高中数学解题教学中变式法训练的应用

王洪学

(江苏省邳州市炮车中学 221300)

高中数学题目虽然内容变化万千，但本质却万变不离其宗.在大多数时候，都需要学生灵活变换思维，以达到拨云见日的解题目的.数学教师在传统教学模式中常常习惯通过“题海战术”来让学生养成条件反射的学习习惯，而这种方式会逐渐消磨高中生的数学学习耐心，直至到力不从心的状态.为了解决这个教学弊端，本文将论述变式法训练的具体应用，探究高中数学解题教学的新思路，为促进高中生数学解题能力提供有力的策略.

1 高中数学解题教学关于变式法训练的应用价值

1.1 减少不必要的习题练习

高中生的课业本就繁重，又要面对高考的如山压力.高压状态下，学生很容易产生崩溃的心理.数学教师应当用精炼、用少量的题目，达到海量、繁杂的题海战术训练效果.机械、反复的做题虽然能达到熟能生巧的程度，但对于学生而言无疑会增加学习压力，训练的效率也比较低下.如果改用变式训练，可以培养学生触类旁通的思考能力，迅速从变式训练中总结解题经验，掌握各种有效的解题思路.由此，不仅能减缓高中生的数学学习压力，也能从解题的过程中感受到学习乐趣.

1.2 有效提高数学课堂的教学效率

在变式训练中，高中生常常能见到一种例题的多种问法、多种解法，学生在这种教学启示下，能强化归纳整理以及思维发散的学习效果.在同样的时间内掌握更多类型的题型，学会从整体角度思考问题.因此，数学教师有效利用变式法训练，不仅能激活高中生的数学思维.还能帮助学生积累学习自信，提高学习数学的积极性，有效提高数学课堂的教学效率.

1.3 培养学生举一反三的创新意识

变式法训练的主要目的，在于教导学生学会从多角度观察问题、思考问题、剖析问题，并能结合题目内容全面思考、大胆假设，迅速找出题目中隐含的数学规律.这样有助于高中生从固定、僵化的解题思维中脱离出来，逐渐培养出举一反三的创新解题意识.

2 高中数学解题教学关于变式法训练的应用措施

2.1 分析式训练

应用分析式训练的主要目的，是为了通过变式法训练，帮助学生掌握多种类型的数学习题，有效积累解题经验.高中数学题按照题型进行分类，可以分为基础型、综合型.基础类题目主要考察学生对数学基本概念掌握的是否扎实，这一类题目大多通过填空或选择的方式体现.

例1奇函数关于____对称.

2.2 渐进式训练

数学教师在变式训练时，可以采用循序渐进的方式逐步加深训练的难度.以同一道习题为引，一点点引入多种重要的知识点，帮助学生将不同的数学理论统筹在一起，建构成良好的知识体系.渐进式训练十分契合高中生的学习特点，能通过由浅至深的形式，一步步深化学生的思维，引导学生逐渐进入到深度学习状态.

例2已知存在点A(1,0)，点B(-7,0)，试问在直线y=3上是否存在点P，与点A、点B构成直角三角形.解答这道题，可以从向量的角度入手，将向量OA、向量OB的坐标表示出来，再根据直角三角形直角边垂直的知识角度进行列式计算.若将这道题的难度加大，改成存在一个动点P，恒定满足PA⊥PB，试求P的轨迹方程.这个问题需要学生从圆的方程角度来进行思考，解题思路比前一问要更加深入.若继续将问题延伸，继续改变问题内容，问某直线同样存在点P，试问直线和圆存在怎样什么位置关系.这个问题需要分析直线上存在几个点P，若只有一个，那么就与该圆相切，若有两个，就与圆相交.由此，随着题目的不断延伸，学生结合的知识点会越来越多，学生综合应用数学知识的能力也会越来越强.

3 高中数学解题教学关于变式法训练的应用要点

3.1 一题多问的教学应用

一种习题多种问法，是数学教师应用变式法训练的关键点.这种教学方式在应用过程中通常不会对题目进行较大的变动，只是适当改变题目的问法.这样可以帮助学生迅速总结同一种类型习题的延伸变化，充分开拓高中生的解题思路.因此，数学教师可以在授课内容的基础上，根据学生的学习特点，让题目的问法更具有针对性和引导性.

