高等数学课程思政的教学设计探究——以“傅里叶级数”为例

朱 艳

（上海理工大学 上海 200093）

高等教育的新时代对高校大学生的思想政治教育提出了新的要求，高校践行课程思政是全面立德树人的重要举措，铸就教育之魂的理念与实践创新，青年教师应该利用课堂教学的主渠道，发挥课堂思政的思想政治教育功能，将单纯的知识传授拓广至有意识的立德树人。高等数学是面向理工科专业学生的一门公共基础课，可以作为实现对大学生进行思想政治教育的重要载体。由于课程特点，高等数学蕴含多个课程思政切入点[1-3]，本文将以高等数学课程中的“傅立叶级数”这一知识点为例，探索如何在教学设计中融入思政元素。

傅里叶级数的讲授一方面是让学生掌握函数展开成傅里叶级数的方法，另一方面是理解傅里叶级数的意义和应用。课程大致分为五个部分，第一，简单介绍傅里叶的生平和他对数学及物理学的杰出贡献，引起学生的兴趣，尽快进入上课状态，并且以傅里叶的科研精神鼓励大家积极向上；第二，通过多媒体展示让学生对曲线叠加有个直观的认识，进而引出无穷多项三角函数叠加的问题，培养学生抽象思维同形象思维相结合的意识；第三，给出傅里叶级数的定义，利用板书推导傅里叶系数的计算过程，培养学生分析问题和解决的能力；第四，给出傅里叶级数的收敛定理（狄利克雷条件），并以实例计算让学生熟练掌握周期函数的傅里叶级数展开，培养学生在学习过程中的逻辑严谨性；第五，介绍傅里叶级数的意义和应用，让学生体验如何应用所学知识分析解决实际问题。具体的教学进程安排如下：

1 傅立叶生平

以法国著名数学家和物理学家傅立叶的生平和贡献作为课堂的开始，通过讲述他开始对热学的研究以及他的研究成果向同学们展示傅立叶与“热”相伴的一生。于1822年出版的《热的解析理论》对数学和物理学的发展都产生了深远的影响（译本参考文献[4]），傅立叶确定了热传导方程的解，并且断言：任何温度分布都可以写成正弦波的（无限）和的形式，该级数以傅里叶命名。

傅立叶最初研究是物理中的热传导方程，这是19世纪的数学家研究的重要问题之一，但是基于他对该问题的研究促进了“泛函分析”这一数学分支的形成，为数学研究做出了伟大的贡献，让学生体会到知识体系的博大、不同学科之间的联系和傅立叶级数的重要性和实用性；傅里叶1807年提交的论文由于朗格朗日的反对未能发表，1811年重新撰写论文,但是拉格朗日依旧认为不适于发表，他的专著《热的解析理论》直到1822年才得以发表，并且成为19世纪最广泛阅读的书籍之一，以傅立叶的坎坷人生和成就激励学生遇到任何困难都不要轻言放弃，以此勉励学生坚定努力拼搏和勇于创新的信念。

2 傅立叶级数

傅立叶级数是将满足狄利克雷条件的周期函数表示为正弦或者余弦函数的叠加。课程中将采取直觉观察、数学推导、实例计算和拓展思考四个部分让学生掌握傅里叶级数的相关内容。

2.1 直觉观察

首先分别给出不同振幅和频率的正弦波的图像，通过播放视频分别向学生展示两个正弦波以及它们的叠加图，然后进一步调整正弦波频率和振幅让同学们观察多个正弦波的动态叠加效果，在观察的过程中引导学生注意叠加函数仍然具有周期性。基于上述观察引入问题：如何将一个周期函数展开为（无限个）三角函数（正弦或余弦函数）的线性组合？

2.2 傅里叶系数

傅立叶系数的确定是非常关键的步骤，授课中会板书推导，让学生熟练掌握傅里叶级数的计算过程。

2.3 收敛定理

关于傅立叶级数有几个需要思考的问题：首先，是不是任何一个周期函数都存在傅立叶级数展开？其次，如果可以，那该傅立叶级数是否收敛，以及如果收敛的话，它是否收敛于给定的函数？那么（狄利克雷）收敛定理就回答了上述问题。简单介绍数学家狄利克雷对数论、数学分析和数学物理的突出贡献。

2.4 实例计算

通过一个具体的例子，分析和确定它的傅立叶级数，这里考虑周期为的分段函数（例1），它在上定义如下：

给同学们介绍此函数图像是现实世界中的矩形波，它是一种非正弦曲线的波形，通常会于电子和讯号处理时出现。展示动画叠加效果，随着傅立叶级数中项数的增加，叠加曲线会越来越收敛于矩形波图像。通过这个例子展示确定周期函数的傅里叶级数的关键步骤：首先计算该函数的傅里叶系数，然后利用收敛定理确定级数的收敛范围。增加形式有所变化的例题将傅立叶级数的计算和收敛性判定过程进行巩固。

计算上述周期函数的傅立叶级数，并对级数的收敛性进行判定。

2.5 拓展思考

2.6 正弦和余弦函数

一般来讲，傅里叶级数中会同时包含正弦和余弦函数，但是有些函数的傅里叶展开只含正弦项（例1），或者只含余弦项（例3），引发学生思考原因。实际上，这是与函数的奇偶性密切相关的。也就是说，当函数为奇函数时，其傅里叶级数就是正弦级数；当函数为偶函数时，其傅里叶级数就是余弦级数。

3 傅立叶级数的意义和应用

傅里叶级数的意义在于将复杂的周期函数分解为简单的三角函数，将各种复杂振动（或复杂波）分解为简谐振动（或简谐波），即：周期为的函数傅里叶级数为

傅里叶级数时时处处存在于我们的生活中，在逼近理论、信号处理、图像处理、光学、声学等多个领域均有重要应用。比如电子音乐中要用固定的频率震荡器合成指定的音乐，这可以通过调整不同频率和振幅来组合实现，音乐合成器可以利用傅里叶级数模拟长笛或者小提琴的声音，甚至创造出人们从来没有听过的声音；无限电收音机利用这一分解原理可以选择特定的频道，也就是随着时间变化的信号中找到特定的波长；利用欧拉公式

可以将傅里叶级数改写为复数形式，进而可以得到傅里叶变换，通过一些视频向学生展示复数形式的傅里叶级数可视化的过程，建议感兴趣的同学可以进一步了解代码实现傅立叶级数的可视化。

4 内容小结

本文通过高等数学课程中“傅里叶级数”作为切入点，以讲述数学家傅里叶的故事和傅里叶级数的意义及诸多应用的形式融入课程思政，这一尝试启发我们可以从高等数学的教学大纲出发，根据课程的教学要求，遵循学生学习的特点和认知规律，形成问题引入、问题分析、知识建构、问题求解和应用拓展的五步式教学模式，挖掘这门课程更多的思政元素。课程思政主要形式是将思想政治教育元素，包括思想政治教育的理论知识、价值理念以及精神追求等融入到课程中去，潜移默化地对学生的思想意识、行为举止产生影响。对于高等数学这一课程的特点，课程思政可以融入古代经典的数学问题、古今中外数学家的生平及其在相关专业领域的突出贡献、专业数学知识在实际生活中的应用等元素，充分更好地将价值塑造、知识传授和能力培养融为一体，“润物无声”地实现立德树人这一根本任务。