借图示新视角 促学生深思维

吴荔丹

[摘 要]小学生思维主要以具体形象思维为主，向抽象思维过渡。数学图示教学能将抽象的数学问题生动化、具体化和符号化，凸显数形互补的图示功效，帮助学生准确把握数学的本质内涵，提升思维的深度和广度。从理解概念内涵、厘清算理本质和提升解题能力这三个方面进行借图识数、据图明理和畫图促思，让数学语言与图形符号相互转译，可提升学生思维品质。

[关键词]小学数学;图示;数学思维

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2022）02-0087-03

数学是严谨、抽象的，而小学生则以直观、形象思维为主，两者之间的矛盾是影响学生学好数学的主要因素。有些数学知识难以理解且复杂抽象，要化解这些抽象难懂的内容，需借助数学图示多元表征（情境图、实物图、示意图、线段图、表格等），将抽象的数学问题生动化、具体化、符号化。那么，如何借助图示教学新视角，为提升学生思维的深度和广度助力？笔者将结合教学实践，从以下三个方面阐述思考。

一、借图识数，理解概念内涵

“数缺形时少直观”，巧用图示可化抽象为直观，再通过分析、综合等思维活动找出共同属性，可凸显概念内涵，展示学生的真问题、真思维，积累真经验、提升真能力。

例如，在教学人教版三年级上册“倍的认识”一课时，经前测分析学生在学习本课之前已具备比较两个量大小的丰富经验。而本课要学习的“倍”是两个量大小的另一种比法，是学生第一次认识倍的概念，但通过二年级的学习，学生已经掌握了乘法中“几个几”的意义。基于以上学情，明确本课的教学重点：结合具体情境让学生理解“倍”的意义，在画图、观察、比较、变式、思辨中经历四个层次的数学建构过程，培养归纳概括和有序、有理表达的能力。

1.第一层次：直观感知，唤醒经验

师（出示图1）：将这两个数量进行比较，你会怎么比？（大部分学生想到的是“差比”，即比多、比少）除了比多、比少，还可以怎么说？

生1：○的个数是△的3倍。

（这是学生的前经验，说明对“倍”有一定的认知）

师：同意这位同学观点的请举手。

（大部分学生举手）

师：你是怎么知道○的个数是△的3倍的。

生2：因为6÷2=3，所以它们之间是3倍关系。

生3：我是把2个△看作1份，○有这样的3份，所以它们之间是3倍关系。

2.第二层次：数形结合，理解概念

师：谁能想办法让我们一眼就看出它们的倍数关系？

（生4上前板演，如图2所示）

师：为什么要2个2个地圈画？

生4：因为△有2个，把2个△看作1份，○能圈画出这样的3份，所以○的个数就是△的3倍。

师：在圈画之前，你觉得确定什么很重要 ？

生（齐）：几个为1份。

（学生学会圈画图示后，能用“谁是谁的几倍”表述倍数关系）

3.第三层次：多维变式，深化理解

（1）变比较量

师：如果△个数不变，再加2个○，现在○的个数是△的几倍？

生（齐）：4倍。

师：谁来说说比较的过程。

生5：2个△为1份，○有这样的4份，所以○的个数是△的4倍。

（小结：2个△看作1 份，○有几个这样的1份，就是△的几倍）

（2）变标准量

师：回到图1，如果○的个数不变，再加1个△，它们还是3倍的关系吗？

生（齐）：不是。

师：是几倍呢？

生6：如图3所示，△变成3个为1份，○可以圈画出这样的2份，所以○的个数是△的2倍。

师：为什么要变成3个3个地圈？

生 7：之前的○都是与 2个△进行比较，现在是与3个△比较。

生8：比的标准量变了，圈画的个数也就变了。

（小结：如果标准量的份数发生了变化，比较量的份数也随之变化，那它们之间的倍数关系也就发生了变化）

（3）倍数不变

师：如果○的个数总是△的2倍， 它们的个数还可能是多少呢？

生9：我先画4个△，再画8个○，8可以分成2个4，所以○是△的2倍。

生10：我先画6个△，再画12个○，12里面有2个6，所以○是△的2倍。

生11：16÷8=2，可以画8个△和16个○。

师：为什么画的○和△的个数不相同，○的个数却都是△的2倍？

（发现：不管1份的量的个数有几个，只要有这样的几份，就是它的几倍）

4.第四层次：逐步抽象，建构模型

（1）图形抽象

师：如果我们把这样的1份△用直条表示，○可以用几个这样的直条来表示？

生12：○有这样的2份，用2个直条来表示（如图4所示）。

师：如果没有图形和数字，还能看出它们是2倍的关系吗？

生13：可以从直条的长度进行判断。

师：如果给直条“瘦身”，想象一下，会变成什么？

生（齐）：线段图。（教师出示图5）

（2）数学抽象

师：如果1段代表5朵红花，那2段表示几朵红花？

生14：1段有5朵，2段有2个5，即10朵红花。

师：有这样的8段，表示有几朵红花？

生（齐）：40朵红花。

师：若3段表示18瓶果汁，1段表示几瓶？

生（齐）：18÷3=6，表示6瓶。

上述教学中，教师基于学生已有经验和认知基础，准确把握知识本源，精心设计教学活动，引导学生展开深度对话，直指“倍”的概念本质。当学生在数学概念认识上遇到困难时，教师要善于借助图示展开教学，将抽象的“数”转化为直观的“形”，精心设计问题串，让学生依托对“形”的直观表征和可视感知，积累丰富的学习体验，实现有效的数学建构。

