“多题一解”思想在初中数学解题中的应用

2022-03-18 22:26
中学教学参考·理科版 2022年1期
关键词:初中数学

[摘 要]在数学教学中, 教师大都重视培养学生“一题多解”的思维和能力。但是,学生还需要具备“多题一解”的思维,对不同问题的同类解法进行总结归纳,形成一个完整的知识体系,避免利用题海战术来学习数学。“多题一解”能训练学生思维,对培养学生数学能力有重要作用。

[关键词]多题一解;初中数学;特殊三角形

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058(2022)02-0020-03

一、初中数学“多题一解”的必要性

“多题一解”是指用同一种数学思想方法解决不同的数学问题,这就要求学生在分析题目时能够由表及里,抓住问题的本质,找出知识的内在联系。学生掌握“多题一解”,能将大量的数学题目化归为一个模块、一个专题,实现做少量的题也能灵活地解决各类难题。

初中阶段正是学生发展数学能力的关键期。随着知识点的增多和学习难度的提高,很多学生的学习水平开始出现明显差异。学好数学的关键点在于能解题、会解题。但是,很多学生都是提笔就写、遇題就做,缺乏对不同题型求解方法的思考和总结,导致学习效果不尽如人意。若能将“多题一解”思想运用到初中数学的学习中,让学生在不同问题情境下对问题进行剖析,并通过对比归纳,形成自己的解题体系,学生就会在面对不同类型的数学题时,能快速反应,选择出合适的解题方法。这样,既能提高学生的解题效率,又能让学生在解题过程中加深对知识内在联系的理解,达到举一反三、触类旁通的效果。

二、“多题一解”思想在特殊三角形存在性问题中的应用

等腰三角形和直角三角形的存在性问题是初中数学的难点问题。解决这两类问题的主要方法是构造“两圆一线”和“两线一圆”模型,在理解题意的基础上,通过绘图辅助,分类讨论出每一种情况的结果。但此类问题的难点在于满足题意的结果不止一种,学生受到定式思维的影响容易遗漏其他的结果。而且计算过程较为复杂,总体来说难度系数偏高。在教学时可将这两大类问题归为两个专题,让学生进行训练,使他们在解题过程中通过类比、迁移、归纳,感悟并掌握“多题一解”思想。

(一)构造“两圆一线”求解等腰三角形存在性问题

[例1]如图1,在平面直角坐标系中,已知点[A]的坐标为[(2,1)],连接[OA],若[P]是[x]轴上一动点,则当[△AOP]是等腰三角形时,求点[P]的坐标。

分析:若使[△AOP]是等腰三角形,那么必有[OA=OP]或[OA=AP]或[OP=AP]。

解:如图2,①当[OA=OP]时,以点[O]为圆心,以[OA]为半径构造[⊙O],此时[⊙O]与[x]轴交于[P1]、[P2]两点,即[P1-5, 0 ],[ P25, 0 ]。

②当[OA=AP]时,以点[A]为圆心,以[OA]为半径构造[⊙A],此时[⊙A]与[x]轴交于点[O](点[O]不能构成等腰三角形,暂不讨论)和点[P3],即[P3(4 , 0)]。

③当[OP=AP]时,作[OA]的垂直平分线,该直线与[x]轴交于点[P4]。此时,设点[P4]坐标为[(x , 0)],利用勾股定理,可列方程[x2=12+2-x2],得到[P454, 0]。

因此,此题共有4个点能使得[△AOP]是等腰三角形。

对于这一类题目,通常还会有其他的问法。例如,在同样的条件下,[y]轴上是否存在点[P],使得[△AOP]是等腰三角形?或者在坐标轴上是否存在点[P],使得[△AOP]是等腰三角形?经过分析,我们发现解题思路和计算过程都可以类比例1。此时[y]轴上也有4个点符合题意。同样,当问题是在坐标轴上求点[P]时,就要综合点[P]在[x]轴和[y]轴上的两种情况,共可求得8个点。

