例谈面积法在小学数学中的应用

秦珊珊

(安徽省淮北市相山区淮纺路小学 安徽 淮北 235000)

面积法，顾名思义，就是用面积关系来解决问题的一种方法。区别与面积，它没有特定的公式，而是一种解题策略，我希望借由面积这一直观方式来作为桥梁，运用一种更易激发小学生的兴趣，更加直观的方式来解决各类小学数学问题。

无论是新知的学习，还是综合实践问题，让学生在利用画图分析问题的过程中，更加充分感受数学知识之间的逻辑性，了解新旧知识之间的联系性，体会数形结合思想的简单直观，从而培养和锻炼学生的高阶思维能力。

几何直观是指利用图形来描述和分析问题(包含数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践共四个版块)。学生可以借助画图的方式，用几何直观把问题数量关系表现得可视化，直观化。面积知识的学习和应用是小学图形与几何版块重要内容之一。它既可以在几何中通过转化等数学思想化未知为已知，也可以在数与代数版块通过图形与数量关系的结合充分运用数形结合思想来分析和解决问题。

小学阶段的几何中面积的学习非常重要，在学生透彻的掌握了面积的定义与公式后，学生可以借助面积法分析图形中各个量之间的关系，也可以用面积法分析数量关系，将一些复杂问题直观化，可视化，可分析化。我们用面积的计算和形象直观性来帮助解决小学阶段部分新知的学习和综合实践问题的分析和解决，让学生在画图分析中充分感受数学知识之间的息息相关性和数形结合思想的简单明了。

在小学，小学生了解并掌握了基本平面图形的面积计算公式，我们可以在此基础上渗透面积法的运用，让学生能够自主的将面积贯穿于其他数学知识中。小学的题无外乎运算方法主要就是加减法与乘除法，尤其是乘法问题，如行程问题的速度，时间路程。工程问题的工作效率，工作时间，工作总量。浓度问题的溶液质量，浓度，溶质质量。单价数量总价，成本，售价。分数应用题整体对应分率局部。倍数问题的标准量对应倍数，多倍的量。鸡兔同笼问题盈亏问题等都可以运用面积法。我们可以把一个乘数看为长，另外一个乘数看为宽，积当面积。面积的计算和面积法的应用充分的串联了小学阶段各个知识版块之间的联系，将图形与几何、数与代数、统计与概率之间的知识相互渗透，相互补充，充分得培养和锻炼了学生的数学思维。

小学阶段面积法常用结论：(1)如果两个图形大小形状完全相同，则面积相等；(2)—个图形的面积等它各部分面积之和；(3)等底等高的两个三角形面积相等；(4)等底等高的平行四边形面积相等；面积法在小学阶段常用的解题思路主要有：(1)分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个常规图形。(2)作平行线法：通过平行线找出同高(或等高)的三角形。(3)利用长方形面积公式，工程问题、行程问题等都可通过面积法画图分析。

下面本文就将从数与代数、图形与几何、综合实践运用这几个版块，举例来探讨面积法的具体应用。

1.多维思考，探寻内在道理

作为具有较强科学性的科目，数学具有较强的逻辑性，它的表现相对抽象，随着年级的增长，由于很多学生对于之前的数学知识的理解深度不够，知识点掌握不全面，不透彻，直接导致接下来的数学学习越来越吃力，甚至逐渐对这门学科丧失信心。

在数与代数领域，在教学过程中，教师如果能引导学生借用直观模型，比如面积图，帮助学生多维度理解数学概念和运算道理，帮助学生更加直观地描述分析问题、帮助预测结果、加深结果记忆，更有利于提升学生的学习兴趣和促进学生智力发育。同时，在利用面积法过程中，学生可以发挥自身的空间思维能力，记忆效果相对于纯粹的定义或公式描述要深刻得多。

小学数学在四年级上册将运算律(加法交换律、乘法交换律、加法结合律、乘法结合律和乘法分配律)设计为一个单独的单元，突出了数与代数领域运算律的重要性。运算律的一大特点是改变运算顺序，实现算式的等值变形。在实际运算中，我们既可以选择按照运算顺序一步步计算，也可以选择运用运算律改变运算顺序实现简便运算的目的。对于运算律的理解教学，除了教材中观察算式、仿写算式、解释规律、表述规律、应用规律此种方式的学习，实际上也可以运用面积法帮助学生直观理解运算律。