二、据图明理，厘清算理本质

计算在小学阶段占比很大。对于以直观认识、直观理解为主的小学生来说，厘清算理是困难的。结合图示教学，让学生借助直观图形来说算理，可使抽象的算理变得具体化。

例如，在教学人教版二年级上册两位数加两位数（进位加）的知识点时，课始出示主题图，呈现学生熟悉的“参观博物馆”情境，引导学生提出“二（1）班和二（3）班一共有多少名学生？”的数学问题，列出算式后，再聚焦35+37怎么算。解决这个问题的关键在于理解“相同数位对齐”和“满十进1”。

教学时，结合小棒（如图6所示），学生通过操作将1根与1根的小棒对齐、相加，10根小棒捆成1捆，1捆与1捆的小棒对齐再相加的活动，融合竖式对应理解“相同数位对齐”;通过操作“12根小棒相加满10根，把10根小棒换成1捆小棒”的过程，理解“个位上满十，向十位进1”。通过呈现小棒图示，架构起“个位与个位对齐，十位与十位对齐”的竖式模型，有效帮助学生厘清“满十进1”的算理。

上述教学方法把新知与已有的口算联系在一起进行沟通，学生在理解“个位和个位对齐”的同时，又清楚地掌握竖式计算要从个位加起的计算顺序，建构了“满十进1”算理的数学模型，有效地搭建起算法和算理之间的关系桥梁，实现了“图”与“式”的统一，“理”与“法”的相融。

三、画图促思，提升解题能力

在解决问题教学中，学生经常对一些错综复杂的数量关系不理解。如果在解题过程中，能借用图示这个“脚手架”来帮助学生观察、分析和推理，可便于学生从复杂的信息中抽取出隐性的数学信息，将其转化为显性的数学条件来厘清思路、分析数量关系，进而找到解决问题的策略。

例如，在教学人教版一年级上册认识左右的知识点时，课后出示一道题：一（1）班学生排队，小明的右边有5人，左边有6人，这一队一共有几人？根据低年级学生的年龄特点，通常只能看到题目中的显性条件，很难发现隐性条件。

教师先让学生直接列式，结果很多学生这样列式：5+6=11（人）。接着，教师追问：“这一队有几人呢？为什么？数学是讲道理的。请试一试用画图的方式，把算式的道理表示出来。”学生独立画图后，教师展示学生的说理作品，并引导交流。学生画完图后恍然大悟，并能结合自己画的示意图分析错误原因：原来是漏了加上小明本身。

张丹教授认为，画图是一种解决问题的策略，我们要尊重学生的个性特点，因材施教，鼓励学生画出富有个性的实物图、示意图、线段图、表格等多种多样的形式，因需所画，才能真正有效帮助学生解决问题。上述教学中，教师通过让学生画图，既突破了认识左右的教学难点，又让学生借图思辨，在说理中把易错的知识学得明白，把隐形的道理说得通透，对数学本质的理解也水到渠成，提高了数学思维的深刻性。

又如，解决问题：新区小学五（2）班的图书柜有4层，其中第3层和第4层一共有180本书，如果从第4层拿15本放在第3层，那么第4层的本数就是第3层的[12]，第3层和第4层原来分别有多少本书？学生根据情境试着自己画出线段图（如图7所示），根据线段图，有学生很快找到了解题方法：第3层和第4层一共有180本书、现在第4层的本数是第3层的[12]，可以先求第3层现在有180÷（1+[12]）=120（本），再求第3層原来有120-15=105（本），最后求第4层原来有120×[12]+15=75（本）。还有学生根据线段图列出方程：把第3层现在的本数设为x，x+[12]x=180，x=120，第3层原来有120-15=105（本），第4层原来有120 ×[12]+15=75（本）;也可以把第4层现在的本数设为x，x÷[12]+x=180，x=60，第4层原来有60+15=75（本），第3层原来有60÷[12]-15=105（本）。

由此可见，借助线段图“化数为形”，学生可把文字语言转化为图示语言，通过对比辨析，教师顺思而导，学生一题多解，积累了丰富的解题策略，培养了学生的分析能力和综合能力，实现教师的“教”与学生的“学”的相互切换。

总之，数学图示虽简单，但鲜明、清晰，实用性强。巧用、善用、妙用数学图示进行数学教学，能有效地梳理并构建知识体系，发展学生的直觉思维，发挥图示的教学潜能，促进学生的思维可视化、学习深度化，真正为学生的认知生长形成一片“开阔地”，为能力提升备一部“手扶梯”，为思维拓展构一张“联结图”，有效发展学生的数学核心素养。

【本文系2020年度福建省莆田市名师工作室专项课题“培养小学生‘借图说理’能力的策略研究”（课题编号：PTMS20011）的阶段性研究成果。】

（责编 覃小慧）