[例2]如图3,在平面直角坐标系中,四边形[OABC]是长方形,已知[A(6, 0)],[C(0, 2)],[M]是[OA]的中点,[P]是线段[BC]上的一个动点,当[△OMP]是腰长为3的等腰三角形时,求点[P]的坐标。

分析:若使[△OPM]为等腰三角形,可讨论[PM=OM]、[OP=OM]和[OP=PM]这三种情况。

解:如图4所示,

①当[PM=OM=3]时,此时以点[M]为圆心,以[OM]为半径构造[⊙M],其交[CB]于点[P1],[P2]。分别构造相应的直角三角形,利用勾股定理列出方程,即可求得坐标为[P13-5, 2、P23+5, 2]。

②当[OP=OM=3]时,以点[O]为圆心,以[OM]为半径构造[⊙O],其与[CB]交于点[P3],利用勾股定理列出方程,可得[P35, 2]。

③当[OP=PM=3]时,作[OM]的垂直平分线,由图可知,此时[△OPM]是等边三角形,点[P]在两圆的交点处,不在[CB]上,不符合题意,故舍去。

综上所述,共有3个点成立。

[例3]在平面直角坐标系中,点[A(2, 1)],[B(0, 1)],[C(-4,-3)],[D(6,-3)],将各点依次连接构成一个四边形[ABCD]后,求出点[P]的坐标,使得[△APB]、[△BPC]、[△CPD]、[△APD]都是等腰三角形。

分析:将各点连接之后,这是一个等腰梯形(如图5),要使得[△APB]、[△BPC]、[△CPD]、[△APD] 这4个三角形都是等腰三角形的点[P]并不好求。但是仔细分析后可以发现本题的突破点:(1)“[△APB]、[△CPD]是等腰三角形”是这4个等腰三角形成立的先决条件。由于该四边形是等腰梯形,[AB]和[CD]有着特殊的位置关系,当[△APB]和[△CPD]是等腰三角形时,点[P]必然在[AB]、[CD]的垂直平分线上,即点[P]在直线[x=1]上。(2)该四边形是等腰梯形,则有[BC=AD],考虑[△BPC]和[△APD]都是等腰三角形的条件时,只考虑点[P]使[△BPC]是等腰三角形即可。综上两个关键点,我们可以建立“两圆一线”模型来解决这个问题。

解:对于[CB=CP]、[BC=BP]、[BP=CP]三种情况时,分别构造[⊙C]、[⊙B]、[BC]的垂直平分线(如图6),设点[P(1, y)]。

①当[CB=CP]时,[⊙C]与直线交于[P1],[P2]两点,由[CB=42],可知[CP=42]。根據两点间距离公式列出方程[y+32+25=422],得到[P11,7-3],[P21,-7-3]。

②当[BC=BP]时,[⊙B]与直线交于[P3],[P4]两点,同理构造方程[y-12+1=422],可得[P31, 1+31],[P41, 1-31]。

③当[BP=CP]时,[BC]的垂直平分线与直线交于点[P5],构造方程[y+32+25=y-12+1],得到[P51,-4]。

综上所述,有5个点符合要求。

求解这一类等腰三角形的存在性问题,只要对问题进行层层分析,将关键点分析到位,就能知道它们属于同一类题,解题方法都是类似的。先根据题意分情况讨论,再构造“两圆一线”模型,最后利用勾股定理和两点间距离公式求解点[P]。只要熟练掌握这一类解题技巧,那么这类问题也就迎刃而解了。

(二)构造“两线一圆”求解直角三角形存在性问题

[例4]在平面直角坐标系中,点[A1,1],[B5, 3],在[x]轴上找一点P使得[△ABP]是直角三角形,求点[P]的坐标。

[分析]:本题中三角形的目标形状是直角三角形,那么必有[∠A=90°]、[∠B=90°]、[∠P=90°]三种情况。

解:如图7(“两线一圆”模型)所示,[AB=25],设[P(x, 0)]。

①当[∠A=90°]时,过点[A]作[AB]的垂线交[x]轴于点[P],利用勾股定理[AB2+AP2=BP2],列方程为[20+x-12+1=5-x2+9],即得[P132, 0]。

