立足提升核心素养 开展整体性教学——以“圆的方程”复习课为例

四川省成都市第七中学万达学校 刘 春 （邮编：610036）

1 整体性教学的必要性分析

圆作为解析几何的基本研究对象之一，一直是高中数学学习的重点内容，也是高考考查的热点.圆的方程的建立使用了坐标法，利用平面直角坐标系将曲线与方程统一起来，让学生初步意识到解析几何兼顾数与形，而直线与圆的联动出现则更是将“数形结合”的思想，代数法与几何法的辩证统一体现得淋漓尽致，因此本部分的学习可以重点培养学生直观想象能力、数学运算、逻辑推理、数学抽象等核心素养.但在实际教学中，圆的方程知识点覆盖满面广，学习重难点多，课时容量大，一节课对应多个知识点，因此教材有意采用了点状的编排方式以突出重难点，从而降低学生学习的难度，但这又不利于学生知识网络体系的构建.因此，在复习的教学过程中要求老师能够跳出“某一个知识点”“某一道题”“某一节课”，转而去进行整体性教学的设计，即要将“知识的整体讲授，思想方法的整体体会，核心素养的整体提升”结合在一起，才能够让学生“会当凌绝顶，一览众山小”.

2 整体性教学的概念

整体性原则，就是把研究对象看作由各个构成要素形成的有机整体，从整体与部分相互依赖、相互制约的关系中揭示对象的特征和运动规律，研究对象整体性质.而整体性原则在数学教学上的体现，即以“教学整体”为工具，利用“教学整体”的知识性与功能性相统一的特征，对学生的认知基础，对结构相关的一系列知识进行加工和重组，先解决结构良好领域的问题，后解决结构不良领域的问题，使知识永远在结构中存在，使得学生学习活动形式与学习方式相一致，并通过整体性评价促进学生全身心投入到数学学习中.不难发现，当下单元复习，专题复习的研究方向都指向了基于“整体”视角进行教学设计.

3 传统教学到整体性教学的三大转变

3.1 单一知识点复习到“基础知识，思想方法，核心素养”统领下复习的转变

复习不是把新课重复一遍，而是将知识的发生、发展、运用三者串联起来，即找到“学习主线”，学习主线将围绕“基础知识、思想方法、核心素养”展开传统教学的主线大致为“知识呈现—例题讲解—课堂小结”，这种组织复习重视了知识梳理但忽视了网络建构，重视解题技巧但忽略了思想方法，重视了题型教学但忽略了素养提升，即只重视了基础知识这一条主线.整体性教学常以知识主线即“背景—本质—性质—应用”为明线，以思想方法如“背景—方法—方法论—学科观”为暗线，共同作用于数学六大核心素养.

3.2 “唯分数论”评价方式到形成性评价方式的转变

教育部考试院发布的中国课程评价体系由“一核四层四翼”三部分组成，是“一体两面”的综合体系，以“四层”为考查内容评价学生素质达成度，以“四翼”为考查要求评价学生素质达成度，为了最大可能的实现“立德树人、服务选材、引导教学”在教学中首先要弱化具有威胁性的，引起学生高度焦虑，导致学生对考试采取敌对心理甚至采用作弊等手段的评价方式，其次要采取形成性评价方式，仅仅用唯分数论评价学习结果是不够科学的，还要评价学习方式与学习动机，了解学生的学习状况和个人需求，可以采用观察记录，学生自评互评等方式，增大学生学习的内驱力，让学生本身形成对学习的兴趣，好奇心，探索欲等，最终提升学生逻辑推理，数学运算等核心素养.

3.3 单一视角看问题到多视角看问题的转变

圆的方程这一部分的内容兼具形与数的特点，因此问题的设计与解答不能光从几何角度或代数角度出发，应该兼而有之，比如在下例中：

例1（几何视角）已知圆C：x2+y2-6x-8y＝0，P为圆C上一动点，则P到原点距离的最大值与最小值的和为___________.

这是一个典型的从几何视角出发设计的问题，学生很容易看清几何背景为“圆上动点到圆外定点距离的最值问题”，学生能够自然地对几何图形进行分析进而解决问题，但是如果从代数的角度发问：

例1′（代数视角）已知x2+y2-6x-8y＝0，则x2+y2的最大值与最小值的和为__________.

隐藏其明显的几何意义，则需要学生根据该代数背景将符号语言转化为图形语言，进而求解，极强增加了这道题数形结合和转化的思想，提升学生逻辑思维能力.

