钻研数学教材的四重境界

刘耀斌

(盐城师范学院 224002)

钻研教材是教师备课的重要环节，数学教师对数学教材的理解深度，直接影响到课堂教学质量.数学教师教学水平的高低，首当其冲地体现在对教学内容的把握上.但教材往往受到各种因素的限制，编写者不可能将全部的、可能的想法和方案都呈现出来，这就需要教师钻研教材时深入思考、深刻领会渗透在教材中的思想方法、历史文化等内容.

数学教材内容呈现形式往往是分解叠加的，这种展开方式侧重于知识表述的精准性而不在于知识理解的整体性。教师钻研教材时如果只是对局部知识加以分析，尽管每一段材料也能产生一定的思想或产生一定的领悟，但相对而言所获得的信息量较小，领悟程度也较低.高水平的教师能够从数学整体高度研读教材，能透过现象看本质，不仅“懂一点”而是“懂整体”，因而，在教学活动中能通过犀利而深邃的数学眼光，看到教材中跳跃着的真实而鲜活的数学内容，做到深入浅出、行云流水，引导学生在数学的世界里自由翱翔.[1]所以，钻研数学教材必须局部与整体兼顾，努力达到以下四重境界，即要善于在高等数学的观点指导下研读教材；要善于揭示片段知识之间的内部联系；要善于在知识演化过程中理解片段内容；善于挖掘片段知识所蕴含的文化价值.

1 联系高等数学钻研教材

初等数学的有些问题需要在高等数学的理论里加以解释.数学家克莱因指出：“有许多初等数学的现象只有在非初等的理论结构内，才能深刻地理解.基础数学教师，应该站在更高的视角(高等数学)来审视、理解初等数学问题,只有观点高了事物才显得明了而简单.”[2]由此，我们得到启示，研读中小学数学教材要在高观点指导下进行，数学教材是按照逻辑演绎形式逐步展开的，但数学思想从初等数学到高等数学是整体贯通的，局部知识只有放在整体中思考，才能看得清、说得明.

例1基于平面图形对称之本质——“变中有不变”的性质，理解“轴对称和中心对称”.

在中学有关轴对称和中心对称课题的教学中，存在一种现象，只是对照客观世界中存在的现象，孤立而静止地讲解什么是“轴对称”或“中心对称”,没能把它们放在图形运动变换的观点下理解“对称”的本质.所以，教学过程显得非常机械.

客观世界中有丰富多彩的“对称”，用运动的观点看“对称”，其性质、特点就更加突出地暴露出来，便于把握，便于研究.事实上，平面图形的“对称”涉及四类运动：一是与“轴对称”相联系的反射.就是平面图形关于直线l作反射时，平面图形上的点都运动起来，如果P点变到Q点，Q点变到P点，我们就说“P，Q关于直线l轴对称”，在这一运动、变化之后，平面图形上点的集合仍然是自身的集合，我们就说“该平面图形关于直线l轴对称”.二是与平面图形的“n次中心对称”相联系的旋转.让图形所在的平面绕其上一点O旋转360/n度时，平面图形上的点都在运动、变化，该图形上的点也都在运动变化.如果该图形在运动、变化中整体不变，我们就说“该图形关于点O为n次中心对称图形”，如正六边形就是关于其中心点O的6次中心对称图形.三是与“平移对称”相联系的平移.让图形所在平面沿某一方向平移一段距离a时，图形上的点都在运动、变化，如果该图形在运动、变化过程中保持整体不变，我们就说该图形是“平移对称图形”.四是与“滑动反射对称”相联系的滑动反射.就是先平移再反射.可以证明，关于“平面图形的对称”有且仅有这四类运动及相应的四类对称.以上这些运动有一个共同特点：都保持平面上任意两点间的距离在运动前后不变.所以，我们把反射、旋转、平移、滑动反射及其它们的相继实施，统称为“保距变换”.这种图形整体上“变中有不变”的性质，正是“平面图形对称”的一个本质，也是各种事物对称的共同本质.[7]

基于平面图形对称的本质，看初中平面几何中的“轴对称”和“中心对称”就非常清晰了，不过是平面图形“保距变换”的特例，“轴对称”就是反射对称，“中心对称”就是旋转角为180度时的旋转对称.

