运用参数方程求双曲线弦长

郝秋梅

[摘 要]求双曲线的弦长是几何与代数的综合运用，也是高中数学的考點和难点之一。运用双曲线的参数方程求弦长，不但能简化计算过程，而且能提高计算准确率，锻炼学生的数学思维和数学运算能力。

[关键词]参数方程;双曲线;弦长

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2022）02-0014-03

参数方程是以参变量来表示曲线上点的运动轨迹的坐标方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式。双曲线是高中数学的重要组成部分，与向量、解析几何、直线方程等知识联系紧密。在教学中，教师基本上只讲解用公式[AB=1+k2x2-x1=1+1k2y2-y1]求解弦长，其他方法一概略过。在考试中，一旦双曲线方程或弦所在直线方程复杂、不易化简时，采用传统解法（联立双曲线方程与弦所在直线方程，再利用韦达定理和两点间距离公式）求解，会使计算难度增加，求解过程烦琐，学生往往会因为计算量过大而半途而废或出错。为了解决此类问题，本文引进参数方程求解双曲线的弦长。虽然定理证明过程比较复杂，但结论比传统解法更加简洁，同时也体现了解决数学问题方法的多样性。

一、性质推导

性质1 直线l：[y=kx+m]过双曲线[x=acos φ，y=btan φ]（[φ]为参数）的焦点[F2（c， 0）]与双曲线交于[A]，[B]两点，则[l]被双曲线截得的弦长[AB=2ab2（1+k2）b2-k2a2]。（如图1）

证明：设[A（asec φ1， btan φ1）]，[B（asec φ2， btan φ2）]。

因为直线[l]的斜率为[k=b（tan φ2-tan φ1）a（sec φ2-sec φ1）]，则[tan φ2-tan φ1=kab（sec φ2-sec φ1）]。

故弦长[AB=]

[（asec φ2-asec φ1）2+（btan φ2-btan φ1）2=a1+k2sec φ2-sec φ1]。

因为直线[l]与直线[AF2]的斜率相同，即[k=btan φ1asec φ1-c]，所以[tan φ1=kb（asec φ1-c）]。

又由[sec2φ1=1+tan2φ1]，得[sec2φ1=1+k2b2（asec φ1-c）2]。

化简得[1-k2a2b2sec2φ1+2k2acb2sec φ1-k2c2b2-1=0]，该式是关于[sec φ1]的一元二次方程。

根据一元二次方程的判别式得，[Δ=2k2acb22-41-k2a2b2-k2c2b2-1=41+k2>0]，

故该一元二次方程有两个不相等的实根，即

[sec φ1=-k2ac±b21+k2b2-k2a2]。

令[sec φ1=-k2ac+b21+k2b2-k2a2]，则由双曲线参数方程的性质得[sec φ2=-k2ac-b21+k2b2-k2a2]。

因此，弦长[AB=a1+k2sec φ2-sec φ1=2ab2（1+k2）b2-k2a2]。

性质2 直线[l]：[y=kx+m]与双曲线[x=acosφ，y=btanφ]（[φ]为参数）交于[A]，[B]两点，且与[x]轴交于点[C]，则[l]被双曲线截得的弦长[AB=2ab（1+k2）（m2-k2a2+b2）b2-k2a2]。（如图2）

证明：当[k≠0]时，设[A（asec φ1， btan φ1）]，[B（asec φ2]，[btan φ2）]。

因为直线[l]的斜率为[k=b（tan φ2-tan φ1）a（sec φ2-sec φ1）]，所以[tan φ2-tan φ1=kab（sec φ2-sec φ1）]。

故弦[AB=]

[（asec φ2-asec φ1）2+（btan φ2-btan φ1）2=a1+k2sec φ2-sec φ1]。

因为直线[l]与[x]轴交于[C]点，所以[C-mk， 0]。

又直线[l]与直线[AC]的斜率相同，即[k=btan φ1asec φ1+mk]，所以[tan φ1=kabsec φ1+mb]。

又由[sec2φ1=1+tan2φ1]，得[sec2φ1=1+kabsec φ1+mb2]，

化简得[1-k2a2b2sec2φ1-2kamb2sec φ1-m2b2-1=0]，该式是关于[sec φ1]的一元二次方程。

根据一元二次方程的判别式得

[Δ=-2kamb22-41-k2a2b2-m2b2-1=4（m2-k2a2）b2+4=4m2k2-a2b2k2+4>0]。

故该一元二次方程有两个不相等的实根，即

[sec φ1=kam±bm2-k2a2+b2b2-k2a2]。

令[sec φ1=kam+bm2-k2a2+b2b2-k2a2]，则由双曲线参数方程的性质得

[sec φ2=kam-bm2-k2a2+b2b2-k2a2]。

因此，弦长[AB=a1+k2sec φ2-sec φ1=2ab（1+k2）（m2-k2a2+b2）b2-k2a2]。

当[k=0]时，双曲线的弦长就变为[AB=2ab2+m2b]，满足上述公式。

性质3 直线[l]：[x=m]与双曲线[x=acos φ，y=btan φ]