再比如下例的两种问法：

例2（几何视角）已知曲线与直线y＝x+m恰有一个交点，则m的取值范围为__________.

例2′（代数视角）方程恰有一解，则m的取值范围为__________.

从不同的视角看问题其实就是让学生将知识的发生、发展、运用三者再一次串联起来，在不断观察、思考、实践、反思中发展，通过对文字语言，符号语言和图形语言三种语言之间的反复转化，发展学生数学抽象，直观想象等核心素养.

4 直线与圆复习课整体性教学设计

基于以上分析，下文将从研究路径，评价方式和具体实施方法案例给出复习思路.

4.1 圆的方程复习课的研究路径

直线与圆这两种曲线的研究都经历了如下路径“根据具体的问题背景，建立适当的坐标系并设点；根据图形语言确定几何关系；根据几何关系的呈现形式选择几何法或代数法；利用代数法（几何法）得出结论；根据结论解释几何问题”，以上路径不仅适用于直线与圆的研究，也适用于每一种曲线的性质研究可以用如下框图简单呈现：________

代数形式即根据几何关系的呈现形式选择代数法或者几何法，比如则选择代数法联立直线与圆，若是则几何法代数法均可选择.由此可以看出几何关系的呈现形式是问题的突破口，深入的挖掘几何关系将其翻译成正确的合适的符号语言则是处理问题的关键，而代数运算解决代数问题则是灵魂所在每一个环节都侧重于不同的数学核心素养，如下图：

坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学思想方法，通过坐标系，把点与坐标，直线与方程联系起来，实现了形与数的统一.因此在教学过程中要始终贯穿坐标法这一重要思想，不怕反复.这一章仅仅是学习坐标法的一个开始，今后圆锥曲线与方程等章节还要进一步学习，坐标法的基本思想与解题步骤应该在本章初步形成.

4.2 圆的方程复习课的评价方式

类似于研究途径中的明线与暗线，即“背景—本质—性质—应用”为明线，以思想方法如“背景—方法—方法论—学科观”为暗线，教师对学生的评价也可以从明线，即“知识体系、学习习惯、学习态度”与暗线，即“思维过程的引导与思维过程的监督”进行评价，问题是师生对话的基础，也是师生交流的窗口，通过问题的解决不仅可以将有关知识方法传递给学生，更重要的是在解决问题过程中给学生树立示范，引导学生思考问题、转化问题，提升学生的核心素养.下面以一道例题为线索，看学生解题需求，并从三个方面讨论形成性评价的方式.

例题在平面直角坐标系xOy中，已知直线x-3y-10＝0 与 圆 O：x2+y2＝r2（r＞0）相切.

问（1）直线l过点（2，1）且截圆 O 所得的弦长为，求直线l的方程；

问（2）已知直线y＝3与圆O交于A、B两点，P是圆上异于A、B的任意一点，且直线AP，BP与y轴相交于M、N点.判断点M、N的纵坐标之积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由.

本题考查面广，知识涉及到圆的方程，直线与圆的位置关系，直线与圆的综合应用；方法上考查了学生使用几何法与坐标法解决直线与圆相关问题的能力；对学生的核心素养渗透得及其全面.

（1）对学生问题转化能力的评价

从学生的解答中可以看出，利用相切解出圆的半径，设出直线的点斜式方程，将弦长问题利用垂径定理的数学形式转化为圆心到直线的距离问题仍然是基本解决方法，运算量较小但部分同学不能够将“弦长”与“圆心到直线的距离”二者结合起来，而直接联立直线与圆使用弦长公式导致运算量过大，对于基础薄弱的同学计算容易错误.

因此教师在评价时应该围绕以下几个问题，“从什么角度分析能够得到解法”“什么是常规方法？什么是简便做法？”

具体到第一问，使用代数法的同学能够在熟悉的数学情境中了解运算对象，了解运算法则及其适用范围，但对几何语言的理解仍停留在表面，缺乏形与数的思考，反映了学生对知识连接较弱，这些学生在圆的方程一章的学习处在“水平1”的层次；而采用几何法的同学，能在数学情境中建立正确的数学模型，明确运算对象，掌握运算法则，求得运算结果，体会数形结合思想的意义与作用，该部分学生至少处在“水平2”层次.

