尺规作图的教学价值新厘定及教学路径新视角

摘 要 “尺规作图”是新修订的小学数学课程标准“图形与几何”领域中的新增内容，如何认识尺规作图在教学中的重要地位及其教育价值，提升学生数学核心素养？须重新厘定尺規作图的教学价值并以新的视角规划教学路径。首先明晰尺规作图的教学价值：借尺规作图锻炼学生动手操作能力，借尺规作图发展学生几何直观水平，借尺规作图促进学生逻辑思维的形成，借尺规作图积淀学生数学核心素养;其次从历史视角、思维视角、发生学视角三个方面阐述“尺规作图”的教学路径。

关  键  词 尺规作图 几何学科育人价值 培育数学核心素养

引用格式 芮金芳.尺规作图的教学价值新厘定及教学路径新视角[J].教学与管理，2022（08）：51-54.

最近，笔者参加江苏省小学数学教材培训暨“测量”专题教学研讨活动，观摩两位教师同课异构执教“周长的测量”一课，其中有一个环节引发笔者的思考。新教材在学生初步认识周长概念以后，要求他们用“尺规作图”的方法得到图形周长的测量结果。这与现行教材中的“周长计算”的目标要求、呈现方式明显不同（如图1）。

一、尺规作图在课标修订中的变化

关于“图形与几何”领域中的作图，《义务教育数学课程标准（2011年版）》和新修订课程标准分别提出了相应的内容要求[1]（见表1）。

关于“图形与几何”领域的作图，2011年版课程标准在小学阶段只是要求掌握画图的技能和方法，而没有尺规作图的具体要求，从而使一线教师对此内容的教学无章可循。画图和作图虽然只有一字之差，但要求却不尽相同。新修订课标提出“几何更注重直观，增加尺规作图”。可见，小学阶段特别是中、高年级明晰教学中对尺规作图的要求，理解尺规作图独特的教学价值，对培养学生的空间观念、几何直观、推理能力具有极其重要的作用。

二、尺规作图教学价值新厘定

尺规作图最早起源于古希腊的数学课题，是指用无刻度的直尺和圆规，在有限次数的前提下，解决不同的平面几何作图问题[2]。尺规作图的问题是欧式平面几何中的核心内容，借助作图这一直观手段，不仅可以丰富学生的几何知识，而且对培育学生的空间观念具有重要的价值。

1.借尺规作图锻炼学生动手操作能力

新修订课标对“尺规作图”的整体目标要求是增加动手操作环节，增强学生对数学的感觉。根据小学生的年龄和心理特点，好动是其天性，要发展他们的空间观念，主要依靠用眼观察和动手操作，而尺规作图是学生在多种数学工具支持的场景下，开展动脑思考、动手做数学的挑战性创造活动。在“周长的测量”一课中，学生初步感知图形一周边线的长就是它的周长这一概念后，出示任意一个三角形，布置动手操作任务。

提出问题：你准备怎样测量三角形的周长？

作图工具：圆规、直尺。

作图要求：

（1）画一画：用圆规和直尺把三角形的三条边展开在下面的线上。

（2）量一量：测量出三角形的周长，记录下来。

（3）说一说：与同伴交流你是怎样得到三角形周长的。

在核心问题的引领下，学生利用作图工具——圆规和直尺动手操作，学生在动态的作图转化过程中深刻体会到：用圆规能准确刻画出与三角形三边相等的等长线段，圆规作出的线段AB、线段BC、线段CA´的长度与三角形三条边对应等长，更深刻地感悟图形周长含义的本质内涵——环绕有限面积的区域边缘的长度积分。在这一手脑并用的做数学过程中丰富学生对“周长”概念的理解，使学生的认识逐渐从肤浅走向深刻、从单一走向丰满、从粗略过渡到精准。

2.借尺规作图发展学生几何直观水平

数学家阿蒂亚说过：在几何中，视觉思维占主导地位。几何直观是一种特殊的形直观，而尺规作图在学生实际操作的过程中具有不可替代的直观性。教师可以利用尺规作出的精准图形，从形象、直观的思维视角引导学生观察、思考、分析，凭借简洁、直观的载体巧妙解决数学问题，促进学生思维由具体直观逐步向更高级、更抽象的空间形式转化，有助于学生直观想象能力的培养，使其形成良好的思维品质。在“周长的测量”教学中，学生利用尺规作图，将三角形周长转化成线段AA´的长度后，利用直观构图引发思考“线段AA´为什么是三角形的周长？”“除了可以从点A展开三角形的三条边，还可以怎样展开？”

