数形结合 凸显本质——论小学高年级学生几何直观能力的培养

■福建省莆田市城厢区东海东蔡小学 王顺清

直观想象能力是数学核心素养的重要组成部分，指通过空间想象能力和几何直观表现，感知事物的发展变化规律，利用空间形式，尤其是图形的理解力解决数学问题的素养，其中直观想象能力就包含几何直观能力，因此，几何直观能力是小学生发展数学核心素养的一种重要能力。小学高年级是培养学生几何直观能力的起点，这个阶段的学生处于具体运算时期向形式运算时期的转变过程，学生的抽象思维在逐步萌芽阶段，结合其直观思维已经能独立地利用具体事物进行运算。在直观思维充分发展的前提下，部分高年级学生抽象思维能超过萌芽阶段。在小学阶段对学生进行几何直观能力培养，有助于其将复杂的数学几何问题转化为简单明了的逻辑思维问题。此外，几何直观能力不只是在数学学科考试中占有较大比重，也会随着课程的增加会逐步渗透各个学科中，尤其是以物理、化学两门自然学科，这才有了“学好数理化，走遍天下都不怕”的认知。教师应认识到几何直观能力培养的重要性，这不仅有助于学生将复杂问题简单化，也关乎学生数学抽象、逻辑推理、数学建模等能力的发展，还影响着学生的成绩。

小学高年级学生几何直观能力培养的影响因素较为多元，包括学生因素、教师因素、家庭因素、学校因素等，其中最主要的是学生因素中的非智力因素和学习策略因素。为了真正提升小学高年级学生的几何直观能力，教师需不忘初心，让几何落地生根，注重激活非智力因素，以及尊重学生主体。

一、几何直观能力的核心概念界定

对几何直观能力的分析解答，要先认识到其概念的复合性，将其拆分为基本概念认知梳理，最后再总结。

第一是对“几何”的阐述，“几何”即“几何学”，被认为是数学学科中的一门分支，意为对物体位置关系，大小比较，形状变化进行研究的学科。2000年美国数学教师协会（NCTM）则认为几何是“三维空间存在的几何概念的简单认知，并探究简单几何图形性质，从而识别实物异同的过程”。可以看到，美国教师协会的几何定义在知识概念的基础上加入了技能，是一个综合性的概念，这同新课标规定的几何概念界定不谋而合。

第二是对“直观”的认知。顾名思义，“直”意为直接、直达，“观”则是感观，总结起来，“直观”是人通过感受器官与外界直接接触事物后，不经过任何间接加工手段，产生感受、知觉、表达等反映形式的过程。这一过程可以借助经验、测试和联想延伸，也可以直接观察；可以感性也可以理性；可以抽象也可以具体，并无一个具体明确的要求。反映到几何直观上，就不能单纯地认为只是一种“几何图形带来的感性认知”，它更强调了人脑在识别客观事物发展和猜想联系的一种状态摸索，进而对数量关系和空间形式整体把握的统筹观念与能力。这一总结也贴近教学实践和学生现状，从更高的着眼点定义几何直观。

第三解释“能力”这一概念，指人在完成一项界定目标或任务中体现综合素质，尤其强调了推进任务顺利完成的心理特征作用，以其活动领域分为一般能力、特殊能力、创造能力、超能力等。有学者简单地把能力高低归结为智力高低，这种总结是片面的。能力与智力应该是相互依存，共生互补，放在数学层面上，以数学核心六内涵为基础，囊括一切直观元素和表征现象，深入思考后解决数学学习的问题的一种能力，称为“数学直观能力”。

综上所述，可以给出几何直观能力的定义：运用联想或直接观察所得的图形、实物、标志，加以分析和思考后得出数学问题，并加以解决后进行归纳、总结、提升的能力。对此定义的认知也为后续现状分析和策略提出提供理论依据。

二、小学高年级学生几何直观能力培养现状

（一）水平、要素及内容现状

现阶段，小学高年级学生几何直观能力整体处于中等偏上的水平，且受性别影响，具体到水平、要素及内容现状，却存在较大的差异。就水平维度说，大部分学生能利用几何直观感知问题、表现问题，但能利用几何直观分析问题的不多。就要素维度说，由于小学高年级学生日常学习生活接触的几何图形直观问题较多，因此，对几何图形直观问题解决的程度强于图片直观和符号直观。具体而言，在涉及图片直观时，存在思维的连贯性较为欠缺的问题；在涉及符号直观时，存在作图习惯差、作图不严谨、作图不灵活等问题，学生以数学语言表达数学知识的能力还有待加强。就内容维度说，在图形与几何、数与代数、统计与概率、综合运用四个部分中，统计与概率、图形与几何两部分学生的答题正确率最高，原因在于相关知识大量以图形、图表呈现，直观性很强，数与代数、综合运用两部分则较为抽象，学生使用几何直观方法解决相应问题的意识、能力都相对薄弱。

