具有2-正则共轭类素图的群

皇甫莹,何立国

(沈阳工业大学 理学院数学系,辽宁 沈阳 110870)

0 引 言

群是现代代数中最基本也是最重要的概念之一,它在数学本身以及现代技术的很多方面都有着广泛的应用。对于有限群中蕴含的一些数量,例如,共轭类长及其素因子、元素的阶及其素因子、不可约特征标次数及其素因子等进行约束，研究相应的群结构是有限群论的一个重要研究领域[1-4]。其中利用图论的方法对这些数量的算数结构进行约束,研究其对应群结构,则是它的一个特色[5-7]。约束这些数量的图通常是公共因子图和素图[8]。有限群G的共轭类长素图的顶点是G的所有共轭类长素因子,2个顶点p、q有边相连当且仅当pq整除群G的某一共轭类长。文献[9]证明了群G的共轭类长素图至多有2个连通分支，且n(Γ)=2时,G为可解群。文献[10]证明了连通图的直径最大为3,不连通图对应的每个连通分支都是完全子图。文献[11]研究了4个顶点1-正则图时群G的结构。本文研究4个顶点2-正则图的群结构。4个顶点2-正则图就是一个长方形,2-正则图刚好由2个三角形构成,利用已知结果研究这2个图对应的群结构,并利用GAP研究了这两类群的存在性及更具体的结构[12]。

无特殊说明,文中符号都是标准的,参见文献[13]。特别指出“:”表示半直积。

1 主要引理

引理1.1设G为任一有限群,则|G/Z(G)|的所有素因子均为共轭类长素图的顶点,即ρ*(G)=π(G/Z(G))。

证明见文献[9]中引理1.9。

引理1.2设G为任一有限群,p,q∈ρ*(G)(p≠q)。若群G的任一共轭类长均不被pq整除,则G要么是p-幂零群,要么是q-幂零群。

证明见文献[1]中定理33.8。

引理1.3设G是任一有限群,那么共轭类长素图Γ*(G)不连通当且仅当G是拟弗比纽斯群,且其核与补均为交换群。

证明见文献[1]中定理4.1及推论4.2后评述。

引理1.4设G是任一有限群,N是G的一个正规子群,那么N与G/N的共轭类长素图均为Γ*(G)的子图。

证明由文献[10]的引理1可得。

引理1.5当G为可解群,p,q,r为Γ*(G)中的3个不相同的顶点,那么必有pq|cl(G),qr|cl(G),rp|cl(G)三者之一成立,即3个顶点中至少有2个顶点间存在一条边连接。

证明由[14]的引理1.3可得。

2 主要结果

定理2.1设G是一个有限群,如果Γ*(G)是4顶点的2-正则图,那么G是可解群且G=(N:H)×K,其中N是G的正规Hall-子群,H是G的交换Hall-子群,|π(N)|=|π(H)|=2,K是G的中心Hall-子群,且2子群N,H,K的阶两两互素。

证明设有限群G的共轭类长素图是4个顶点的正则图,不妨设其4个顶点依次为p1,p2,p3,p4由引理1.1知ρ*(G)=π(G/Z(G))。设K是G的极大中心Hall-子群,则有G=M×K并且G与M有相同的共轭类长素图。可知M的中心Hall-子群是平凡的,可得ρ(M)=π(G)。由于p1,p3是不相邻的顶点,因此不存在M的共轭类长同时含有素因子p1,p2。应用引理1.2, 可设M是p1幂零的且Sylowp1-子群P是交换的,所以有M=N1:P,其中N1是M的正规Hall-子群。由于p2,p4也不相邻,同理可得M=N2:Q,其中N2是M的正规Hall-子群,Q是M的交换Sylowp2-子群。故N=N1∩N2也是M的正规Hall-子群,且其阶刚好含有2个不同的素因子。进一步得M=N:H,H是M的Hall-子群。又因为