例如《乘法分配律》的教学

【分析】对于运算律的理解教学，教师除了参考教材中观察算式、仿写算式、解释规律、表述规律、应用规律此种模式外，还可以运用面积法来帮助学生加深理解运算定律的意义。对于乘法分配律，教师利用课本上的例子抽象出乘法分配律的数学模型后，教师可以利用数形结合的思想让学生多维度探寻内在道理，加深对知识的理解。

【实践】

在已经总结出乘法分配律后，教师给出以下练习。

图1-1 《乘法分配律》练习题目

出示做题要求，计算三个长方形的面积，并在计算中运用乘法分配律。

生先独自计算，然后请学生上台板演。

师请学生将算式中认为关键的一步用红线标出来。

图1-2 《乘法分配律》练习题算式

师提示学生用分一分、画一画的方法，分别在长方形中找到这几部分。

图1-3 《乘法分配律》练习题面积图

请学生观察图1-3的这三种分法，想一想怎样拆分算得又对又快？学生先独立思考，再同桌交流，最后全班交流。

【反思】通过以上的联系，让学生体会出知识点之间的关联，引导学生感悟出，在运用乘法分配律时，要根据数据的特点来合理拆分数字，只有选择出最合适的拆分方法才可以使计算过程又快又准确。在以上的多维训练中，促使学生围绕运算意义在不断关联中实现知识的再生长，从而深入理解乘法分配律的意义。

2.面积模型，简化算理算法

运算作为整个数学学习的重要基础，是小学学习的重点，运算能力也是对于学生的最基本要求。新课标指出，运算能力不仅仅只是要求会正确计算，还包括对算理的理解和灵活应用。小学数学知识，从整体上来看是较为简单和基础的入门知识，但从小学生身心发展规律及学习特点来讲，具有一定的难度，尤其是涉及计算方面的问题时，部分学生由于没能理解，从而导致计算思路混乱，计算结果错误。“授人以鱼，不如授人以渔。”对于将结果教给学生的教学模式，更应该去培养他们解决问题的思想，学着去灵活地运用知识解决问题。

例如《小数乘小数》的教学：

【分析】在进行小数乘法的教学当中，教师要启发学生思考，为什么可以把小数乘法当做整数乘法来计算，如何通过数小数部分的位数来确定小数点的位置，最终得出计算结果，这一重难点也可以结合面积模型用面积法来理解。

【实践】

借用北师大版四年级下册第三单元《小数乘法》中的《街心广场》这一情境。

图2-1 北师大版《街心广场》教材图

学生们用单位换算得出0.3×0.2的结果后，老师追问：能不能让我们一眼就看出0.3×0.2=0.06，而不是通过单位换算呢？

大屏幕出示百格图，请学生想一想，说一说为什么0.3×0.2=0.06的道理。

生1：我们把大正方形平均分成100份，每个小正方形的面积就是0.01平方米，地砖的面积占了6个小格，所以面积就是0.3×0.2=0.06平方米。

生2：我想结合结合刚刚的单位换算来说，这个大正方形的边长是1米，也就是10分米，地砖的长是0.3米，就是3分米，宽是0.2米，就是2分米，3×2=6平方分米，每个小格是0.01平方米，所以6个小格就是0.3×0.2=0.06平方米。

图2-2 借用百格图理解《小数乘法》

【反思】在小学生的意识里，直观的就是形象的，也是他们易于接受和较感兴趣的。教学中借助面积模型，引导学生发现可以根据长和宽，分别确定每条边上计数单位的个数，用长乘宽确定面积中计数单位的个数，从面积法的角度来认识小数乘法的算理算法。

3.出入相补，发展数学思维

小学阶段教学中涉及面积计算的有长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆。在探究新知时，都渗透了转化的思想，而要想实现转化思想的运用，就要通过面积法中的出入相补原理。