由上可知，在高观点下研读教材，有利于教师从整体认识数学的来龙去脉；有利于教师立足教学片段而放眼课程全貌；有利于教师设计出体现数学本质的教学情境，从而使课堂教学达到深入浅出、轻松自如、引发兴趣、启迪智慧的效果.追问高观点，不仅是教学的必须，也是数学教师专业发展的需要.“许多统计数据表明，我国中小学教师中有很大百分比没有达到教育领导部门所规定的最低业务标准.”[2]“拓广教师的知识领域，提高他们的数学修养是当务之急.”[2]“一个非常重要的策略是，必须把教师从题海中解脱出来.不少教师抱怨，经常要花大量的时间和精力去收集习题，把解题方法分类，编写习题解答等等，根本顾不上进修.”[2]某种意义上说，“题海”使得教师们没有时间追问高观点或觉得没必要追问高观点.

2 站在系统角度钻研教材

数学教材无论是直线式或螺旋式编排方式，呈现出来的知识形态主要是演绎的，我们容易看到形式上的整体，不容易看到思想方法上的整体.研读教材时如果能够从系统角度思考，着眼于知识之间的联系与规律，把表面看来不相同的概念、定理、法则，通过数学本质的揭示，使之处于一个统一体中，会有意外的收获.用整体思想统一局部知识，不仅能够升华学生的观点，还能培养学生敏锐的观察、分析能力和深刻性思维品质.

例2揭示圆幂定理之四条定理蕴含的内部联系.

圆幂定理包括垂径定理、相交弦定理、割线定理和切割线定理等四条定理(如图1)，它们分别独立存在于教材各处，但它们之间存在着必然的内在联系，蕴含辩证思想，有其独特的教育价值.而在实际教学中，不少教师往往忽视这几条定理之间的所蕴含的对立统一辨证思想，把教学重点放在对定理的记忆、理解和运用定理解题上，教材的利用价值大大降低.

PA·PB=PC2(垂径定理) PA·PB=PC·PD(相交弦定理)

PA·PB=PC·PD(割线定理) PA·PB=PC2(切割线定理) 图1

如图所示，垂径定理中的直径是特殊的弦，它垂直平分另一条弦，所以垂径定理是相交弦定理的特殊情况.切割线定理中的切线看成是割线与圆的两个交点重合，所以切割线定理是割线定理的特殊情况.这样就把垂径定理统一于相交弦定理，切割线定理统一于割线定理.进一步观察，在相交弦定理和割线定理中，弦或割线的交点为P，不管P点在圆内还是圆外，PA·PB的积只与P点的位置有关，与过P点的弦和割线无关.因此，原四条定理可以统一叙述为：过圆内或圆外一点P作直线，与圆分别相交于A、B两点，那么PA·PB为一常量.

图2

当定点在圆内时，常量等于经过定点的最短弦长一半的平方；当定点在圆外时，常量等于经过定点的圆的切线长的平方(如图2).[9]

有了上述对四条定理的整体分析，把垂径定理、相交弦定理和割线定理、切割线定理中统一的“常量”背景揭示出来了，能让学生领悟到知识之间的联系是如此微妙，对圆幂定理做到真懂，同时辩证思维能力得到了有效的培养.

例3从系统角度理解角相等定义、平角定义、对顶角相等、平行线性质定理、等角定理.

北京市22中孙维刚老师把分散在平面几何课本里的“角相等定义、平角定义、对顶角相等、平行线性质定理(两直线平行则同位角相等、同旁内角互补、内错角相)”等6条定义、定理，通过“平移”变换的方法，竟全部统一到“如果一个角的两边分别平行于另一角的两边，那么这两个角相等或互补”的“等角定理”内.使学生看到这1条定理是那6条定义、定理的联合推广；那6条定义、定理则是这1条定理的特例(如图3).这种把知识置于系统之中，着眼于知识间的内部联系，使学生能透过繁杂的现象，抓住问题的本质，学生辩证思维能力得到很好的培养.[10]

