基于MATLAB的增压器涡壳流道截面设计

房宏威

(烟台汽车工程职业学院, 车辆运用工程系， 山东, 烟台 265500)

0 引言

众所周知，内燃机是现今社会的主要动力源，对人们的生产生活影响深远。当然，随之而来的也会存在很大负面问题。传统内燃机消耗大量石油资源，其排出的尾气给空气质量带来严峻挑战。面对石油资源枯竭和排放法规严格的双重压力，对内燃机相关要求也越来越高。不仅要保证内燃机的动力性、经济性和可靠性，而且其排放污染和噪声也要不断降低。增压中冷技术能够满足发动机日益严苛的性能要求，是发动机节能减排的一个关键技术[1]。

目前，欧美等国的重型卡车增压化基本达到100%；欧洲柴油轿车的增压化亦高达到80%。我国从20世纪五六十年代开始生产使用增压器，自1989年以来，我国增压器每年需求以30%的速度递增[1]。而增压器涡壳流道截面设计是整个增压器设计的一个难点，涡壳流道截面设计的好坏，直接影响增压器的性能，从而影响发动机的油耗。因此，探究高效、可靠的涡壳流道截面设计算法，积累增压器系统设计经验，奠定后续增压器自主研发基础具有重要意义。

1 涡壳流道截面设计理论

1.1 涡壳流道截面设计气动原理

增压器涡壳流道主要由进口段、0截面和舌部组成，如图1所示。

图1 涡壳流道一维示意图

涡壳的传统设计方法是基于一元流动理论，设计要点主要有3点：一是只计算截面质心位置的流量；二是质心位置的轴向加速度被忽略；三是轴向要求质量均匀分布。基于以上要点可推导出截面质量守恒方程[2]如式(1)和式(2)：

(1)

(2)

根据角动量守恒且假设周向的切线方向分量为0，则有式(3)，

(3)

结合式(1)—式(3)可推导出式(4)，

(4)

由式(4)可知，A/r是θ的线性函数，且当流道内流体马赫数较大时，气体的可压缩性应当被考虑。则此时不再是线性方程，而是如下式(5)：

(5)

再当考虑到气流与涡壳流道壁面的摩擦损失时，角动量不再守恒，而是逐渐减小，如式(6)，

ξrVθ=rV1θ

(6)

(7)

式(7)说明当考虑摩擦损失时，A/r不是θ的线性函数，而是一个凸函数，如图2所示。

图2 A/r随角度变化曲线

1.2 截面积分计算

如图3所示，平面图形面积A与某形心(质心)到某一坐标轴距离的乘积为该平面图形对该轴的一阶矩(静矩)，是对该函数与自变量的积xf(x)的积分[2]，即

dA对x轴的微静矩：dsx=y·dA

(8)

dA对y轴的微静矩：dsy=x·dA

(9)

故

(10)

图3 微元的微静矩

1.3 牛顿下山迭代法

在实际工程应用中，经常需要求解一些代数方程、微分方程、超越方程和方程组。这时，可通过数值分析中迭代逼近的方法求得满足一定精度的近似解[3]。但在求解非线性方程组时，因计算不收敛，要么得不到精确解，要么得不到结果。牛顿下山是一个平方收敛的迭代方法，算法简单易实现，在粗略地给出初始搜索点后，便能寻找到最优解[4]。具体如式(11)：

(11)

由式(11)可知，xk+1是y=f(x)于点(xk,f(xk))处的切线y=f(xk)+f′(xk)(x-xk)与x轴的交点坐标，也就是说新的近似值xk+1是用曲线y=f(x)的切线与x轴相交得到的。(xk+1,f(xk+1))再做切线与x轴相交，又可得到xk+2。只要初始值x0取得充分靠近x*时，序列就会很快收敛到x*[5]，如图4所示。

图4 牛顿下山法收敛曲线示意图

2 MATLAB实现

2.1 建立截面方程组

MATLAB功能强大，集算法开发、图象与声音处理、科学计算等功能于一身，并可方便进行Windows图形界面设计[6]。本文通过利用其强大的计算能力，设计一款“梯形”流道截面，如图5所示。同时编写GUI界面实现人机交互和批量自动计算。

