的联想，应该很快会想到等腰直角三角形. 教师进一步启发：图形没有直角，怎么办？学生自然地会想到构造等腰直角三角形来尝试解决问题. 下面就构建等腰直角三角形作简要解答.

解法1  从点A出发构图（∠A为锐角）. 如图2所示，过点A作AD⊥BC于D，过点D作EF⊥x轴于E，过点B作BF⊥EF于F. 设AE=m，易证△AED≌△DFB，则DF=m，BF=ED=2-m. 由OE=1+m=BF =2-m，解得m=，得D，-. 由B，D两点的坐标可得直线BD的解析式为y=x-2，于是得点C（6，0）.

解法2  从点A出发构图（∠A为直角）. 如图3所示，过点A作AD⊥BA交BC于点D，过点D作DE⊥x轴于E. 同解法1，易证△OAB≌△EDA，得D（3，-1），则直线BD的解析式为y=x-2，于是得点C（6，0）.

同样地，分别从B，C两点出发建构等腰直角三角形，可以分别得到两种解法，在此不再一一列出.

（2）不畏浮云遮望眼，只缘身在最高层——培养解题思维的深刻性. 思维的深刻性是从思维的纵向反映思维的品质. 它是指通过表面现象来把握问题的实质，达到对问题深刻理解的能力. 看清问题的本质，把握内在变化规律，等等，这是思维深刻性的特质，需要我们在问题教学中加以相机培养.

思路解析  （例题同上）从题目的审视情况来看，条件只有两个：一条直线y=2x-2和一个斜角45°;求解的是点C的坐标. 通过数学三语言（文字语言、符号语言、图形语言）的翻译，求解的就是线段OC或AC的长. 而求线段的长，初中数学教师教给学生的解题方向是：“要求线段多长，勾股相似常用上. ”有了解题方向，学生就会考虑建构相似三角形，从而获得问题的解答方法.

解法3  构造“母子”相似三角形. 如图4所示，在线段OC上取点D，使得OD=OB，则∠ODB=45°. 设DC=m，由△ABD∽△ACB，得AB2=AD·AC，即（）2=1×（1+m），解得m=4. 于是OC=6，得点C（6，0）.

解法4  构造“一线三等角”相似三角形. 如图5所示，在y轴的正半轴上取点E，使得OE=OA，连接AE;在y轴的负半轴上取点D，使得OD=OC，连接CD. 可知△AOE，△COD均为等腰直角三角形，于是∠BEA=∠BDC=∠ABC=45°，得到△EAB∽△DBC. 后同解法3，得点C（6，0）.

（3）山重水复疑无路，柳暗花明又一村——培养解题思维的创造性. 创造性思维是以新颖、独特的方式解决问题的思维过程，不但能揭露问题的本质与规律，而且在此基础上能用新的思维解决过去没有解决的问题，从而发现新事物、提示新规律、取得新成果，是一种高级思维活动[2]. 教师在解题教学的实践活动中，要创造情境、展示思维过程、进行知识溯源和变式训练，培养学生解题思维的创造性，提升学生的数学核心素养.

思路解析  （例题同上）由条件中的斜角45°，联想到构造正方形半角模型来解决问题. 如图6所示，四边形ABCD为正方形，∠EAF=45°，则EF=DF+BE，于是形成了解法5.

由于线段AC的长以及∠ABC为定值，联想到“定边定角”，于是构造辅助圆，把条件和结论放在圆的背景下，实现条件与结论之间的关联，便得到了解法6.

运用条件中的斜角45°以及动态视角，借助于旋转的眼光看问题，将点旋转看成该点所在的直角三角形的旋转，再用“化斜为直”的模型求解，于是得到了解法7，整个过程不失此法的通用性与普适性.

解法5  构造正方形半角模型. 如图7所示，以OB为边作正方形OBED，设DF=m，则EF=2-m. 由正方形半角模型的性质，得AF=3-m. 由勾股定理，得（3-m）2=12+m2，解得m=，于是F2，-. 所以直线BF的解析式为y=x-2，得点C（6，0）.

解法6  构造辅助圆. 如图8所示，作△ABC的外接圆D，取AC的中点G，连接DG，DA，DC，DB，过点D作DE⊥y轴于E. 因为∠ABC=45°，所以△ADC为等腰直角三角形. 设AG=GC=m，則DE=OG=m+1，BD=AD=m，BE=OE-OB=DG-OB=m-2. 由勾股定理，得（m）2=（m-2）2+（m+1）2，解得m=，所以OC=6，得点C（6，0）.

解法7  整体旋转. 如图9所示，将△BOA绕点B顺时针旋转45°，得△BDH，则BD=BO=2，DH=OA=1，过点D作x轴的平行线EF，与y轴相交于点E，过点H作HG⊥x轴于G，EF交HG于点F. 于是∠OBD=∠HDF=45°，于是DE=EB=，DF=HF=，得H，-2. 于是直线BH的解析式为y=x-2，得点C（6，0）.

综上所述，数学思维能力是学生解题的核心能力，也是学生数学学科的核心素养. 教师在实际教学中，要有意识地创设问题情境，组织学生参与并体验探究过程，提示问题解决的思维方向，引导学生解题后再反思，不间断地培养学生数学解题思维的自然性、深刻性和创造性，优化学生的思维品质，提升解题能力，促进学生的思维深度高阶发展.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2011年版）[S]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]张俊忠. 数学开放题的起源、价值与运用[J]. 教学与管理，2020（31）：43-45.

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