以问题驱动数学思考

【摘 要】在数学课堂上如何以问题驱动学生进行数学思考，以“网格中的特殊三角形”为例，需要教师设定教学的主题，根据主题设计问题串，引导学生进行学习研究，培养学生合理猜想及计算验证的能力，让学生沉浸、深入、彻底地思考，促进学习的真实发生。

【关键词】问题驱动;数学思考;网格

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2022）03-0040-04

【作者简介】张锋，江苏省无锡市雪浪中学（江苏无锡，214125）党支部书记、校长，高级教师，江苏省特级教师。

问题是数学的“心脏”，有价值的问题促使学生积极思考。数学教学要以问题驱动数学思考，让学生学会“想”，学会“问”，在知识探究中产生自己的体验、理解和思考，从而促进有效建构知识、发展能力、积淀经验、感悟思想，提升学生的数学核心素养。数学课上教师如何引导学生“既见树木，又见森林”？本文以笔者在2020年11月江苏省中小学教学研究网络教研平台“教学新时空·名师课堂”（初中数学）活动中执教“网格中的特殊三角形”一课的教学设计为例，谈谈如何在数学课堂上以问题驱动数学思考。

一、课前思考

网格类试题是近几年比较热门的一类新题型，其立意新颖、综合性强，又有较强的可操作性，考查学生几何直观、识图、猜想、计算、推理等能力，是“数”与“形”结合的最好载体，充分体现了对数形結合思想、几何直观、转化与分类思想的运用。

本节课的授课时间是在11月下旬，期中考试刚结束，授课对象是九年级学生。学生刚学过相似三角形，已经掌握了相似三角形的知识体系。因此，笔者进行教学设计时想借助网格，让学生通过实践操作感悟几何直观、计算和逻辑推理等数学素养。本节课的备课素材主要是教材和试卷中的题目，在备课过程中，笔者主要思考以下几个问题。

思考1：网格中构图如何体现图形性质？

利用作图问题考查图形的性质是一种常见的命题方式，尤其是在网格中，利用无刻度直尺作图是比较典型的问题。网格中单位长度固定、图形位置关系相对的性质，使得网格问题具有确定性，我们可以借助网格并结合题目所给条件，运用几何性质对题目进行分析解答。

网格类问题几乎都可通过几何直观解决，当然这样的前提是作答者对已有图形的性质非常清楚。无论是思路的分析、还是问题的解决，一般都会用到基本图形，如全等或相似三角形、勾股定理、等腰三角形、特殊平行四边形、圆等图形基本的性质。

思考2：网格中构图的特点和关键是什么？

网格构图的基本特点是等距平行线、特殊作用的格点较多（等分点），较易构造平行线（垂线），易求线段的长度（利用勾股定理或三角形相似），可构造一些特殊的图形（直角三角形、相似三角形、平行四边形等）。当然，在网格中构图时，还应关注所构图形本身的特点：是否容易找出线段的特殊分割点（按比例分割线段）;是否较方便用勾股定理计算;是否易计算图形的面积（割补、等积变形等）;是否易于画或求某些特定条件下的角度（如45°等）;是否方便实施图形的平移、轴对称、旋转、位似等变换;是否易于构造某些几何模型。

网格中作图的关键是确定“点”。在网格中要确定一个点，必须知道两条直线的位置关系，借助全等、相似、两线相对位置和图形基本性质，利用网格画平行线、垂线，构造相似或全等图形，得到相应的“交点”。

思考3：本节课的学习目标是什么？

通过在网格中作平行线、垂线等基本图形，感悟图形变换，掌握基本图形的构图能力;会用勾股定理计算格点线段长、图形面积，生成自觉观察网格本身“数”与“形”的特征的意识;经历实验、探究的过程，学会构造基本几何模型，积累数学活动经验，进一步发展直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学计算等能力，渗透数形结合、分类等数学思想方法。

二、教学过程

1.回忆。

如图1，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的两个端点都在格点上（每个小正方形边长为1）。根据你所学的知识，尝试编一道题并请同桌解答。

注：本节所用画图工具，仅限无刻度直尺。

通过讨论，学生给出以下题目：

（1）画出线段AB的中点C;

（2）在线段AB上画出点C，使得AC︰BC=3︰2;

（3）找一格点P，使得△ABP是等腰三角;

（4）若用一个最小的圆去覆盖△ABP，请画出该圆的圆心;

（5）找一格点Q，使得△ABQ的面积为3;

…………

学生对于给出6×6的网格中长为[10]的线段AB比较熟悉，编题的方式多样，可以从“数”或“形”的角度思考，如找某些满足特殊条件的点，也可画特殊的三角形、四边形、圆等;所设问题的答案可以直接看图得到，也可以通过计算得到;可以从静态或动态的角度去设置不同的问题;等等。

让学生自己编题并设问，设计以作图为目标的探究活动和学习任务，开展以问题解决为主题的单元学习，除了能够提高学生的作图技能之外，更能发展学生的几何直观和推理能力，达到深度学习的目的。

2.画图。

如图2，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上（每个小正方形边长为1）。画一个与△ABC相似，顶点在格点，且面积最大的三角形。