等角定理⟺平行线性质定理⟺对顶角定理 图3

不仅如此，在研究等角定理何时相等、何时互补时，孙老师把几何问题代数化.如果把角的两条射线方向相同的关系规定为“+”，方向相反为“-”；把两个角相等关系规定为“+”，互补关系规定为“-”.那么，“当两组平行的射线方向完全相同或相反时两角相等；当两组平行的射线方向一同一反时两角互补”的结论可抽象成代数中有理数乘法的符号法则：“+、+得+；+、-得-；-、+得-；-、-得+”(如图3).孙老师对教材内部微妙联系的深度挖掘，使学生认识得到升华.[10]

数学中到处充满辩证思维因素，教学中教师应该善于挖掘知识之间的内部联系，通过对数学概念、公式、定理等的剖析，揭示其所蕴含辨证法因素，从方法论的哲理高度来阐明数学思想方法的实质，体会到掌握辩证的思维方法对人思维能力的提高的重要意义，并传播唯物辩证思维观.

3 注意演化过程钻研教材

众所周知，每一数学知识的形成从思想的启蒙到成熟，必定要经历漫长的演化过程，有的要经历几百年甚至上千年.在这一演化过程中留下了数学家们一个又一个思想的丰碑，留下了数学家艰辛创业的事迹；在这一演化过程中体现了数学发展不断创新的特征、不断解决矛盾的特征、不断解决实际问题的特征.数学的演化和发展就像一部宏伟的史诗，在数学的各个局部知识中都能体现这诗的意境.

例4在函数理论演化过程中理解初高中函数概念的区别与联系.

“函数”在中学是分两个阶段编排的，分别在初中和高中，教师需要深刻理解教材的编写意图，要追问：初、高中函数概念的区别与联系是什么？为什么“函数”要分两个阶段学习？这与函数概念的历史发展演变有关.

事实上，从常量数学进入变量数学时期，随之产生了函数的概念，函数概念的产生和发展经历了300多年的时间.函数是刻画事物运动与变化的数学模型,对函数模型的精准性描述(函数的定义或对函数本质的认识)数学史上经历了不断完善的演化过程，经历了函数概念的萌芽、函数概念变量说、函数概念对应说、函数概念关系说等主要阶段.函数概念变量说是用“运动与变化”的观点来理解函数，刻画了从“自变”到“因变”的过程，但有一定的局限性，如常数函数就不好解释.为了使函数在应用上有足够的广泛性，人们用变量的“对应关系”来定义函数，即函数概念的对应说.函数概念对应说突出了对应法则的地位，但对应法则是什么尚欠明确定义，因而显得含糊.比如，对于函数y=x,x∈0,1和y=x2,x∈0,1它们的定义域相同，但对应关系不同，是同一个函数还是两个不同的函数.为了回避“对应法则”，数学家们用集合论的语言，即对笛卡尔乘积加以适当限制再对函数下定义，消除了“变量”“对应”等含义模糊的用语，形成了十分形式化的定义，这样函数概念就完全明确了，它无非是“一张理想的数表，称之为函数的“关系说”.“关系说”将函数用集合论的语言加以叙述，除集合论的概念外，没有使用任何其它未经定义的日常语言，因而完全数学化了.[11]这个内容虽然不需要跟学生讲解，但教师应该心中有数.

从函数概念历史演化的角度，不难理解教材的编写意图.现行初中和高中数学教材两个函数定义反映了函数演化过程中的两个阶段.初中函数概念以“变量对应说”的观点加以定义，既突出了函数的灵魂——变化，又强调了函数的本质——对应，体现了生动直观的一种动态文化内涵.这个定义适合初中生年龄特征，有利于学生直观地认识到函数是刻画变量之间变化规律的数学模型.但其不足之处是，定义的使用范围不够广泛，有一定的局限性.现行高中函数概念以“集合对应说”的观点加以定义，建立在集合论的基础上，突出了函数的本质——对应.由于这种用静态文化观表述的定义方式使用了形式化的定义和精确化的集合语言，其普适性更强[12].

初中数学教师和高中数学教师在讲授函数时，应该把两个函数定义看成整体概念，是函数概念演化过程中的不同阶段，在确定教学任务时既要整体思考，又要各司其职.初中教师在讲授函数概念时，不能越俎代庖，高中教师在讲授函数时要突出演化过程，不能与初中函数概念割裂开来.初中函数概念教学，应侧重于用变量变化的关系，即基于一个量变，另一个量随着变构建函数模型，结合具体函数形象而直观地渗透联系与变化的辩证思想.高中函数概念教学，就必须反映出函数发展的历史演化进程，引导学生“经历”一次从传统定义到近代定义的转变过程，创设情境让学生自己去发现初中函数概念之“变量对应说”定义之局限性，促使学生自己去“完善”概念，使函数定义具有足够的广泛性，并灌输改革意识，促成学生从变量观向集合观的转变，从而更加精准的用“集合对应说”定义函数.