（二）五六年级的差异性

从整体上看，五六年级几何直观能力不存在显著的差异。但具体到几何直观知识和方法掌握的熟练度上，六年级学生是强于五年级的。在水平维度上，相比五年级，六年级学生无论是在知识经验基础还是学习心理上，都是明显占优的。但在五年级学习刚刚学习的新知识中，六年级学生的优势并不明显，这也说明及时复习对学生几何直观能力的重要意义。在要素维度上，六年级学生无论在数学知识还是技能方面，都是明显占优势的，但在图片直观上，六年级学生的优势并不明显，这需要教师进行额外的关注。在要素维度上，六年级学生不仅在数学知识和技能上比五年级学生强，而且已经深入学习了如何运用分数乘除法解决问题，在数与代数等方面是远远强于五年级学生的。五六年级的差异性，需要教师采取差异化的教法和引导方式，帮助学生补齐短板，提升综合能力。

三、小学高年级学生几何直观能力培养的影响因素

小学高年级学生几何直观能力培养的影响因素有学生因素、教师因素、家庭因素、学校因素等，下文将详细阐述学生因素、教师因素两个部分。

（一）学生因素

学生因素是小学高年级学生几何直观能力培养的最主要因素，毕竟，几何直观能力培养的主体是学生。在学生因素中，非智力因素和学习策略因素的占比较大。对前者，分为元认知策略、认知策略、寻求支持策略、策略意识和策略情感五部分，上述策略越高，学生几何直观能力就越强，反之亦然。对后者，主要涉及学生的兴趣、情感、意志、动机，比如，学生喜欢上数学课、喜欢了解几何直观方面的知识甚至希望在数学领域取得一定成就，那么几何直观能力就越强。这种正相关现象也是学生能力培养的最大内在动因，这也侧面印证了“兴趣是最好的老师”这一观点。

（二）教师因素

教师是小学高年级学生几何直观能力培养的引路人。教师采用怎样的教法方法、对几何直观能力的认知程度以及与学生的关系等，都会深入影响学生几何直观能力培养。以师生关系为例，如果一个班上的学生都喜欢数学教师、喜欢上数学教师的课，那么就越能对教师的画图分析等教学方法产生进一步的理解和感知，教师也愿意将更多的理论和思考传递给学生，而不是仅仅给出一个正确答案。反之，如果一个班上很多的学生不喜欢数学教师、不喜欢上数学教师的课，那么学生就不愿理解教师培养学生几何直观能力的具体教学目标、内容和措施，从而导致教学失去了针对性。另外，随着二十一世纪互联网和大数据的兴起，形形色色的多媒体教学工具逐渐进入教师的视野，教师要能利用这些科技带来的便利，并将其转化为帮助学生理解几何课程的助力，更形象、更生动地涵盖所要传授的内容知识。要注意的是，教师利用多媒体教学不代表要全权依靠多媒体教学，对一些传统的优良教学方法也要结合着用，双管齐下，教学效果才会有明显提升。