面积法当中的出入相补原理是把陌生图形通过分割和移补变成熟悉的己经学过的熟悉图形，实现转化思想的应用，转化思想是一种非常重要的数学思想，应用面极其广阔。在分割、移补的变化过程中，图形的形状发生了变化，但是图形的面积始终不变。所以我们可以通过面积法的出入相补原理，实现小学几何中求复杂、陌生和组合图形面积的目的。出入相补原理就是所说的“割补法”，也即“以盈补虚法”，原理有三条：第一条：一个几何图形可以分割为若干个小块，小块的面积之和等于原几何图形的面积；第二条：一个几何图形不论如何平移、对称、旋转，在此运动过程中，该几何图形的面积不变；第三条：一个几何图形，如果与自己平移后的图形或旋转、对称后的图形进行无缝(不重叠)拼接，那么组合图形的面积是该原几何图形的倍数。出入相补原理最早由三国时代魏国数学家刘徽创建。“勾股各自乘，并，而开方之，即弦。勾自乘为朱方，股自乘为青方，另出入相补，各从其类，因就其余不移动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也。”出入相补，可以通过适当添加一些辅助线后进行切割后再进行移补，把未知的图形转化成熟悉的图形，将复杂的图形幻化成基本图形的组合，将复杂问题简单化，能在学生己知的知识上适当延伸，充分发展学生自学和推理能力。在小学几何教学当中最先学习长方形的面积公式，在此基础上推导正方形的面积计算公式，接着是平行四边形，最后是三角形和梯形，最后才是组合图形的面积求解。实际上正方形是特殊的长方形，长方形是特殊的平行四边形，所以长方形、正方形和平行四边形可以统一为一个公式“平行四边形的面积=底×高”。而三角形和梯形都用到了两个完全相同的图形来组成平行四边形，所以在表示出平行四边形面积后都要除以2以求得其中一个图形的面积。

例如《平行四边形的面积》的教学：

【分析】在小学几何教学当中最先学习长方形的面积公式，在此基础上推导正方形的面积计算公式，接着是平行四边形，教学过程中应给学生充分的时间思考，充分渗透转化的数学思想，为接下来研究其它几何图形的面积打下基础。

【实践】

师：你能把平行四边形转化成长方形吗？请借助手中的学具动手操作。

生1：我把平行四边形沿着一条高分割成了一个三角形和一个梯形，然后把三角形平移补到梯形的右边，就拼成了一个长方形。

图3-1 割补法转化平行四边形的方法1

生2：因为平行四边形有无数条高，我就沿着这样一条高把它分割成了两个梯形，而且是直角梯形，然后把左边这个梯形平移到右边，就也拼成了一个长方形。

图3-2 割补法转化平行四边形的方法2

接下来师引导学生发现任意一个平行四边形都可以利用割补法转变成一个面积不变的长方形。而且转化得到的长方形的长也是原来平行四边形的底，长方形的宽就相当于平行四边形的高。因此，平行四边形的面积=底×高。

【反思】教师引导学生运用面积法把新知识转化为旧知识，这种方法也适用于多边形面积的计算，作为一个难点，多边形面积的教学不能停留在让学生“死记硬背”，而更应注重引导学生熟练利用面积法中出入相补的原理，不同角度添加辅助线将图形进行分割、平移或旋转，把陌生的图形转化为学生熟悉的图形，从而提高学生综合运用平面图形面积知识解决问题的能力，也为中小衔接打下基础。

4.以形解数，优化解题路径

随着年级的升高和所学知识的不断加深，学生遇到的应用题难度也越来越大，有时面对不断加长的文字描述，很多学生很难理清题目中的数量关系，找到隐含的已知条件。如果能换个思路，借助面积法，把综合实践运用问题转化为面积公式，把抽象的代数问题具象化成几何问题来处理，充分应用数形结合的思想，将冗长的数学语言、复杂的数量关系用几何图形的面积联系起来，以形解数，攻破知识难点，让学生进一步感受数学的魅力。

在小学阶段综合实践运用教学中，学生们学习了很多不同的公式，比如行程问题中“速度×时间=路程”，利润问题“成本X利润率(1+利润率)=利润(售价)”，工程问题“工作效率×工作时间=工作总量”，鸡兔同笼问题中“每只鸡(兔)的脚数×鸡(兔)的脚数=鸡(兔)总脚数”，浓度问题“溶液质量×浓度=溶质质量”，倍数问题“一倍的量×倍数=多倍的量”等等，几乎所有公式都可以总结为两个因数的乘积，所以综合实践运用的教学可以通过类比的方法，把像这样的综合实践运用问题转化为长方形的面积公式长×宽，实现将抽象的代数问题具象化为长方形的面积来处理，充分应用数形结合的思想，将抽象的数学语言、数量关系用几何图形的面积联系起来，以形解数，使复杂问题直观化和简单化，体现面积法的优势性。

例如《鸡兔同笼》的教学：

【分析】鸡兔同笼问题是我国古代著名趣题之一，在人教版四年级下册数学广角出现，让学生经历猜测、尝试的解题策略，学会用表格法、假设法、方程法得出结果。在课后的拓展练习中，教师可以适当普及利用面积法来作为解题策略，让学生感受很多数学问题可以有多种多样的解法，可以拓展学生的思维。

