以数形结合思想激发初中生数学学习兴趣的策略

田莉莉

代数问题相对比较烦琐,在表达与计算方面不够直观,如能将图形有效引入到代数学习中,一方面有利于学生思维的启迪,另一方面能够提高解题效率。而图形部分的学习,由于其性质难以凭借图形本身完整表达,因此有必要将代数与图形有机结合,从而达到图形和抽象概念彼此转化的效果,提高数学学习的灵活性。进入初中数学学习阶段,学生可以接触到很多的数学思想,数形结合思想就是其中比较有代表性的数学思想之一。通过培养学生数形结合思想,不但能强化学生数学能力,也可以培养学生数学学科素养。

一、数形结合思想的内涵分析

作为基础学科之一,数学是对现实世界之中所有空间形式、数量关系进行研究的一种应用型学科。[1]其中,形属于数学抽象的结果,其不但包含现实空间,也包含几何图形以及图像等抽象空间。而数则属于广义的形式化对象,其既包含数、式,同时也包含各种方程、导数、积分以及矩阵等。对于数形结合思想的内涵进行分析发现,数形结合思想是一种特殊的思维模式,其可以在数学学习和应用过程中对抽象思维、形象思维进行相互的转化和作用,让人们可以对比较复杂的数学关系进行确认,同时也可以完成数量与图形之间的联系和变化。总结而言,数形结合思想的核心就在于将数和形进行统一并完成相互之间的转化,充分发挥二者的优势,以此来对学生的抽象思维以及形象思维进行有效激发。

二、数形结合思想对初中学生数学学习兴趣的影响

(一) 有助于提升知识理解能力

和小学阶段的数学教材相比,初中教材涉及更多要求学生能够理解并掌握的数学概念,学生直接理解数学概念往往存在一定困难。利用数形结合思想,能凭借图形将概念直观呈现,使原本抽象的概念变得形象具体,这样不仅能帮助学生学习和掌握数学概念,还会降低数学概念学习的难度。

(二) 有助于培养数学思维能力

数量关系如果能变换为清晰直观的图形,辅助学生进行观察、理解和分析,再将图形与数量关系相互结合、转化及补充,会使数学关系更加清晰。[2]“数” 与“形” 的结合,一方面能打开解题思路,另一方面会拓展思维视野,使数学思维更加敏捷。

三、数形结合思想在初中数学教学中的应用策略

(一) 以情境激发学生对数学对象的图形表征意识

想要充分发挥数形结合思想在初中学生数学核心素养培养中的价值和作用,教师就要充分激发学生的形象思维,强化学生对数形的概念理解能力、问题解决能力。图形表征作为一种重要表征形式,其与数表征存在的抽象性相比,更加容易被学生接受。[3]为此,教师首先要对数形结合思想的本质进行深入分析,对数形结合思想的表象表形特征进行充分挖掘。在此过程中教师可以通过设置有效的教学情景,通过直观的图形表征来完成学习或者解决问题,促进学生图形表征能力的提升。在应用数形结合思想的教学过程中,教师要积极鼓励学生将直观图形表征作为逻辑的气垫,对比较抽象的“数”进行分析和计算。学生在学习初中数学知识的过程中,对图形表征的接触不断增加,对图形表征的了解不断加深,但是却很少在解决代数问题的过程中主动运用图形表征。为此,教师要对学生进行有意识的引导,让其可以通过图形来理解数学概念和知识,解决数学问题。例如,教学数轴问题时,教师可通过设置问题情境的方式,引导学生利用电脑通过直观图构造来完成相关知识的认识和条件的分析。教师可以将数轴教学过程中的书目、电线杆等生活中比较常见的事物作为对象,激发学生的学习兴趣,引导学生逐步将数轴与直观图形进行联系,让学生可以对数学对象进行图形表征,并在此基础上理解数学概念,掌握数学问题的解决方法。

(二) 引导学生观察分析图形表征中的代数意义

在初中数学教学过程中,培养学生的数学观察能力不但能提升教学质量,也可以为学生未来的学习和发展打下良好基础。数学观察能力是学生对于数学知识中蕴含的空间结构、逻辑模式进行识别的能力,可以帮助学生更深入地理解数学学习的乐趣,强化学生数学学习的兴趣。

