探究性长作业活动教学——以《一次函数的应用》教学为例

诸 莲 上海市毓华学校

一、研究背景

数学教育从注重数学知识的讲授转向更加关注学生的可持续发展和创新能力的培养，注重知识的迁移和应用，用学到的知识解决真实的生活问题，实现深度学习。让学生在真实的操作、生活问题解决的过程中进一步领悟核心知识和体悟思想方法，发展数学核心素养，其要义是从“领会”到“探究”，而长作业就是提供给学生学以致用、解决真实问题的探究性活动。为了进一步提升学生的探究合作、分析总结等能力，我们围绕《一次函数》这一单元开展了长作业的实践探索。

二、长作业活动的前期准备

（一）基于学情，确定长作业目标

《一次函数》是沪教版八年级下册中的知识点，在学习此节内容之前，学生已经学习了变量、平面直角坐标系、函数、正比例函数的概念。在学习本单元的内容后，学生要理解一次函数的相关概念和性质，能用一次函数相关知识解决一些简单的实际问题。

考虑到我们学校的学生情况，选择九年级的学生参与此次探究活动。基于学生的情况，我们确定了《长作业探究一次函数的应用》的探究目标：（1）通过在领会“一次函数”的基础上进行探究，学会“数学地思考”，积累数学活动经验，提高解决问题的能力；（2）经历实验操作、数据收集、数据分析、建立模型、分析模型、得到结果的过程，获得从现实问题中抽象出数学问题的数理方法，领会数学建模的实际意义；（3）通过自主探究及组内的交流，培养学生自我管理和沟通协调的能力及批判性思维，在此基础上培养创新能力。

（二）基于目标，选择合适的主题

为了激发学生的学习兴趣，让他们不仅仅停留在表面学习，必须要让学生有持续探索的冲动，因此“长作业”需要一个“真问题”来驱动学生进行持续的探究。

我们通过问卷访谈形式，让学生围绕函数这个知识点提出感兴趣的问题，学生提出了如学生睡眠时间和年龄的关系、青浦环线时刻表设定的原因、家庭水电煤阶梯收费的情况等问题。

但是这些问题不适合都布置成长作业，比如学生提出的“学生睡眠时间和年龄的关系”这个问题，现在电子产品的大范围普及影响了时间和年龄这两个变量之间的关系；又如“青浦环线时刻表设定的原因”，需要学生从早班车到末班车去各个站点实地考察记录，记录内容大，考虑到安全问题和数据的准确性，调查起来难度较大。我们汇总所有问题后，进行比较，最终选出了三个主题：

项目一 家庭电费调查。随着网络的兴起，人们的生活充满了各种家用电器，对于电的需求也越来越大，电费的收费标准一直在改变，那么现在的阶梯电费是怎么收取呢？为什么这么设置呢？什么时候的用电量最大呢？

项目二 学校里浪费水资源的情况。水是不可再生资源，可是很多人生活中并没有重视水资源，有很多浪费现象，比如学校里洗手后，水龙头就随便一关，没有拧紧水龙头，一个水龙头一天会浪费多少水？整个学校一年又要浪费多少水？我们该如何节约用水？

项目三 火箭下降高度和时间关系的调查。随着中国航天技术的发展，越来越多人重视火箭这方面的研究，学校里也开展了火箭兴趣班，那么火箭下降的高度与时间之间存在怎样的关系呢？火箭下降的原理又是什么呢？

这些主题前两个和学生的日常生活相关，最后一个是学生感兴趣的且学校内有相应的配套设施支持，它们都和函数这个核心知识紧密联系，并符合学生能力的最近发展区。

（三）基于主题，设计长作业工作单

虽然有了活动主题，但是学生并不清楚怎么去完成。因此，我们首先要基于这些主题，确定好工作单的内容，在设计工作单时要为学生提供学习支架并注重工作单整体的策略设计。

学生都是第一次接触长作业，对于如何去做比较茫然，整个调查过程需要学生自主探究合作后尝试总结，有很多外在的因素让学生在探究的过程中脱离了最终的目标。为了让学生始终围绕学科核心知识实施长作业，我们要为学生搭建学习支架。这些学习支架作为桥梁，可以增加学生思维的梯度，同时又降低思维的难度，提高学生探究的兴趣。因此，每一份调查主题我们都设计了一份长作业工作单，比如“家庭电费调查”：（1）集齐同一用户一年度的电费发票联；（2）根据发票的数据绘制用电量（千瓦时）与电费（元）之间的函数图像；（3）分析并建立用电量（千瓦时）与电费（元）之间的函数关系；（4）根据探究的结果谈谈电费收费制度是否合理和节约用电的一些建议。通过这四个学习支架的设置，明确问题解决的步骤，又聚焦问题解决的数学方法。

（四）基于“工作单”，合理任务分配

由于学生之间存在差异，我们要合理分配各个长作业之间的任务。我们要区分各个任务的难易度，每份长作业、每一个任务都有不同层次知识的延伸，可以满足不同水平学生的发展需求。比如“家庭电费调查”要求学生根据电费单描点作图，根据图形的特点，计算得到最符合趋势的函数关系；“学校里浪费水资源的情况”要求学生自己动手操作实验，再根据实验数据得到每一个水龙头浪费水与时间之间的变化规律；“火箭下降高度和时间关系的调查”要求学生学习火箭模型的组装，并利用DIS 传感器等设备记录的实时数据分析时间和下降高度之间的关系。三个项目是三个不同方面的拓展，分别建立在不同水平学生的最近发展区。

