“数学分析”教学中融入思政元素的研究与实践

吴兆荣，朱丽芹

（济南大学数学科学学院，山东 济南 250022）

引言

“数学分析”是数学专业的专业基础课，是一门大课，分三学期学习，由大一到大二完成，是后继课“复变函数”“实变函数”“微分方程”“概率论与数理统计”“泛函分析”“计算方法”等的基础，是数学专业考研的专业基础课，因此“数学分析”的重要性不言而喻。学生开学的第一节课基本都是“数学分析”，接触大学专业课的第一位教师往往就是数学分析教师，所以学生对分析教师印象深刻，意味着分析教师对学生的影响比较大，在学生的三观没有完全定型前，教师教书与育人同等重要，在传授知识的同时加入一些思政元素非常有必要，因此我们对“数学分析”做了课程思政[1]研究与实践。

1 文化自信

文化自信包括对数学文化的自信和对中国文化的自信。

1.1 数学文化自信

第一次上课之前把三次数学危机[2]的资料发到数学分析学习交流QQ 群，在讲第一章第一节实数[3]中可以适当讲一下，我们今天看来很自然很轻松的问题，实数由有理数与无理数构成，但当年无理数的发现却掀起巨大风波，导致第一次数学危机。在讲第七章实数的完备性时，适当讲一下第二次数学危机，微积分诞生初期解决了很多问题同时又产生了很多矛盾，引起很大争论，19 世纪初期发现分析学的不严密性到了非解决不可的地步，经过很多数学家的努力，发现研究微积分需要用到极限，而研究极限又要用到实数，因此实数理论是必须解决的基础理论。最终确定六大定理，这六个定理相互等价，它们都充分体现了实数的完备性。有了实数理论做基础，给出极限的严格定义，再用极限给出导数、积分的准确定义，这样微积分的严密化基本完成。第二次数学危机的解决，促进了微积分的发展且完善了数学分析的理论基础。通过适当介绍数学危机与数学的发展，能够培养学生对数学文化的兴趣与自信。

1.2 中国文化自信

在讲极限时，先讲中国古代对极限思想的描述，如我国庄子《天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。刘徽为《九章算术》作注时提出“割圆术”：用正多边形逼近圆周。他说“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”这都是极限论思想的成功应用，以此培养学生民族自豪感和坚定的中国文化自信。

2 数学中的哲学思想

2.1 对立统一

在数学分析中哲学思想随处可见，学生自学不一定能悟到，需要教师在讲课中给学生点拨一下，这样可以有意识地去培养学生的辩证唯物主义观点。数学分析中对立又统一的概念成对出现，如收敛与发散、无穷小量与无穷大量、连续与间断、微分与积分、正常积分与反常积分、一致连续与非一致连续、一致收敛与非一致收敛等。其中一致连续与非一致连续是比较难掌握的，虽然可以利用数形结合形象地解释，但能够准确地理解掌握还是需要用对立统一的思想。

2.2 特殊到一般

牛顿与莱布尼茨是微积分的创始人，牛顿是从力学角度研究给出导数概念及其物理意义，莱布尼茨从几何角度给出导数概念及其几何意义，同时他们又各自研究积分，著名的公式是牛顿-莱布尼茨公式，虽然他们出发的角度不同，但从最后结果看是殊途同归，从本质上是研究的一样的数学问题。讲导数定义前，先从两个例子出发，让学生在实例中寻找掩藏在现象背后的规律，再从特殊到一般，抽象出导数定义，从理论上系统研究后，再从一般到特殊，讲导数的几何意义、物理意义。

2.3 量变到质变

有限个实数相加其和一定存在且为一个实数，而无限个数相加会出现什么样的结果呢？通过举例引导，提出问题：无限个数相加是否存在和，如果存在和，怎么求出和？如果不存在和，原因是什么？显然无限个数相加比有限个数相加要复杂得多，需要进一步深入研究。从而引出数项级数这一章，通过学习学生发现，无限个有理数相加结果可能是无理数，无限个数相加结果也可能是无穷大，无限个数相加也可能没有结果，充分体会到了量变到质变的过程，体会到数学中的辩证法思想。

3 科学精神与科学方法

3.1 深度思考

第一堂课讲到数学分析的学习方法，引用我国数学家华罗庚先生的名言，要打好数学基础有二个必经过程：先学习、接受“由薄到厚”；再消化、提炼“由厚到薄”。鼓励学生不仅要多思考，更要深度思考。在后续讲课中，常常用问题导入法引起学生思考，然后逐步地解决问题，在讲课过程中或最后总结时，又提出新问题作为思考题留给学生深度思考。如，在学习可积函数类时，闭区间上有界函数，间断点个数多少就不影响一元函数的可积性？平面上有界闭集上的有界函数，间断点个数又是多少就不影响二元函数的可积性？空间中有界闭集上的有界函数，间断点的个数又是多少不影响三元函数的可积性？通过学习研究得出结论：一元函数间断点集合的长度等于零，二元函数间断点集合的面积为零，三元函数间断点的体积为零，而且这些间断点也不影响定积分值、二重积分值、三重积分值。留下思考题“这些问题有相似之处，从高度抽象角度能否变成一个问题？”让学生开拓思维，也为后继课实变函数的学习留下伏笔。

