量子狄塞尔热泵循环性能分析

丁 佳，殷 勇*，2，陈林根，戈延林，刘 存

1.武汉工程大学光电信息与能源工程学院，湖北 武汉430205；2.武汉工程大学热科学与动力工程研究所，湖北 武汉430205；3.武汉工程大学机电工程学院，湖北 武汉430205

19世纪初，卡诺提出了著名的卡诺循环，其效率上限为ηc=1-T2T1，只取决于高温热源（T1）和低温热源（T2）的温度而与工质无关。实际上，所有热机的热效率都不大于可逆卡诺热机的热效率。随着科学技术的发展，人们的研究已经达到微观纳米级别，在这个尺度，量子效应不可忽视［1］。所以基于宏观尺寸系统的经典热力学理论不再适用于量子热力学系统，量子热力学的研究发展任重道远。

经典循环中的工质通常遵循经典的传热规律。随着量子信息处理技术和纳米技术的发展，热力学和量子物理学之间的联系吸引了大多数物理学家和工程师们的兴趣。在量子热力循环中，需考虑工质的量子特性。常见的量子工质有自旋系统［2-4］、无相互作用的谐振子［5-6］、无限深方势阱中的粒子［7-9］和无限深势阱中的极端相对论粒子［10-11］。1984年，Kosloff［12］建立了第一个量子热机模型。在相关文献中，许多学者已经对量子卡诺循环［13-15］、量子斯特林循环［16-18］、量子奥托循环［19-20］等量子热力循环模型进行了研究。Satnam等［21］建立了以囚禁于一维无限深势阱中的无相互作用费米子为工质的量子狄塞尔热机循环，从理论上计算了循环的热效率、克劳修斯不等式及无量纲功率。2000年，Bender等［22］研究了以一维无限深势阱中单粒子为工质的量子卡诺热机循环，以能量源代替经典热源，能量源的能量本征值由薛定谔方程计算给出。在此基础上，学者们发表了大量有关量子热力学循环的论文［23-24］。

基于文献［21］，本文建立1个以一维无限深方势阱中的无相互作用的费米子为工质的量子狄塞尔热泵循环。该循环由2个绝热过程、1个等压过程和1个等势阱宽度过程组成，运用量子热力学的研究方法，导出该热泵循环的性能系数、泵热率与无量纲泵热率，并对循环的性能进行分析与优化。

1 一维无限深方势阱中的热力学

假设一个质量为m的粒子，被囚禁于宽度为L的一维无限深方势阱中，粒子的势能函数为U（x）。描述粒子的波函数满足的定态薛定谔方程为：

其中ψ(x)是粒子的波函数，ℏ是约化普朗克常量，E是粒子的能量。利用边界条件ψ(0)=ψ(L)=0，可以得到粒子的一系列的本征态和对应的能量本征值

一般情况下，粒子的态函数为这些本征态波函数的线性叠加，每个能级对应的概率为pn=|ψn|2，且每个能级对应的概率之和满足归一化条件

系统的平均能量为：

式中U类似于经典热力学系统中的热力学能，对其求全微分，可得：

由热力学第一定律可有

所以

对比式（6）与式（8），可得：

其中Q为量子热，由式（9）可知，热量的变化与粒子所处能级的概率变化相关；W为量子功，由式（10）可知，功的变化与系统哈密顿期望值的变化有关。

2 量子狄塞尔热泵循环模型

量子狄塞尔热泵循环由两个量子定熵过程、量子定压放热过程和量子定容吸热过程组成。在量子定熵过程中，粒子在每个能级上的占有几率不发生改变，系统与外界没有热量交换，这与经典等熵过程类似；量子定压过程就是作用在势阱壁上的力没有发生改变的过程，这与经典等压过程中压力保持不变也是类似；而量子等容过程表示的是势阱的宽度保持不变，系统的哈密顿量的期望值未发生改变，这与经典等容过程是类似的。在此模型中，循环工质为一维无限深方势阱中的N个质量为m的费米子，整个系统与1个低温热源和1个高温热源耦联，F-L循环示意图如图1（a）所示。根据泡利不相容原理，2个费米子不能占据相同的能级。

图1 （a）量子狄塞尔热泵循环F-L图，（b）不同λ1时，性能系数与截止比的关系曲线Fig.1（a）F-L diagram of quantum Diesel heat pump cycle；（b）Curves of relationship betweenεand cut-off ratio at differentλ1