（[φ]为参数）交于[A]，[B]两点，且与[x]轴交于点[C]，则[l]被双曲线截得的弦长[AB=2bm2-a2a]。（如图3）

证明：当[m≠c]时，设[A（asec φ， btan φ）]，[B（asecφ]， -btan [φ]）。

因为直线[l]与[x]轴交于[C]点，所以[C（m， 0）]。

由图可知[asec φ=m]，则[sec φ=ma]。

又由[sec2φ=1+tan2φ]，得[tan2φ=m2a2-1=m2-a2a2 ]。

因此，弦长[AB=2atan φ=2bm2-a2a]。

当[m=c]时，弦[AB]是双曲线的通径，即[AB=2b2a]。

二、应用提升

[例1]过双曲线[x=1cosθ，y=3tanθ]（[θ]为参数）的左焦点[F1]，作倾斜角为[π6]的直线[AB]，其中[A， B]分别为直线与双曲线的交点，则[AB]的长为                  。

解：由题意知[a=1， b=3]，[∵]直线[AB]的倾斜角为[π6]，[∴k=tanπ6= 33]。

则由性质1得

[AB=2×1×32×1+33232-332×1=3]。

评注：本题是求解双曲线的焦点弦问题，已知[a， b]和直线的倾斜角，求弦长[AB]。若采用传统解法（联立双曲线方程与直线方程，再结合韦达定理求解）会导致计算量过大，给解决问题增加难度，但运用性质1求解则会降低难度，大大简化计算过程。

[例2]已知双曲线[C]：[x2a2-y2b2=1（a>0， b>0）]的左、右焦点分别为[F1， F2]，离心率为3，直线[y=2]与[C]的两个交点A、B间的距离为[6]。则双曲线[C]的标准方程为                    。

解：由题意知[e=ca=3，AB=2ab2+m2b⇒]

[b2+a2a2=9，2ab2+22b=6⇒a=1，b=22。]

故双曲线[C]的标准方程为[x2-y28=1]。

评注：本题求的是双曲线的标准方程，实际上就是求出[a， b]的值，利用离心率、弦长公式以及[c2-a2=b2]得到有关[a， b]的方程组，从而解出[a]和[b]。弦长公式是解决本题的关键，若学生不能熟练运用弦长公式，则会加大解题难度、增加计算量。

[例3]已知直线[l]：[y=kx+1]与双曲线[C]：[x=33cosθy=tan θ]，（[θ]为参数）交于[A， B]两点，若[AB=43]，求[k]的值。

解：由题意知[a=33， b=1， m=1]。由性质2得[43=2×33×1×（1+k2）1-k23+11-k23]，

即[13k4-77k2+102=0]，所以[k=±2]或[k=±66313]。

评注：本题已知双曲线的参数方程和弦长求直线的斜率[k]，值得注意的是直线[l]恒过点[（0， 1）]，它是双曲线虚轴上的一个顶点，这说明直线的斜率一定存在。运用性质2可求得直线[l]的斜率[k]。这样不但能简化计算过程，而且能提高学生的解题速度与准确率，有助于培养学生的数学学科核心素养。

由于双曲线具有3种不同形式的参数方程，所以它的弦长公式的表达形式也各不相同。本文仅介绍了其中一种类型的双曲线弦长公式及应用，该弦长公式可起到化繁为简的作用，对于提升学生分析问题与解决问题的能力有一定的帮助。其中性质1是双曲线的焦点弦公式（无论直线与双曲线的哪一支相交，都可用该公式求解），它的优点是计算量小，[a， b， k]及弦长[d]可知三求一。性质2适用于解决不经过焦点的一般类弦长问题，应用比较灵活和广泛。性质3适用于直线斜率不存在时求弦长的问题，它形式简单、容易记忆。

以上3条性质都有它的使用条件，在解题的过程中我们要具体问题具体分析，根据题目已知条件选择对应的弦长公式和解题方法，这样既能让学生提高解题效率，又能锻炼学生的数学思维和数学运算能力。

[   参   考   文   獻   ]

[1]  方志平.椭圆、双曲线过焦点的弦长公式及其应用[J].中学数学，2011（13）：49-51.

[2]  潘继军，张海芳，李荣玲.圆锥曲线焦点弦的几个重要结论[J].科教导刊（下旬），2020（15）：46-47.

[3]  刘志新.换个“角度”求椭圆弦长[J].数学教学，2009（1）：22-23.

[4]  钟德光，蔡方明，陈宇鹏.求椭圆弦长，方法知多少？[J].理科考试研究，2018（7）：21-23.

（责任编辑 黄桂坚）

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