学生在作图过程中，能直观、具象地感受到线段AB、线段BC、线段CA´与线段AA´之间的关联，即AB+BC+CA´=AA´，基于这一等量关系的确定，如果从点B、点C展开三角形的三条边，同样可以发现具有等量关系的式子，即BC+CA+AB´=BB´、CA+AB+BC´=CC´。在比较中学生发现虽然作图时展开的位置、顺序不一样，但它们的总和始终是不变的确定量，这就进一步丰富了学生对周长概念内涵的深刻理解，周长等于图形所有边的和，与边的前后顺序无关。

同时，学生借助作图中线段长度的直观模型，可以简明、清楚地表示测量图形周长的两种方法：既可以分段测量再求和，也可以展开后测量得到。在尺规作图中具体、丰富的形使得问题的解决更容易，使抽象的关系与外在可感的图式建立有力的联结，成为进一步深入探索问题的工具，甚至能形成学生较强的直观洞察力。

3.借尺规作图促进学生逻辑思维的形成

尺规作图不应简单地界定为一种动手操作。尺规作图前学生要先观察、分析、思考、预测、判断，再动手作图。尺规作图不仅要让学生在作图之后知晓为什么这样作的道理，更要让学生在作图之前知道这样操作的原因。小学阶段的尺规作图让学生思维从操作实验的具象直观，逐步向推理论证的严谨抽象过渡。

在“周长的测量”一课中，学生借尺规作图将三角形中一条边转换成线段AB，引导学生根据线段AB的长度和位置，来推断思考线段BC中点C的位置大概在什么地方？学生借助已有的作图经验，综合多个信息执果索因，进行逆向思考，从而确定点C、点A´的位置。

此时教师依据作图探究过程，让学生围绕两个关键问题整体思考：你是怎样想到要在这里作这个点的？为什么这样作图是正确的？让学生不断进行学习的自我监控，在回望作图操作的过程中加深对周长含义，以及三条线段长度和与线段AA´之间等量关系的理解，同时为周长计算方法的呈现提供了“推理论证”的思维雏形。所以，理解尺规作图的步骤，对培养学生严密的逻辑推理能力，深刻的探索性思维，乃至初中阶段的严格证明都有积极的影响。

4.借尺规作图积淀学生数学核心素养

学生每次作图在纸面上留下的作图痕迹与简单推理，都是学生尝试、分析、思考、论证的逻辑思维过程的具体体现。新修订课标中引入尺规作图不单单是要求学生会作图，更是学生具身动手操作学习的直接体现，也间接蕴伏了学生逻辑推理能力、几何证明能力的培养，使学生感受逻辑思维的基本形式。

在尺规作图的细致操作和严谨证明中，学生还能深刻体会到尺规作图的简洁美、精确美、严谨美，这些都是数学独有的文化魅力。通过这样的学习既达成了数学教育的学科价值目标，更凸显数学教育中独特的育人价值追求，有助于学生数学学科核心素养的形成[3]。

三、尺规作图教学路径新视角

1.历史视角：挖掘几何知识的发生背景

尺规作图是几何作图中最基本的形式之一，是培養小学生演绎推理数学思维的载体。在欧式几何的代表作《几何原本》中给出了许多数学家尺规作图的方法。新修订课标中提到的小学阶段对尺规作图的要求在这本著作中都能找到对应的思想原点和发生背景。所以，在整体梳理、追本溯源中能让学生更清楚地知晓几何知识发生、发展的历史脉络，感悟尺规作图这种演绎推理的重要数学思想精髓，为学生当下的作图学习提供依据和原理。表2是新修订课标中的尺规作图教学内容与《几何原本》中相对应的出处及表述。

通过梳理尺规作图教学内容，我们可以发现一些重要的几何基本事实在小学数学教材中都有相关的孕伏渗透。所以，教学中教师要用高观点视角整体把握“尺规作图”内容，引领学生追溯知识发生的原点，在手脑参与的做数学中获得丰富的数学作图经验和深刻的几何事实感悟，这些积淀有助于学生空间观念的提升。