系统总的热力学能可以表示为：

基于以上公式，可以对量子狄塞尔热泵循环性能进行分析与研究。

2.1 定熵压缩过程

过程A→B为量子定熵压缩过程。在量子等熵过程中，粒子在每个能级上的占有几率不发生改变，势阱中的粒子与高低温热源没有热量交换，这与经典定熵过程类似。所以，热力学第一定律可表示为：

在此过程中，势阱壁从L1位移到L3，此过程的功为：

令L1=λ1L3，由图2可知，λ1＞1，其物理意义为该过程的压缩比。代入式（14）可得：

2.2 定压放热过程

过程B→C为量子定压放热过程。量子定压过程是作用在势阱壁上的力没有发生改变的过程，这与经典等压过程中压力保持不变也是类似。由热力学第一定律可知：

且

在此过程中，系统能量减少，粒子跃迁到较低的能级。考虑粒子的概率变化从|ψn|2到|φn|2。这时作用在势阱壁上的力为：

过程所做的功

其中λ2=L2L3，显然有λ2＜1，该过程中内能的变化量为：

由热力学第一定律可知，该过程中系统向高温热源释放的热量为：

2.3 定熵膨胀过程

过程C→D为定熵膨胀过程，同理可得，系统对外界所做的功为：

2.4 定容吸热过程

过程D→A为定容吸热过程。量子等容过程表示的是势阱的宽度保持不变，系统与外界没有功的交换，系统的哈密顿量的期望值未发生改变，这与经典等容过程中容积保持不变是类似的。由热力学第一定律可知：

所以

3 热泵循环的性能系数与无量纲泵热率

外界对系统所做的总功W=WAB+WBC+WCD+WDA，所以

性能系数

该量子系统弛豫时间的数量级为ℏE，假设势阱壁移动的平均速率为υˉ，循环周期为τ，循环中势阱壁移动路程的总和为L=2(L1-L2)，如果τ=Lυˉ＜＜ℏE，可认为系统状态变化无限缓慢，循环过程可视为准静态过程［22］。结合式（19）与式（22），循环的泵热率表示为：

4 量子狄塞尔热泵循环的性能优化

由式（27）可知，循环的性能系数并不取决于一维无限深方势阱中粒子的的数量，而是压缩比和截止比的函数。对于不同的压缩比取值，绘出性能系数与截止比的关系曲线，如图1（b）所示。由图1（b）可知：对于给定的压缩比，量子狄塞尔热泵循环的性能系数随着截止比的增加而增大；当截至比一定时，压缩比越小，性能系数越大。

由式（30）绘出无量纲泵热率关于压缩比与截止比的关系曲线如图2（a）所示。从图2（a）中可知：对于给定的压缩比，无量纲泵热率随截止比的增大而减小；当截止比一定时，压缩比越大，无量纲泵热率越小。

由式（32）可绘出在不同截止比时无量纲泵热率与性能系数的关系曲线图，如图2（b）所示。从图2（b）中可知：当截止比一定时，无量纲泵热率随着性能系数的增加而增大；当性能系数一定时，无量纲泵热率随截至比的增大而减小。

图2 （a）无量纲泵热率关于压缩比和截止比的关系曲线；（b）不同λ2时，无量纲泵热率与性能系数的关系曲线Fig.2（a）Curves of relationship between dimensionless heating load and compression ratio and cut-off ratio；（b）Curves of relationship between dimensionless heating load and cut-off ratio at differentλ2

5 结 论

以上建立的以一维无限深方势阱中由N个无相互作用的费米子作为循环工质的量子狄塞尔热泵循环模型，应用有限时间热力学的研究方法，通过量子力学求解了体系的薛定谔方程，导出了循环的性能系数、无量纲泵热率等性能参数，分析与优化了该量子狄塞尔热泵循环的性能，得出如下结论：（1）性能系数和无量纲泵热率都是截止比的单调函数，性能系数随截止比的增加而增大，无量纲泵热率随截止比的增加而减小。（2）无量纲泵热率与性能系数的关系曲线为单调递增函数，当性能系数一定时，无量纲泵热率随截止比的增大而减小。（3）当截止比一定时，无量纲泵热率随性能系数的增加而增大。研究结果有助于加深对以一维无限深势阱中由N个无相互作用的费米子为循环工质的量子狄塞尔热泵循环性能的理解，也能对其他量子热力循环的性能研究提供一些理论参考。