教师在教学过程中要引导学生对事物进行直观化的感知,在获取有效的数学信息的同时,对数学对象的形式特征以及性质、变化、关系进行全面了解。通过引导学生有目的、有组织地对数学对象进行认知,可以有效地提升学生数学学习的质量。目前学生对于图形的观察能力还有待提升,很多学生缺乏对数形结合思想的深入了解。教师要有意识地提升学生的观察能力和分析能力,不断提升对数形结合思想的应用程度。

例如,x轴与函数y=x2+(2k -1)x +1-k图像存在两个交点,这两个交点为点O、点A。首先,写出函数表达式；其次,该抛物线如果在右侧存在点B,并且和点O、点A构成的ΔAOB的面积是6,试求点B坐标；最后,针对B点,是否也能存在点P在这条抛物线上? 如果存在,求出点P坐标和ΔPOB的面积,若是不存在,说明理由。面对这个问题,需要依据问题要求作图,旨在让数学问题更加直观,通过作图,获得ΔAOB的面积范围,从而为B 点的坐标以及ΔPOB的面积求解奠定基础。具体解题思路如下: 首先,函数与x轴相交于点O,可知O=k+1,k=-1,所以函数表达式是y=x2-3x。其次,B点若是存在,那么过B点作BD⊥x轴交于点D,ΔAOB的面积是6,那么AO·BD=6,如果0=x2-3,x=0 或x=3,由此可得AO=3,BD=4,4=x2-3x,所以x=4 或x=-1,又因为其中x=-1 和题意不符舍去,以此求得顶点坐标为(1.5,-2.25),结合上述条件可得x轴下不存在点B,所以坐标为 (4,4)。最后,因为点B坐标是 (4,4),所以∠AOB=45°、BO=,当∠POB=90°时,∠POD=45°,然后可以将P 点的横坐标假设为-x,可得其纵坐标为x2-3x,-x=x2-3x得出x=2 或x=0,那么抛物线上存在并且仅存在P点(2,-2) 使∠POB=90°,OP=,因此SΔPOB=

(三) 引导学生对不同的数学表征进行相互转换

数学学习对象的表征形式是多元化存在的,针对不同的数学表征要运用不同方法。符号的表征形式有利于学习者对数学对象或者数学问题进行分析操作,图像的表征形式能够发挥其直观形象的特点。通过对各种数学信息进行直观表述,可以为学生的观察提供更加便利的条件。在初中数学学习过程中,对代数抽象符号的表征功能进行强调,虽然可以发挥符号表征的严密性、逻辑性等特征,但是会导致学生对于数学问题的理解出现困难,无法对数学知识的意义以及问题的本质进行充分挖掘。数形结合思想可以通过对图像表征进行有效运用的方式,让学生在学习过程中熟练地对各种不同表征进行转化,提升学生的数学学习能力。几何图形变化部分是初中数学一大学习重点,并且图形变化也是平面几何学习的基础所在。可实际上,很多学生缺乏必要的想象力和绘画能力,在课堂教学中,教师要通过动态化视角帮助学生掌握图形的变化。例如,在平方差及完全平方公式的教学中,教师可以将公式与图像结合,利用矩形面积割补方法理解平方差公式。四边形ABCD对角线AC和BD相交于点O,如果SΔABD=5,SΔABC=6,SBCD=5,求解SΔAOB的面积。为此,教师可以引导学生这样展开分析: 首先假设ΔAOB的面积为S1=x,再利用代数式将三角形面积表示出来,通过获得方程并求解。由于ΔAOB的面积为S1=x,那么ΔADO面积是S2=5-x,ΔBOC=S3=6-x,ΔDOC=S4=10-(6-X)=4+X,又因为ΔABO,ΔBOC存在相等的高,可得,SΔAOB=4。