【实践】

师：我们把鸡和兔的只数作为宽，把鸡和兔各自的腿数作为长，画出两个长方形见下图8，那么两个长方形的面积表示什么？

图4-1 面积法解“鸡兔同笼”示意图1

生：上面长方形的面积就是鸡的总腿数，下面长方形的面积则是兔的总腿数。题目中说了鸡兔的总腿数是94条，说明两个长方形的面积之和为94。

师：那如果沿着两条腿画一条虚线，将图形分成左右两个部分。左边这个大长方形的长表示什么？宽又表示什么？

图4-2 面积法解“鸡兔同笼”示意图2

生：长表示每只动物都是两条腿，宽表示一共有35只动物。

师：那左边这个大长方形的面积是多少？表示什么呢？

生：面积是35×2=70，表示35只动物都是两条腿的话，一共是70条腿。

师：那右边还剩下这个小长方形呢？

生：94-70=24，也就是右边剩下的小长方形的面积等于24，那我用24÷2，就可以求出兔子的只数了，也就是12只。

生：那么鸡的只数，就是35-12=23只了。

师：怎么验算呢？

生：12×4+23×2=94，满足条件中的94条腿。

【反思】经过课堂教学中，应用面积法来解决鸡兔同笼问题的训练，学生在课后的练习中便可有更多的选择来分析此类问题。而且面积法同样适用于其它应用题，比如行程问题、工程问题、浓度问题等等，把代数问题用几何方式呈现，将这些题目中的数量与长方形的长宽面积一一对应，可以帮助我们找到隐藏的数量关系，对于学生分析数量关系的能力会有质的提升。

综上，面积法是数形结合思想中一种体现形式，作为解题策略，利用面积这个不变的量，可以让学生多一条分析问题的思路，提升学生的思维能力。借助面积这个媒介我们可以把许多问题联系到几何图形的面积上。

面积法在小学数与代数、图形与几何、统计与概率和综合实践运用中多次出现，提及的十分隐晦，直接应用得也较少。但面积模型却从一年级一直到六年级延续使用，在小数、分数、百分数的认识中多次出现，在计算中也多次以面积模型作为几何直观，帮助学生理解算理算法。面积法就是通过对已知条件进行分析，利用几何的变换原理、面积关系以及相关计算公式，将所求问题转变为面积上的运算。面积法在教材中学习多边形面积公式的推导以及求组合面积时多次应用。在统计与概率版块更是离不开面积模型，面积的比值直接决定随机事件发生的概率的大小。借助面积这个媒介，我们可以把许多问题联系到几何图形的面积上。许多数量关系以乘法的形式呈现，实际上都可以用长方形的面积作为媒介来思考。小学阶段许多的几何问题或者代数问题，当学生无从下手时，课堂教学中我们可以引导学生通过画面积图的方式，用面积作为媒介来帮助理清数量关系，删繁就简。面积法的教学充分发散了学生的思维空间，不再硬套公式，打破固有的思维方式，把新旧知识间建立起桥梁，把代数和几何间联系起来，加以综合应用，综合分析。恒等式、不等式的证明都可以用“面积法”来证明，而且比用代数方法证明更加直观、简单。小学阶段面积法的教学通过分析已知条件，将代数的量用直观可视的边和面积作为呈现方式，使问题转变为与面积相关的计算。面积法是数形结合思想的其中一种体现形式，面积作为一个不变的量，对它进行分析和使用，能让学生多一条分析问题的思路，解决问题往往事半功倍。

当然，面积法的教学与应用也具有一定的局限性。在小学阶段，要利用面积法趣解决问题，特别是代数问题，往往需要巧妙的思维，甚至有时候构造起来会费时费力。而与之相对的代数解法，则显得中规中矩，循序渐进，推理起来也是十分简单和顺畅的。面积法中的面积构造有时常常很难想到，所以在实际学习中如果能通过代数方法直接求得的问题结果，则不必为了使用面积法而用面积法。人们常说“适合的就是最好的”，由于每一个学生所处的背景和自身思维方式的不同，当一个问题出现的时候，他们往往会联系自己的学习经验，用自己惯性思维来解决问题。有的倾向用画图策略解决问题;有的学生熟悉列表策略;有的则善于在纷繁复杂的问题中寻找规律。总之，面积法在小学教学中的应用是为了解决问题而存在的，它也只是解决数学问题的万千方式中的一种，希望可以拓宽学生思考问题的方式，提升学生分析问题的能力。