②当[∠B=90°]时,过点[B]作[AB]的垂线交[x]轴于点[P],此时有[AB2+BP2=AP2],列方程为[20+x-52+9=x-12+1],即得[P2132, 0]。

③当[∠P= 90°]时,点[P]在以[AB]为直径的圆上,此时[AB]作为斜边,同样利用勾股定理[BP2+AP2=AB2],列方程为[x-52+9+x-12+1=20],即得[P32, 0, P44, 0]。

综上所述,共有4个点符合要求。

[例5]在平面直角坐标系中,点[M(1, 4)],[A(3, 0)],点[P]是[y]轴上一点。若使得[△PAM]是直角三角形,那么有几个满足条件的点[P]?求出该点坐标。

解:如图8(“两线一圆”模型)所示,[AM=25],设[P(0, y)]。

①当[∠M=90°]时,过点[M]作[AM]的垂线交[y]轴于点[P],由[PM2+MA2=AP2],列方程为[4-y2+1+20=y2+9],即得[P10, 72]。

②当[∠A=90°]时,过点[A]作[AM]的垂线交[y]轴于点[P],由[MA2+AP2=PM2],列方程为[y2+9+20=4-y2+1],即得[P20,-32]。

③当[∠P=90°]时,以[AM]为直径构造圆,其与[y]轴有两个交点,由[MP2+AP2=AM2],列方程为[y2+9+4-y2+1=20],即得[P30,1],[P40, 3]。

综上所述,共有4个点满足题意。

[例6]在平面直角坐标系中,点[A-2, 2],[B(3, 2)],[P]是坐标轴上一点,若[△ABP]是直角三角形。问:满足条件的点共有几个?

分析:本题增加了点[P]的位置范围,即在坐标轴上。但是方法不变,我们依然可借助“两线一圆”来解决这个问题。本题只用求点[P]的个数,不要求坐标,降低了解题难度。

解:如图9所示,构造“两线一圆”模型。

①当[∠A=90°]时,过点[A]作[AB]的垂线与[x]轴交于点[P1];

②当[∠B=90°]时,过点[B]作[AB]的垂线与[x]轴交于点[P2];

③当[∠P=90°]时,以[AB]为直径构造圆,其与[x]轴分别交于点[P3],[P4],与[y]轴分别交于点[P5],[P6]。

综上所述,共存在6个点使得[△ABP]是直角三角形。

求解直角三角形的存在性问题,学生需要把握题目的本质,精准分析题目。先考虑到有三种直角的情况,再构造“两线一圆”模型,利用勾股定理列出方程即可。只要做到这一步,学生就能通过做一题会一类。通过日常的学习训练,学生求解直角三角形存在性问题的能力就会明显取得进步。

解题能力是数学学习能力的一大组成部分。数学题目种类多、范围广,知识点之间联系紧密。如果学生缺乏“多题一解”思想,很容易被困在题海中,找不到学习数学的有效方法,丧失学习数学的兴趣。本文以解决特殊三角形的存在性问题为例,将不同内容的练习题编织在一起,进行层层分析后,采用同一类方法求解,充分体现了“多题一解”的重要思想。在日常教学中,培养学生的“多题一解”思想,有利于加强学生对知识的熟悉程度,有利于学生对数学思想方法的掌握和运用,达到强化训练的目的,形成解题技巧,提升学生自身的数学素养。因此,“多题一解”在初中数学学习中具有显著作用,应当成为学生学习数学的重要思想。

[   参   考   文   献   ]

[1]  姜静.浅谈“一题多解”与“多题一解”在初中数学教学中的应用[J].科幻画报,2018(4):102-104.

[2]  吴乃才.“两圆一线”与“两线一圆”[J].课程教育研究(新教师教学),2012(22):262.

[3]  徐秀连.应用类比思想提高数学解题效率[J].广西教育,2020(5):142-143.

(责任编辑 黄桂坚)

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