小学数学探究性长作业实践研究——以五年级“面积”主题单元为例

孙益新 上海市青浦区凤溪小学

近年来，上海市青浦区新课堂实验启动了深度学习的研究。深度学习是导向核心素养培育的进阶学习，单单依靠常规课堂的“理解”很难达成目标，于是，承载着“探究”行为的非常规学习便应运而生了。就小学数学而言，了解、理解和应用等低阶水平目标在课堂中可以实现，但分析、评价和创造等高阶水平目标在课堂中却难以落地。因此，在单元视角下，我们设想以项目式学习的形式开展长作业研究，或许可以沟通知识间的联系，实现知识系统性、结构化的同时，促成核心知识的理解、问题解决技能的提升以及学习心向表现的增强。

一、立足单元视角，确定研究目标

面积及平面图形的面积属于“图形与几何”内容领域。小学数学“面积”主题单元包括面积概念、面积单位、长正方形面积、平行四边形面积、三角形面积、梯形面积、组合图形面积以及面积估测等。其中，前三者属于三年级学习内容；第四、五、六项属于五年级学习内容；面积估测和组合图形的面积在两个年级均出现过。仔细分析不难发现：小学生研究图形面积一般分为两个方面，即直边图形面积和曲边图形面积。直边图形面积可运用公式精确计算，曲边图形面积则需运用面积估测方法估算。总体而言，小学生研究面积大多是“纸上谈兵”，很少接触现实生活中的面积概念，尤其曲边图形面积估测更令学生“望而生畏”。这样，课堂学习与现实生活便割裂了。

为了拉近数学与生活的联系，同时也为了发展空间观念，培育数学核心素养，本项目以“我做绿化小能手”为主题，研究过程中将测量树叶和花园面积作为研究重点，为今后研究更为复杂的曲线图形面积奠定基础。

基于以上思考，我确定了本项目的研究目标：（1）了解“叶面积指数”的概念，探索计算桂花园叶面积指数所需条件和步骤，能最终计算出桂花园叶面积指数，并对目前的桂花园树木疏密度提出整改提案；（2）通过小组合作、反馈交流等活动，探索树叶面积的估测方法和不规则花园面积的计算方法；（3）在探究活动中，培养操作能力、问题解决能力，发展空间观念。

二、遵循学习规律，构建问题框架

（一）采集真实问题情境

问题是使学习持续发生的动力。小学数学长作业问题情境应贴近生活、真实而富有挑战性。也就是说，长作业是基于真实问题情境而开展活动的。活动之初，我们通过座谈和问卷的形式就“平面图形的面积”进行了调查。调查主题为：你觉得生活中哪里会用到面积？运用面积能解决什么问题？学生们的回答可谓是丰富多彩的。有的同学提到可以算学校小花园的面积，有的同学提到可以算树叶的面积，还有同学提到算家里房间的面积、学校教室面积……仔细分析不难发现，这些答案都是基于面积计算或估算来直接解决面积问题的，解决问题的方式较为简单。作为老师，我不禁陷入沉思：这些虽然都是真实问题，但问题间有没有关联？如何提出一个真实且富有挑战性的驱动问题？

（二）提炼驱动性问题

此时，学校正在开展“我是绿化小能手”的社会实践活动。大家发现学校小花园中桂树长势不太好，探究是什么原因造成的？学生顺势思考：可能是桂树长得太密了。有没有科学的方法判断树木的疏密度？我让学生带着问题去查找资料。原来，树木的疏密度与叶面积指数有关。什么是叶面积指数？学校小花园的叶面积指数是多少？怎样的叶面积指数利于桂树生长？一连串的追问下，我们发现“学校小花园叶面积指数是否合理”是我们最终要面对的问题，这也是本项目的驱动性问题。

（三）搭建支架问题

驱动性问题是一个“大问题”，绝不是一蹴而就的，还需要更多的具有逻辑性的支架式的小问题作为支撑。本项目的支架式小问题就包括：桂树叶面积如何测量？桂花园面积如何估测？一棵桂树树叶量大约有多少片？等等。这些“小问题”之间是逻辑相关、层层递进的。

三、依据学情发展，逐步实施长作业

（一）分层次多角度活动推进

1.“以终为始”厘清活动序列

“以始为终”是项目式长作业的主要特征。本项目最终要“写出小花园的整改提案”，这也是活动之始最先提出的。作为项目的执行者，学生首先要明确自己要做什么、为什么这么做、怎么做等问题，即绿化小能手评估什么（评估花园植物疏密度）、为什么要评估花园植物疏密度（为了让植物更好成长）、如何评估花园疏密度等（计算叶面积指数）。因此，学生自接触该项目开始便将项目最终目标作为解决问题的起点，并通过自制流程图的方式厘清整个项目的活动序列。