三、长作业活动的探究过程

（一）学生自主探究解决“真问题”

长作业活动的整个探究过程都应该在学生的兴趣的驱动下进行，在这个过程中学生习得的知识和方法得以迁移，思维得以提升，能力得到发展。我们希望此次活动能够在学生的自主合作探究、教师加以适时的指导下开展。下面以项目一“家庭电费调查”为例简单阐述。

1.查阅资料，提出假设

学生网上查阅了资料，发现电费三阶收费标准，“电费—用电量”函数应该是一个分段函数：第一段是用电量在0～3 120 千瓦时的第一档用电量收费情况；第二段是用电量在3 120～4 800 千瓦时的第二档用电量收费情况；第三段是用电量在大于4 800 千瓦时的第三档用电量收费情况。

2.收集数据，绘制图像

学生首先集齐了某用户2019年度的12个月电费发票联。观察并分析发票联，发现影响每月电费的变量有两个，一个是峰时电量，一个是谷时电量，他们之间不存在确定的依赖关系，所以电费和用电量不是函数关系。学生决定将电费分成两部分：“峰时电费—峰时电量”函数关系，“谷时电费—谷时电量”函数关系，分别画出函数图像进行比较观察。

另外3月份和8月份这两个跳档的月份未细分峰时和谷时的电量。如何较为准确地分配呢？在老师的指导下，学生利用该月中峰时和谷时用电量的比来估算这部分电量中峰时、谷时的电量各为多少，并计算出相应的电费，然后根据累计的用电量和累计的电费，运用EXCEL软件绘制图像。

3.分析图表，提出假设

经过逐一进行计算分析，学生发现1～2 月用电量在第一档，按第一档的峰时和谷时费用收费；4～7 月份，用电量在第二档，按第二档的峰时和谷时费用收费；9～12月份，用电量在第三档，按第三档的峰时和谷时费用收费，这与第一次讨论时的猜测基本吻合。

学生观察预设的图像和实际图像，发现除了3 月份和8 月份以外，其他十个月的变化趋势跟提出的猜测基本相同，但3月份和8月份都涉及两档电费，所以各有两个点，3 月份的第一个点，用电量属于第一档，所以跟1月、2月的点在同一条直线上，3月份的第2个点，表示第二档，峰时图像比1 月、2 月的图像陡些，相较于4～7 月份的图像平缓些，由于三月份价格变动幅度不大，所以图像变动不明显。

4.建立模型，得出结论

从上述图像的比较，我们发现：不管是“峰时电费—峰时用电量”函数图像还是“谷时电费—谷时用电量”函数图像，都不是我们最初预设的只是三段，受到跳档收费标准的不同，都分为六段，可见在研究的过程中，猜测只是一个方向，而真正起到作用的是实际数据的诠释。

（二）学生汇报交流、评价反思

在各小组完成探究后，学校组织让各小组代表轮流汇报，展示成果。分享交流是学生思维表达的过程，在此过程中其他小组可以进行评价、提出困惑，让学生再次思考反思，进一步提升了思维的层级。

比如项目一“家庭电费调查”在小组汇报的最后，调查组学生提出2、3 月份和8、9 月份是该用户的用电高峰，这应该是因为冬季天气寒冷以及夏季天气炎热，开空调所致，可见，空调是我们生活中用电量骤升的主要因素之一。而其他小组则对跳档月份的电量计算提出质疑，调查组学生当堂为大家展示了计算方法，并表示之后会向电力公司咨询具体的收费标准。

四、长作业的反思与体会

1.通过本次长作业的活动我们发现长作业实施的几个要点：（1）长作业需要强调课内外核心知识的关联，即有适切的主题是长作业开展的根本；（2）学生好奇心和求知欲的激发是长作业开展的灵魂和主线；（3）长作业的设计内容与评价标准起到了导向功能；（4）长作业作为作业的一种类型，具备作业的基本功能，但是它更多关注的是大概念下学生自主的问题化学习；（5）教师更多的是关注、引导，遇到困难给予提示、点拨和指导，促进研究的进行。

2.通过本次活动，有的学生说：“对于一次函数解析式中的k和b又有了深一层的理解。”有的学生说：“原来数学课还可以以活动课的方式呈现，通过本次活动，我更爱数学了。”也有的学生说：“通过本次活动，我们碰到了书本中碰不到的困难，但我们学会了分工合作，通过讨论、尝试各种方法并解决困难，我们都特别有成就感。”

3.老师们通过本次长作业活动发现学生不但对学习内容感兴趣，更能掌握学习方法，主动与他人合作交流，发现问题、解决问题，并且能在教师和同伴的互助下挑战高层次的学习任务，享受高品质的深度学习。

4.长作业研究的过程更像是教师和学生共同栽种了一棵生命之树，这棵树以核心知识为树根，以学生兴趣、学习能力为土壤，以学习工作单为树干，以实践过程为树叶，教师陪伴学生，共同浇灌，共同成长。