(四) 挖掘并利用教材中数形结合思想的相关素材

数学教材一直是学生学习的重要资源,也是教师开展教学的基础依据。在初中数学教材中,教师可以将教学的线索分为明线(即教材中的各种数学知识) 和暗线(需要进行挖掘、理解和发现的指导思想)。在运用数形结合思想的过程中,教师要重视教材之中蕴含的数学思想,对数学规律进行理性认识和挖掘,[4]引导学生将数学知识、数学认识逐渐形成自身的数学观点。通过这样的方式潜移默化地培养学生的数学思想。由于初中数学教材中并没有对数学思想进行直接、明确的表达,因此教师在教学过程中,要充分发挥数形结合思想的重要作用和价值。例如,教师在备课时,要在深入分析教材的基础上,结合数形结合思想来进行课堂教学设计,并在教学过程中不断加以加强。通过这样的方式不断深化学生对于数形结合思想的认识和理解,培养学生的数学意识,最终实现教学效率和质量的提升。例如,有理数的学习。有理数不只是基础知识,还是初中阶段的关键授课内容,将数形结合思想有效运用于教学中,可以形象化体现有理数概念。比如,“数轴” 是对有理数进行形象分析的工具,学生借此学习有理数会更为清晰,而且数轴能为解决有理数四则运算问题提供便利。基于此,教师可以让学生画出数轴,在数轴上找出比较对象并进行标识处理。

(五) 合理运用信息技术手段

在科学技术不断更新发展的过程中,信息技术在教育教学领域得到越来越广泛的应用,传统的数学课堂也发生了较为明显的变化。例如,超级画板、几何画板等工具的应用,极大地丰富了数学课堂教学形式。因此,无论是学生还是教师,对于多媒体教辅工具的应用都给予了高度的认可和关注。为了有效地将数形结合思想与初中数学教学相结合,教师要在教学过程中将信息技术与数学教学进一步整合,从多个角度和方向向学生传达以视觉形式为主的知识内容,将抽象的数学概念进行可视化呈现,对数学知识的本质进行充分揭示。信息技术的运用能够让学生在学习过程中对直观的“形” 和抽象的“数” 进行充分结合,让学生可以通过直观的视觉刺激来完成对各种抽象的数学知识的学习和理解,这对于展现数学思维过程也有重要作用,同时可以帮助教师对初中数学课堂教学的结构进行不断优化。在传播数形结合思想的过程中,虽然信息技术、多媒体教辅工具为课堂教学提供了巨大的便利,能够有效吸引学生的注意力,但是传统的板书依然是不可取代的课堂组成部分,通过良好的板书设计,可以让学生跟随教师的节奏进行思考,学生在接受数形结合思想的同时,逐渐形成自身的数学思维和数学逻辑,为学生后续知识的学习打下良好的基础。教学“一次函数” 时,很多习题会涉及一次函数和正比例函数图像之间的关系。教师可以通过几何画板为学生录制详细的解题微课,让学生能清楚地看到一次函数与正比例函数在k 相同的情况,b 发生改变呈现出的不同图像,由此让抽象的问题变得具体,轻松攻克知识难点。教学“二次函数” 时,教师可以通过信息技术进行作图展示、分析。例如,一条公路隧道的进口形状与抛物线相似,隧道底部的宽AB 为4m,隧道顶点c 距AB 之间的高度为4.4m,现有一辆满载集装箱的运输车辆想要穿过隧道,已知集装箱的整体宽度是2.4m,且地面和车辆底部之间的距离为2.7m,试问这辆运输车能否穿过隧道。为了帮助学生更好地分析,清楚呈现问题的解题思路,教师可以通过信息技术绘制二次函数图像,建立直角坐标系,引导学生分析解答。由此可见,将数形结合思想和信息技术组合应用,一方面有利于直观分析问题,另一方面可以帮助学生透彻理解数形结合思想,调动学生学习兴趣。

结语

运用数形结合思想的关键是找出数与形之间的结合点,并对其进行有效转化,以此强化知识之间的转化及联系,建立完善的知识网络。随着课程改革的不断深入,为了强化学生的数学核心素养,数形结合思想越来越受到重视。为了充分发挥数形结合思想的作用,教师要依循课堂教学目标,针对学生的实际情况及教学中的常见问题,进行深入了解和分析,在开展教学的同时逐步引导学生认识并掌握数形结合思想,帮助学生对其进行充分理解和有效运用。