H≌M/N=M/N1∩N2M/N1×M/N2≌P×Q

得H是交换群。由于M的阶恰含有2个不相等的素因子,利用Burnsidepq-定理可得G是可解群。证毕。

定理2.2设G是有限群,如果Γ*(G)是含有2个连通分支的2-正则图, 则G是可解群且G=(U:H)×K,其中U是G的正规交换Hall-子群,H是G的交换Hall-子群。Z(U:H)≤H,|π(U)|=|π(H/Z(U:H))|=3,K是G的中心Hall-子群, 且3子群N,H,K的阶两两互素。

证明由于Γ*(G)的连通分支数n(Γ)=2, 由引理1.3可得G/Z(G)是弗比纽斯群。因为ρ*(G)=π(G/Z(G))及G/Z(G)的中心是平凡的, 由引理1.4得Γ*(G/Z(G))=Γ*(G)。又由引理1.3知G/Z(G)的核与补均为交换群, 故其共轭类长素图中的2个分支是完全子图。又因为Γ*(G)是2-正则图,且由引理1.5可得每个分支对应的子图都是三角形,因此有|π(G/Z(G))|=6。设K是G的极大中心Hall-子群,则有G=M×K，且G与M有相同的共轭类长素图。由引理1.3得M/Z(M)是弗比纽斯群,即M/Z(M)=N/Z(M):H/Z(M)。因为Z(M)=Oπ(M),可得Z(M)是N的正规Hall-子群,故有N=U×Z(M), 进而得出M=U:H,其中U与H的阶互素。由于每个分支均为三角形，知|π(U)|=|π(H/Z(M))|=3。证毕。

因为2×3×5×7×11×13=30030,所以具有2个连通分支的2-正则图所对应的群阶至少为30030。利用GAP对30030阶的144个小群进行检验,发现144个图中含有6个顶点的图37个,对这37个群进行逐一验证得出,它们对应的图均不满足2个连通分支2-正则共轭类长素图的结构,故在所有阶为30030的群所对应的共轭类长素图中不含2个连通分支的2-正则图。

定理2.3设G为2000阶以内的群,如果它的共轭类长素图为4个点的2-正则图,那么群G与下列结构之一同构:D10×(C7∶C3),S3×(C11∶C5),(C5∶C4)×(C7∶C3),C2×(D10×(C7∶C3)),(C7∶C3)×D22,A4×(C11∶C5)，C3×(S3×(C11∶C5)),C2×(A4×(C11∶C5))。

证明利用GAP可求得2000阶以内群的共轭类长素图为4个点图共1 192个,通过它们的共轭类长集,归纳总结出满足4个顶点2-正则图的群共有128个,下面给出定理中提到的群结构在小群库中的群号及共轭类长集:

SmallGroup(210,2),[1,2,3,4,5,6,7,14,15,35],D10×(C7∶C3);

SmallGroup(330,2),[1,2,3,5,6,10,11,15,22,33],S3×(C11∶C5);

SmallGroup(390,2),[1,2,3,4,5,6,13,15,26,65],D10×(C13∶C3);

SmallGroup(420,2),[1,2,3,4,5,6,7,14,15,35],(C5∶C4)×(C7∶C3);

SmallGroup(420,18),[1,2,3,5,6,7,14,15,35],C2×(D10×(C7∶C3));

SmallGroup(462,1),[1,2,3,6,7,14,33,77],(C7∶C3)×D22;

SmallGroup(660,16),[1,3,4,5,11,15,20,33,44],A4×(C11∶C5);

SmallGroup(660,18),[1,2,3,5,10,11,15,22,33],C3×(S3×(C11∶C5));

SmallGroup(1320,143),[1,3,5,11,15,20,33,44],C2×(A4×(C11∶C5));

其中，Cn表示n阶循环群,Dn表示二面体群,Sn表示n次对称群,An表示n次交错群,且通过上述推导可以得出定理2.1结论。