3.2 克服学习困难

用“ ”数学语言叙述极限定义，初学者往往不好理解，是学习的难点，但又是学习的重点，必须熟练掌握。这种语言表达形式抽象难懂，怎么让学生不畏惧？我们先讲用几何直观描述极限，有不准确性，再讲这个问题解决的历史背景，德国数学家维尔斯特拉斯在当中学教师时，将分析做到“算术化”，他反对“变量无限趋向于”之类的说法，认为变量无非是一个字母，用来表示某区间内的数。这一想法导致了变量取值这样的表示方法。这样，在他手里，终于得到了现今广泛采用“ ”的定义，完全摆脱了几何直观描述所带来的模糊概念。让学生从思想上认识它的重要性，同时用数形结合的方法讲解，最后让学生感觉不是多么难理解。

3.3 向科学家学习

熟练掌握不定积分与定积分的计算，需要做很多题加强训练，学生有点不耐烦，这时讲讲我国著名数学家苏步青先生的故事，苏步青说他学微积分时，做了一万道题，正是有了这样的决心和毅力才成就了他后来的成功。还有现在的密码女神王小云，当年是怎样破译密码MD5 的？所有的数学模型，有一百多个方程都是她用手一个一个算出来的。这些小故事让学生认识到学数学做练习就是练基本功，这个过程很重要。

3.4 类比与推广

多元函数许多概念、性质、定理都是在一元函数的系统理论下，继承和发展的基础上提出来的，但多元函数的性质要比一元函数复杂得多。在授课过程中，充分利用类比与推广的方法，如把多元函数用点函数形式表示，这样多元函数的极限、连续的定义及平面上完备性定理的叙述形式，由一元函数类似地推广过来，同时探讨哪些方面不同，加强学习不同点。再如，数列收敛的柯西准则类比推广到函数列一致收敛的柯西准则；数项级数收敛的柯西准则类比推广到函数项级数一致收敛的柯西准则；反常积分收敛的柯西准则类比推广到含参量反常积分一致收敛的柯西准则。通过学习让学生感受到，类比与推广是研究数学分析非常重要的方法，也是推动数学发展的一种很好的手段。

3.5 数学技巧

在数学分析中很多稍微难一点的问题或综合性问题，如果仅仅知道证明方法是证不出来的，原因是里面的技巧不知道。如，应用单调有界定理证明问题，大方法一致但里面技巧不同，技巧不会就导致不会做。再如，关于二个二阶混合偏导数相等定理的证明，这个定理证明过程中辅助函数做得比较巧妙。所以在讲课时提醒学生要重视这些数学技巧，有些技巧不是一时就能想出来的，但可以慢慢学习掌握，遇到类似的问题会用，再慢慢积累达到能灵活应用，将来争取会创造数学技巧解决难题。

3.6 有大局观

系统的学习需要有大局观，不能整天沉浸在局部问题中。如，讲函数极限时，提醒学生从大的方面看，研究问题的思路与数列极限类似，都是研究极限的概念，极限的性质，极限存在的条件。在讲导数的定义、积分的定义、级数的定义时，提醒学生，数学分析中重要概念都是以极限形式给出来，所以极限理论是数学分析的理论基础。再如，含参变量积分是数学分析中比较难懂的一章，学生往往因为某些细节难懂而望而却步，上课时可以经常提醒学生从细节中跳出来，从大的方面看这一章主要在讲用含参变量积分表示的这种新函数的分析性质（连续性、可微性、可积性），以及极限运算、求导运算、积分运算任意二种运算在满足一定条件下可以交换顺序。并指出最难部分含参量反常积分研究的问题与论证方法上与函数项级数极为相似，这样大的方面明确清楚了再研究细节，学生学习起来就不会感觉那么难。又如，数学分析两本书，学习三学期，共22 章，内容多且琐碎，为此我把数学分析分成五大块，极限与连续理论、一元函数微分学理论、一元函数积分学理论、级数理论、多元函数微积分学理论。上课经常说一说，学生感觉数学分析的内容轮廓清晰，所以在学习过程中，有时需要跳出来，从大的方面看问题，思路更清晰，因此学习要有大局观。

4 提高学习兴趣，热爱数学专业

课堂上提高学生学习兴趣的方法多种多样，不同的内容用不同的方法。有时通过讲数学概念的背景，很容易吸引学生，如三重积分背景，讲一个最贴近生活的实例切土豆丁，把土豆先切成土豆片，再切成土豆条，最后切成土豆丁，想想还原镜头，把所有土豆丁加在一起，就是整个土豆。把每块土豆的质量求出来相加就得到整个土豆的质量。把土豆抽象成空间的一个立体，如何求这个立体的质量呢？从而引出三重积分的积分和、三重积分的定义。通过这个贴近生活的实例激发学生的学习兴趣，同时更热爱生活，更热爱所学专业。再如，现代科技发展离不开数学，如华为与数学，航天与数学等等，这方面文章很多，一般是把资料传到“数学分析学习交流QQ 群”，让学生自己看，在课前说两句，起到抛砖引玉的作用，因为课时有限不能占用太多上课时间。

5 结语

课程承载思政，思政寓于课程。高校教师的主要责任和担当就是为党育人、为国家育才。不仅要全身心投入到教学工作中，同时也要润物无声地把积极向上的精神、思想传递给学生。帮助学生树立正确的世界观、人生观、价值观。给学生打开更多的门、更多的窗，让他们有机会去看看更大的世界。希望我们的课不仅能让学生收获专业知识，同时还能实现精神上的进步。