图5 “梯形”涡壳流道截面示意图

根据前面的推论，为了计算流道每个截面的面积和相对质心距离，需要对截面进行积分计算。为了减少寻找边界函数的麻烦和困难，现将截面分成2个扇形、4个三角形、3个正方形等9个几何图形，如图6所示。

图6 截面分块积分意图

可以建立式(12)：

(12)

其中，A为该截面面积,R为该截面质心高度,L0,L1,L2,L3,r1,th1,th2是组成截面的必要尺寸要素。若已知这些尺寸要素则可以正向计算出该截面的面积和质心高度。但通常输入数据为面积和质心高度，输出数据为截面形状要素。这时就需要求解这一非线性方程组[6]。

2.2 MATLAB编程

根据式(12)，首先需求解各个截面面积和质心高度方程，建立方程组。然后根据截面面积A和质心高度R的输入，求解方程组，获得其中的2个关键尺寸，从而最终确定截面形状[7]。该截面形状由L0、L1、L2、L3、r1、th1和th2共7个关键尺寸要素组成。其中，L2和r1是被求解参数，其他为已知的输入参数。

然后，计算各个区域的面积和质心高度，这里不再赘述。最后，根据以上计算式得到式(13)：

A=A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7+A8+A9

R=(R1×A1+R2×A2+R3×A3+R4×A4+R5×A5+R6×A6+R7×A7+R8×A8+R9×A9)/…(A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7+A8+A9)

(13)

定义牛顿下山迭代函数Newton_func(),其中，x1和x2为自变量，这里分别代表L1和r1,x00和x11为初始迭代点，该点的选取决定了迭代计算的收敛性,Eps为误差精度,N为最大迭代步数,A为该截面的面积,R为该截面的质心高度,a为返回值即L2和r1。具体计算流程如图7所示。

图7 牛顿下山迭代流程图

由此得到整个流道的各个截面数据，如表1所示。

表1 涡壳流道各个截面数据

根据360°圆周上各个截面的尺寸要素数据，编写APDL代码，在ANSYS软件中生成涡壳流道IGS格式几何模型，进而进行仿真验证计算,如图8所示。

图8 涡壳流道几何模型

3 CFX验证计算

3.1 流体分析基础

计算流体力学弥补分析方法的不足，通过计算机和数值方法来求解流体力学的控制方程，通过用一系列有限离散点代替原来时间域和空间域上连续的物理量，进而离散流体控制方程并建立各离散点变量间的代数方程组，最终用计算流体力学数值模拟对方程组所求之解，将现实中流体流动现象，通过计算机的数值计算和云图来显示，用以模拟真实物理测试[8]。

3.2 流体分析边界条件

在进行流体分析时，不仅需要蜗壳流道，还需要叶轮、扩压面和旁通阀等[9]。整个系统需要分为各种计算域，并需要赋予特定的边界条件。CFX有5种边界条件：入口、出口、开口、壁面和交接面[10]。设置合理的边界条件，不仅可以加速收敛而且能够得到满意的精确结果。仿真验证条件的设置和涡壳流道前处理如表2和图9所示。

表2 涡壳流道CFX计算边界

图9 涡壳流道前处理

3.3 流体计算结果分析

根据以上边界条件进行流体计算，得到如图10所示的流线图。从流线图中不难得出，涡壳流道舌头、轮壳配合面及旁通阀出口位置流速较快且流线相交，但是并没有出现较大的湍流，流道入口和扩压腔位置气流比较顺畅，没有出现大的湍流，能够很好地满足项目需要。

图10 涡壳流道流线示意图

4 总结

通过对涡壳气动设计原理研究分析，得到增压器涡壳流道截面设计的理论依据。结合平面积分和牛顿下山非线性迭代方法，利用MATLAB科学计算软件，编程实现增压器蜗壳流道截面的自动优化设计。根据优化数据，利用APDL语言，在ANSYS中建立增压器蜗壳流道几何模型。最后，通过CFX流体分析软件，对设计的流道进行分析计算，验证了牛顿下山迭代算法的可行性、高效性及可靠性。该算法能高效进行方案的设计、验证与优化，极大缩短项目周期，节约开发成本。