数学思想的产生和发展是胚芽式生长的，不是片段组合起来的.而把数学整体思想分割成分解叠加形式的教材编排方式，常常使原本不难的材料成为难点.在这样的教学中，学生的学习就好像盲人摸象一样，只能在相当长时间以后才能体会到所学对象蕴含的思想，这样的学习是被动的，难以形成学习的内在动力.因此，数学教师在讲授每个局部知识时，必须把局部知识教成是思想演化过程中的知识，这样学生才能看到知识的来龙去脉、相互联系、整体概况，才能把所学知识与数学思想的主干联系起来，更能领会知识的本质.除此之外，学生还能看到数学家们真实创造数学的过程，领悟到数学的发展是不断创新、不断突破的过程.

4 结合历史文化钻研教材

数学是人类进步的产物，是人类文化的重要组成部分，它的表现形式不仅仅是概念、定理、公式、法则等，而且还有浸润其中的数学文化，数学在它的发生发展过程中与人类社会的发展有着千丝万缕的联系，有文明必有数学，缺乏数学不可能有科学的文明.因此，数学的内容必定映衬着文化的痕迹，教师研读教材时要善于挖掘蕴含其中的数学文化因素，用以帮助学生了解数学科学与人类社会发展之间的关系，体会数学的科学价值、应用价值和人文价值，这对学生的思维方式、价值观念乃至世界观等方面都会有重要影响.

例5融《几何原本》的文化价值于中学几何教学之中.

教师研读几何教材时，不仅仅要读懂若干定义、定理、问题及其证明方法，还应该对《几何原本》及其文化价值进行深入的挖掘.古希腊亚力山大时期，几何学材料丰富、内容繁杂、编排无序，当务之急需要对现时的几何进行“科学整理”，欧几里得对此做出了伟大的贡献：筛选定义、选择公理、合理编排、逻辑演绎，从定义、公理、公设出发建立了几何学的逻辑体系，就像一位建筑师，建起了一座宏伟的数学大厦《几何原本》，其意义不完全是《几何原本》里的定义或定理，重要的在于为人类奠定了一个崭新的思维模式——数学公理化思想，成为其后所有数学的范本.不仅如此，数学公理化思想的影响大大超过了数学的范围，扩展到了自然科学和社会科学等众多领域.非欧几何学的产生，更加证明了对公理化思想本身的研究能够推动数学乃至科学的发展，也充分说明人类对理性思维和对严谨、逻辑、完美的追求，推动了科学、推动了人类社会的发展和进步.[3]

几何教学中，适当渗透《几何原本》诞生的背景以及《几何原本》对人类文化的影响，那么学生一方面学到了其中有用的、美妙的定理，学会了逻辑推理；另一方面学生也学会了以简驭繁、以少胜多的推理方法，更能使学生感受到人类理性精神的伟大.所以，用几何命题的证明训练学生逻辑思维能力是必要的，但公理化思想及其文化价值在几何教学中的渗透有其更深刻意义.

数学教学如果忽视数学文化的整体性，就会表现出只关注数学的科学性、工具性而忽视数学的人文性、价值理性；就会表现出只关注数学知识的传授，而忽视所蕴含的思想、方法、原则和精神.这种割裂了数学整体性的教学，使原本血肉丰满的数学变得枯燥无味，进而也就失去了数学教育的“灵魂”.

毋庸置疑，处于长期应试氛围教学中的教师，以“刷题”为教学的根本目的，教学中无暇顾及数学课程与客观世界、人类社会的关系，不善于在整体思想指导下进行课堂教学，这对于当前强调数学核心素养培养的教学是不相称的.所以，期待教师在教学设计时要彰显系统的思想，把教材的局部知识与整体思想结合起来，凸显数学本质，体现“以生为本”的教学理念，使数学核心素养培养真正落地生根.[13]