2.“从小到大”践行核心知识

“从小到大”中的“小”指面积较小的曲面图形的面积，特指树叶的面积；“大”指面积较大的曲面图形的面积，特指花园的面积。研究过程中，所涉及曲面图形面积“大”与“小”都是本项目的核心知识，同时也是重点实践的内容。研究方式“从小到大”可使操作由易到难，其估测方法也可以由小到大迁移。

（1）估测“小”面积方法多样化

估测一片桂树叶的面积是本项目的重点。学生三年级时学习过“运用方格纸估测不规则图形的面积”；五年级时学习过“把不规则图形近似看成规则图形估测面积”。这些都是学生的学习基础。这些方法能在实践中实现吗？还有其他估测面积的方法吗？

经过小组合作实践，学生基本呈现三类方法：其一，运用方格纸估测，包括画小方格；其二，把桂树叶看作长方形、看作两个三角形、看作两个梯形等等，测量后运用公式算面积；其三，其他方法，如称重算面积法、根据体积算面积法。如果说前两种方法是学以致用，那么所谓其他方法便是“自学成才”或“开拓创新”了。

（2）估测“大”面积方法可迁移

估测不规则花园的面积相对来说要困难一些。由于学生已有了估测树叶面积的经验，因此，实践过程中学生基本呈现了两种方法，即用1 平方米的正方形去测量花园、看成规则组合图形算面积。仔细分析不难发现，第一种方法与之前用透明方格纸测量基本相似；第二种方法与之前看成规则图形计算面积的方法基本雷同。

3.“以主带辅”关注辅助知识

此次长作业，不仅仅要估测一片树叶的面积，还要估测整个花园的叶面面积。由于花园中桂树棵数已经确定，还需知道一棵树上有几片叶子。这对以“面积”为主题的实践活动来说却是辅助知识了。

如何估测一棵桂树的叶子数量，研究过程中呈现了一系列方法。其中，先算几个小枝平均叶子数，再数出一个大枝有几个小枝，再数出大枝的数量，最后估测小枝数量。这种方法精确度高，实践起来也不算太困难，是多数小组的选择。总之，学生们方法多样，基本上是用“样本平均数”知识去解决问题。所以，虽说本项目是以“面积”为主题的长作业，但或多或少会牵扯到其他知识，诸如估算、平均数、平均数的应用等等，这些都是数学实践活动中常用的辅助知识，需要加以关注和实践。

（二）“成果导向”培育核心素养

本次项目化长作业是借助小花园桂树叶面积指数判断桂树的疏密度，最后成果是以提案形式向学校大队部提出小花园整改建议。

在一系列过程中，始终以成果为导向亦步亦趋开展活动，学生在估测花园面积、树叶面积、桂树树叶数量时，以小组为单位相互配合，其间培养动手操作能力、观察能力、问题解决能力，逐步将生活中的图形与数学图形建立有效关联，发展了空间观念，实现了核心知识的深度理解；同时，在实践过程中培养了学习兴趣，体验了成功的乐趣，真正培育了数学核心素养。

四、长作业实践反思

1.长作业设计过程要体现具体的原则

首先，长作业要以真实的问题情境为导向，同时问题情境要能引起学生兴趣，这样才能成为学生持续研究的动力。所以，长作业设计要体现趣味性和情境性。第二，长作业的活动形式要有层次任务推进，同时活动过程中鼓励学生敢于批判、勇于创新。本项目中每个活动间都是层层递进、逻辑相关的。学生在实践每个活动的过程中，又出现许多意料之外又情理之中的结论，着实让人眼前一亮。所以，长作业还要体现层次性和创新性。

2.长作业实施过程要建构互助协同的关系

项目式长作业的实施过程最终还是由小组成员互助完成的。在完成活动的过程中，小组成员在分工合作、交流分享中学到了知识、获得了成果、提高了能力、更获得了友谊。另外，长作业不仅仅是学生展示自己的平台，其间还需教师适时介入。只有师生的共同努力下才能使每一位成员都有收获，同时在这一过程中建立协同型师生关系。

3.长作业的发展还需更多的社会支持

长作业毕竟是一项新型的作业，其发展历程还不长，但其教育意义和价值已不容小觑。因此，项目式长作业的发展还需更多学校、教师、家长和有关教育行政部门的大力支持。