（2）对学生学习习惯的评价

数学课程标准要求教师要对学生加强学习方法的指导，帮助学生养成良好的数学学习习惯，敢于质疑善于思考，理解概念，把握本质，数形结合，明晰算理，理清知识的来龙去脉，建立知识间的关联，在第一问中对直线方程的设法出现了不同的解答，部分同学直接将直线设为y-1＝k（x-2），而没有讨论斜率是否存在，即缺少直线方程x＝2这种情况反映了部分学生思维习惯不够规范，对条件的研究不够深入，想当然的使用经验主义.（从题海战术中总结出的经验主义）教师应围绕“为什么知定点要设点斜式而不是其他形式”“是不是一定要讨论x＝2的情况？”这样两个问题进行评价.

（3）对学生学习态度的评价

良好的学习态度是学生形成和发展数学学科核心素养的必要条件，因此学习态度应该作为教学目标的重要评价，应重点关注主动学习，认真思考，善于交流，集中精力，坚毅执着，严谨求实等，教师应当记录学生学习态度的变化与成长过程形成良好的学习态度，首先需要对学生提出合适的要求，比如在此题中第2问解决“判断点M、N的纵坐标之积是否为定值?”可以拆分为以下四个步骤：（1）求出A、B的坐标并设出P点坐标；（2）写出直线AP、BP的方程；（3）写出AP、BP与y轴的交点M、N的坐标；（4）计算M、N纵坐标乘积并化简得出结论可以按照如下表格对不同学业水平学生学习态度进行评价.

运算水平要求完成数学运算水平1数学运算水平2数学运算水平3步骤1√√√步骤2√ √步骤3√ √步骤4√

4.3 圆的方程复习具体实施方法案例

数学课程标准中提到复习题要注重单元知识的系统性，帮助学生理解数学的结构，增进复习的有效性，达到相应单元的“学业要求”，也要关注数学内容主线之间的关联以及六个数学学科核心素养之间的协调，有利于学生整体理解并系统掌握学过的数学知识，实现学业质量的相应要求.在专题知识复习中可以围绕如下问题展开：

（1）圆的方程有哪几种形式？你能说出他们各自的特点吗？

（2）通过方程，研究直线与圆，圆与圆的位置关系是本章的主要内容之一，你能说出判断直线与圆、圆与圆的位置关系从哪两方面入手吗？

（3）坐标法解决平面几何问题三部曲是什么？

（4）你能利用信息技术工具探索圆的多种生成方式吗？并形成研究型报告

（5）你能否将“坐标法”与平面几何综合法，平面向量建立联系，并推广到空间中解决立体几何问题？

可以设置如下问题情境:

已知直线与圆相离，P为直线上一动点，如图，请从“静”与“动”，“几何”与“代数”两个方面，两种角度提出并解决问题.

这个问题以“直线和圆相离为背景”，根据P点的性质（静或者动）可以提出一系列的距离，面积以及最值问题，在具体复习中教师应将学生提出的问题一一罗列，然后探讨这些问题应该先从哪一个问题入手，探讨应围绕“如何将静中的几何关系翻译成符号语言以及如何找寻变化过程中不变的几何关系”展开，可能出现的问题有：

几何视角：

（1）过P点做圆C两条的切线，切线PA、PB长度与方程是什么？

（2）切点弦AB的长度与方程是什么？

（3）当P在l上运动时，切线PA、PB长度与切点弦AB的长度，四边形PABC的面积是如何变化的？

（4）PC、AB间的函数关系是怎样的？

代数视角：

（5）直线AB是否过定点？如果是，求出定点坐标；

以上问题与相对应的解法兼具数与形，动与静，要引导学生能从简单的几何关系中构造更深层次的几何关系，而又要从复杂的几何关系中把握问题的本质，甚至要利用对称性，逻辑性“看出答案，看出过程”，若学生呈现的解法是几何解法，则询问其他同学或分组讨论是否有对应的代数解法，还应关注有多少同学画出了几何图形，并作出表扬，强调解析几何是一门“数”与“形”结合的学科，加强“数形结合”意识.

5 结束语

章建跃老师对整体性教学的设计曾评价道：“为学生构建前后一致，逻辑连贯的学习过程，使学生在掌握知识的过程中学会思考”，而复习更强调数学的整体性，将相关联的知识、方法、思想联系起来，围绕重要问题，重要概念设计并组织教学，保证了复习过程逻辑的连续性，而对学生评价方式的转变以及引导学生从不同的视角看问题使学生在掌握数学知识，感悟数学思想的同时也提升了学生的核心素养.