一个问题 多个角度—— 探究一道恒成立问题的多种解法

管良梁

(安徽省合肥市第四中学 233000)

题目已知函数f(x)=x2-mx-2m2,若对任意x∈[1,+∞)，恒有f(x)>0，求实数m的取值范围．

解法1(利用动轴定区间)由题意，得

则f(x)min=f(1)>0，

即1-m-2m2>0,

点评本解法利用动轴定区间的思想.讨论对称轴的位置，根据对称轴的位置确定定区间里的最小值f(x)min，由f(x)min>0确定m的取值范围.

解法2(利用判别式)因为

Δ=(-m)2-4×(-2m2)=9m2≥0,

解法3(利用根的位置)令f(x)=0,

则x2-mx-2m2=0.

所以(x-2m)(x+m)=0.

即x=2m或x=-m.

(1)当m>0时，则2m>0>-m.

(2)当m=0时，2m=-m=0，显然成立.

(3)当m<0时，2m<0<-m,

所以-m<1，

即m>-1，

所以-1

点评本解法利用参数m将方程f(x)=0的根表示出来，再对参数进行讨论,确定根的位置进行求解.

解法4 (利用改变变量)因为f(x)>0，

所以x2-mx-2m2>0.

所以2m2+mx-x2<0.

即(2m-x)(m+x)<0.

因为x∈[1,+∞)，

解法5 (利用导数)

因为f(x)=x2-mx-2m2，

所以f′(x)=2x-m.

函数y=f(x)在[1,+∞]上单调递增，

所以f(x)min=f(1).

所以f(1)>0即可.

即1-m-2m2>0，

点评本解法利用导数判断函数y=f(x)的单调性，对参数m进行讨论，确定最小值，由f(x)min>0求出实数m的取值范围.

通过以上五种解法的探究，提高学生综合运用的能力，同时也避免了“题海战术”.在平时的解题过程中要多思考、多总结，从多渠道、多途径对问题进行解答，这样既巩固了基础知识，也提高了解题能力，促进学生全面发展.