四、对策与建议

为了真正提升小学高年级学生的几何直观能力，必须从“教”与“学”两方面入手，对此，笔者提出以下几点对策。

（一）不忘初心，让几何落地生根

学校应该看到几何直观能力是小学高年级学生发展数学核心素养的重要组成，认识到几何直观能力培养对小学高年级学生的重要作用，不忘初心，让几何落地生根。第一，学校应积极开发培养小学高年级学生几何直观能力的新课程，强调课程内容的应用性和形式的多元性。比如，针对六年级学习的“比例和图形”，教师可以设计一堂“我来画学校”的活动课，让学生通过画草图、实地测量和比例换算，最终完成一幅学校的地图，让其在动手动脑中实现几何直观能力的提升。此外，要加强教师队伍对几何直观的认知程度，正如上文所述，尽管当前小学高年级学生几何直观能力整体处于中等偏上的水平，却在水平、要素及内容上存在明显的差异性。因此，学校应从学生的长远发展出发，让教师对这种差异性保持清醒的认知，加强自身的理论修养和实践能力，并提供相关的规划课题，带动整个教师队伍。第二，应强调教师主导发挥作用。一是要加强理论知识学习，明晰几何直观的内涵，理解几何直观的意义。教师要利用好新课标和各种参考文献，从自身教学实际出发，关注和研究学生在几何直观上存在的问题，进行分析、思考，然后研读新课标和各种参考文献中的解决办法、具体案例及实施意见，再将其实践与平日的课堂教学中，有意识地引导学生用几何直观的方式解决问题，进而理解“几何直观能力的意义是什么？”“过往教学存在的问题是什么？”“教师应该怎样教？”二是加强空间观念的培养。教师要有在平日的教学中有意识地渗透、体现几何直观能力，比如，在讲授“长方体的表面积”一课时，教师可以借助教学用具、纸盒纸箱等实物让学生对长方体表面积组成有一个初步的认知，再让学生动手“分解”一个长方体，利用几何直观分析问题。

（二）注重激活非智力因素

非智力因素对小学高年级学生几何直观能力培养的影响很大。为此，教师必须充分重视起学生的兴趣、情感、意志、动机等，既让学生对几何直观感兴趣，又要对教师有亲近感。这就要求教师要提升教学素养，古语有云：“身正为师”“十年树木，百年树人”。学生学习是一个长周期的过程，教师的一言一行规范与否都会对学生的后续学习产生深远影响。诚然在当今推行素质教育的大背景下，一线教师的教学素养有了极大提升，但对形成闭环的素养框架还仍有差距。教师必须时刻反思，发挥良好的示范作用，引导学生时时刻刻养成规范良好的学习习惯。例如，在画图过程中，教师规范使用直尺、圆规等作图工具，用自己的实际行动影响学生。这种影响可以有助于提升学生的学科成绩和加强学生能力的培养，还能影响学生之后的人生轨迹，带来的好处毋庸置疑。同时，教师可以增强自己的人格魅力，提升在学生心目中的影响力、感召力，从而使每一节课都事半功倍。比如，在执教的“圆的周长”这堂课时，教师可以创设实物情境，带来瓶盖、胶带、钟表等有圆形的实物，让学生进行观察和测量，对学生的突发奇想，对身边的看起来不算规范圆形物体进行测量，要持有包容的态度，提醒他们这些不是标准的圆形，测量的误差可能会比较大，既让学生感受到数学的严谨性，又让学生感受到数学的趣味性。

（三）尊重学生主体

小学高年级学生几何直观能力培养中，教师只是引路人，学生才是真正的主体。为此，教师必须给予学生充分的理解和尊重。首先，要意识到“教育是慢的艺术”，小学高年级学生几何直观能力的培养不是一蹴而就的，而需要一段时间的坚持。因此，教师需在每次教学中设定一个主题，给学生一定的时间观察、想象和思考。比如，在“圆柱的认识”这堂课中，教师可以先给定“圆柱体”这一主题，让学生观察、想象并动手画一画，提升学生对其的感知力。其次，要充分利用多媒体课件等手段，不仅要突出其直观性、便捷性，更要标准、耐心地示范，不能因课件方便就进行“快餐式”“填鸭式”教学，以使学生跟上教师的思维节奏。再次，要重视学生本身的发展。笔者在课堂观察中发现，一些教师存在急于推进课程，忽视学生学习、发展规律的问题。比如，在“圆柱的认识”这堂课中，有些教师虽然采用了符号，帮助学生直观地理解知识，但没有留给学生充分的时间观察、动手作图、理解和思考。对此，教师必须重视学生本身的发展，在课堂教学中，应标准、耐心地示范。比如，在绘制线段图分析解决问题时，应把握好学生的思维节奏，注意学生出现次数较多的问题，尽量避免“直接给答案”或直奔方法讲解，而应“启发再启发”，为学生留足够的时间动手作图、理解数量关系、感受用数学语言表达信息的过程。

五、结语

总之，几何直观能力是小学高年级学生发展数学核心素养的重要组成。本文从小学高年级学生几何直观能力培养现状出发，提出非智力因素和学习因素是影响这一能力的主要因素，并从“教”与“学”两方面提出针对性建议，以真正提升小学高年级学生的数学素养。