2.思维视角：孕育数学理性的思维光芒

数学家克莱因说过：“数学是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度。”小学阶段的尺规作图让学生从直观经验过渡到操作实验，再进一步发展提升到推理论证的逻辑思维层面，科学合理地让学生经历具象经验到抽象思维的逻辑递升过程，既有正向的合情推理思考，又有逆向的演绎推理思辨，真正在操作中进行思考和提升，助力学生数学核心素养的培养[4]。如在四年级认识三角形之后，安排了“三角形三边关系”的探究学习。

【常规设计】

教师提供一组结构化的学具材料（如小棒或吸管等），引导学生任选其中的三根，动手围成三角形。

提出问题：任选三根小棒，都能围成一个三角形吗？

实验工具：四种长度不同的小棒、实验记录单。

实验方法：围一围、比一比、算一算。

实验要求：

（1）选一选：任选三根小棒，动手围成一个三角形。

（2）比一比：哪些小棒能围成三角形？哪些小棒不能围成三角形？

（3）想一想：为什么有的小棒不能围成三角形？而有的小棒能围成三角形？

学生利用这样的实验素材操作时，常常会因为小棒本身的粗细问题或操作过程中的实验误差等因素，导致两条短边之和等于第三边时，却出现能围成三角形的尴尬。

【尺规作图新设计】

教师在学生已经知道“两点之间线段最短”的基础上，先让学生猜想三角形中三边存在怎样的关系，再利用上述结论初步感知三边关系;然后判定怎样的三边能围成三角形，借助尺规作图动手作出符合要求的三角形，在动手操作中让学生发现并验证猜想，从而发现规律存在的必要条件。

作图要求：根据已知三边作出三角形。

作图工具：圆规、直尺。

作图过程：

（1）

①用圆规作线段BC=a。

②以B点为圆心，以b为半径用圆规作弧;

以C点为圆心，以c为半径用圆规作弧;

两弧相交于A点。

③用直尺连接AB、AC。

这三条边能作成一个三角形。

（2）

作图步骤和（1）相同，A点正好在线段BC上，无法组成一个三角形。

（3）

作图步骤和（1）相同，A点和A´点没有重合，无法组成一个三角形。

作图思考：什么情况下三条边一定能作出三角形？什么情况下不能作出三角形？

学生在这样的尺规作图中能精准发现，第（2）、第（3）种情况，即两边之和等于或小于第三边时，无法作出三角形。在动手操作作图中，不仅很好地验证了开始的猜想，而且还避免了因实验工具误差所产生的干扰和不确定性。科学、精准、理性地提升学生的空间想象力和思维严谨性，用尺规作图验证了数学中三角形三边关系的重要定理。

3.发生学视角：深化几何学的育人价值

几何学是研究形的科学，以人的视觉思维为主导，旨在培养人的观察能力、空间想象能力和洞察力。尺规作图是建立在几何推理基础上的一种作图方法，学生在动手作图过程中，除了从几何知识的源头了解其发生、发展过程，感受几何学发展对人们日常生活、科技进步、社会发展带来的巨大变化，更要从中感受到几何作图外在形式的结构美、逻辑推理的严谨美、精准表达的简洁美、精确刻画的细致美等，同时在广泛的数学应用中感受它的应用价值，激发学生深入研究的兴趣和动力。

综上，教师应充分挖掘“图形与几何”中尺规作图的教育价值，选取具有学科核心要素、本质特征、育人价值的素材作为课程资源，设计尺规作图教学活动。在学习领悟几何学本质内涵的同时，更好地感受人文精神、科学素养、道德品质等方面的熏陶，将学科育人的价值目标真正落实到教学中，促进学科知识向学科素养的生动转化。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012，1.

[2] 曹培英.跨越断层，走出误区：小学数学课程新增内容及其教学的实践研究（四）[J].小学数学教师，2020（10）：4-13.

[3] 郭元祥.论学科育人的逻辑起点、内在条件与实践诉求[J].教育研究，2020（04）：4-15.

[4] 袁国超.基于核心素养的深度学习实现路径[J].江苏教育研究，2019（11）：4-8.

[责任编辑：陈国庆]

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