本题是对上一练习的延伸，本题解答的关键是对所给网格特征进行分析，明确最长边为网格正方形的对角线，由此便可成倍放大，轻松画出题目要求的三角形。教师在本环节中应引导学生明确本题的答案不止一个，从分类的思想和对称的角度审题，通过“直观判断—推理演算—实践操作”的过程，引发学生的深入思考，全班一起努力找出所有符合条件的三角形。这无疑对培养学生的逻辑推理、数学运算、分类思想等能力是极好的机会，对发展学生学科核心素养具有很强的现实意义。

3.识图。

如图3，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上（每个小正方形边长为1）。试在AC上找一点D，使得点D、A、B组成的三角形与△ABC相似。

本环节教师可以安排学生自主思考，进行小组合作研究。由结论“△DAB与△ABC相似”出发， 逆向推理点D应满足的条件，明确求出AD或CD的长度即可，最终发现点D是特殊的格点，△ADB和△BCD都是特殊的三角形（三边之比为1∶[2]∶[5]）。

本例中的△ABC就是上例中面积最大的三角形，只是把它放置在6×6的网格背景中。借助相似三角形的基本性质推得点D，这种通过计算来推理的方法在网格类试题中比较常见。

教师追问：解决了上述问题后，同学们可以得到∠A+∠C的度数吗？请同学思考这一问题，并证明你的猜想。

在解决上述问题后，本题的答案显而易见，但若一开始就让学生求∠A+∠C的度数，则难度较大，且学生通常会进行猜测，无法给出证明思路。此环节的问题以“格点”引发学生思考，将学习内容逐渐深化，用到勾股定理、相似三角形等常规知识，借助格点图形寻找不同的解题方法，让学生从“数”和“形”的不同角度认识图形。

4.操作。

如图4，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上（每个小正方形边长为1）。请只用无刻度直尺，画出∠A的平分线AD。

生1：我猜连接点A与右上方2×1矩形的对角格点D（如图5）就是∠A的平分线，但我不清楚如何说明这条线就是∠A的平分线。

生2：我想利用角平分线的判定定理，将题目转化为求点D到∠A两边AB、AC的距离（如下页图6），点D到AB的距离DG易求，但在求格点D到AC的距离DH时，我又陷入了困境！

师：同学们的思路非常好！但因为大家仅停留在网格的几何特征上，没有意识到网格还具有“数”的功能。在生2的基础上，是否可以转化为求△ACD的面积，再求底边AC边上的高？即可得到点D到AC的距离。除了上述方法，同学们能不能通过数形结合的思想，给出不同的解题思路？

学生展开讨论。

师：事实上，△ABC的三边易求，联想前面的特殊三角形（三边之比为1∶[2]∶[5]），结合网格中“数”的特征，自然想到将其放入△ABE、△ACE中（如图7，只需找到格点E），进而证明它们相似，再利用相似三角形的性质得出两个角∠BAE、∠EAC对应相等，得出AE平分∠BAC的结论。其实本题中的BC是一条干扰线段。

本环节依托格点图形的特点，探寻不同的解题方法，让学生全面了解网格题目中可能遇到的问题，归纳解决格点问题的解题思路与方法，明白解题前应先制定解题策略，可以采取“先猜后证”的解题策略，体会网格中“特殊三角形”的特征及作用，也让学生认识到一些基本图形重新“组合”后又会产生新的结论。

6.小结。

帮助学生一起梳理本节课的主题，并形成思维导图（限于版面，图略）。

三、教学反思

1.基于核心素养设计教学问题。

本节课以网格为载体，重点研究格点与三角形的相关内容，涉及勾股定理、全等、相似、三角函数、平行四边形、圆等知识。基于解决问题的目标，培养学生的几何直观能力，发展学生的运算推理能力;让学生在解题过程中感悟数形结合的思想，培养学生用数学眼光观察图形、用数学语言准确表达、用数学思维解决问题的学科素养。在整个学习过程中，教师不仅关注学生对知识技能的掌握程度，而且关注学生的能力、素养、情感等，避免了知识的碎片化，把引领学生成长的各方面因素联系起来。

2.以问题驱动发展学生的深度思维。

在以往的学习中，学生对于在网格中用“无刻度直尺”画图的问题，常觉得无计可施。本课结合试题素材，通过让学生自己编题引入，将常见格点问题进行题组变式，让学生带着问题主动地思考、探究、合作、交流，为后面的解题及操作做准备，激发学生探究的兴趣。设计追问意在巩固探究作图方法、依据，體现数学方法的灵活性和多样性。

3.注重知识的“生长点”与“结合点”。

本节课的设计基于培养学生的几何直观和运算推理两大核心素养，以网格中的特殊三角形作为知识的“生长点”，融合初中阶段所学图形的基本内容，串联起多个知识的“结合点”，注重知识的结构和体系。为此，在平时教学中，教师应关注不同学段数学课程对几何直观和运算推理能力的要求，要根据学生学情设计活动，确保在原有知识基础上生成新的知识。

【参考文献】

[1]刘晓玫.深度学习：走向核心素养（学科教学指南·初中数学）[M]. 北京：教育科学出版社，2019.

[2]朱德江.重塑学习：小学数学“深度学习”课堂样态新探八讲[M].上海：华东师范大学出版社，2021.

*本文系江苏省无锡市教育科学研究“十三五”规划2020年度课题“指向数学关键能力的核心内容教学研究”（F/D/2020/11）的研究成果。

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