例3已知点A(-8，11)，点B(-9,12)，如果存在一个点P(x，y)保证∠APB恒定为直角，试求P的轨迹方程.这道题的也可以换几种问法，比如过点A(-8，11)的直线C1与过点B(-9,12)的直线C2相互垂直，垂足为P，试求P的轨迹方程.再比如点A(-8，11)，点B(-9,12)为直角坐标系中的定点，另有一动点P分别与点A、点B相连接，满足PA⊥PB，试求P的轨迹方程.同一题目，三种问法，但实质上应用的却是同一种解题思路.只是从论述的角度进行些微的调整，成为高中生解题时的主要干扰.学生在面对这一类习题时，应当学会透过问题看本质，看到动点、直角，就要联想到“圆上任意一点与直径两端(不包括直径两段的点)能组成直角三角形”这个重要的结论.

3.2 一题多解的教学应用

许多数学习题的解题思路属于开放形式，并非一成不变.学习数学最忌讳墨守成规，高中生想要提高解题能力，需要做到多管齐下，而不是“一招鲜，吃遍天”.因此，数学教师应当引入一题多解类型的变式习题，鼓励学生从多个角度思考解题的策略，逐渐加强高中生的自主探究能力与多元思维能力.

例4不等式4<|3x-1|<9，针对这道例题，有两种解析思路.第一，从绝对值角度入手，按照绝对值的定义，当3x-1≥0时，满足4<3x-1<9，当3x-1<0时，满足-9<3x-1<-4，针对两种情况分类讨论，就能求出最后的答案.第二种解题思路，先将原式分离成两个不等式|3x-1|<9与|3x-1|>4，写成不等式组的形式，求解方程组，写出解集，同样也能得出最后的答案.虽然两种解题的思路不一样，但殊途同归，结果应当是唯一的.而这也可以作为高中生尝试应用不同解题思路的验证途径.让学生在掌握多种解题方法的同时，能保证结果的准确度.

3.3 一题多变的教学应用

所谓一题多变，是以某道经典例题为基础，在不改变题目本质和原理的基础上，适当改变表述的方式，以起到提高学生读题能力、帮助学生迅速熟悉解题技巧的目的.对于一题多变，教师可以从学生考试或平时作业中错误率最高的题型中进行筛选.通过不同的编题方式，让学生灵活思考，从多个角度来尝试分析问题.这不仅能拓展学生的思维深度，也能帮助学生迅速熟悉和掌握变式训练方法.

变式二：如果sinα=a(a>0)，试问tanα的值为多少？变式二与变题一相比，分类讨论上明显变的更为复杂.学生首先要根据a>0，找出题目中隐藏的条件0

变式三：如果sinα=b(|b|≤1)，试问tanα的值为多少？与变式二相比，变式三增加了绝对值的概念，分类讨论的情况会进一步增加，包括b=1，-1,0，以及α在一、四象限或二、三象限等等.通过这种变式训练，可以培养学生严谨、细致的做题习惯.

3.4 求同存异的教学应用

高中生在解答数学题时，经常会发现明明看上去题目的类型不同，但却需要应用同一种解题思路，这也是数学题常见的共通性特点.教师在解题教学中，可以基于求同存异的思想，指导学生尝试在不同的习题中，归纳数学知识，将解题方法进行串联，以起到一法多用的学习效果.

数学问题表面上看似多变，但实质上却蕴含着共通之处.如果只靠不停的做题来强行记忆所有的题干描述形式，那么高中生的学习任务不仅繁重，效率也将十分低下.通过变式法训练，可以激发学生举一反三的思考能力，对培养学生的数学逻辑思维将大有裨益.教师在开展变式法训练时，应当通过“分析式、渐进式、差异化”等应用策略，从一题多问、一题多解、一题多变、求同存异四个应用要点入手，为学生带来良好的学习启示，帮助学生掌握多元化的解题方式，强化学以致用的数学素养.