数学实验中的“结构性素材”建构

摘 要 当下，数学实验素材的建构存在着唯知识化、去思维化、过精致化等倾向。建构结构性素材要紧扣数学知识关联、学生思维过程和学情分析，对数学实验素材进行深度开发、有效整合和创新创造。结构性实验素材不只是数学实验之准备，更决定了数学教学的内容、方式等。教师要善于从点线面上对数学素材进行加工、改造、整合，从而让素材能更好地促进学生思维，提升学生数学学习力，发展学生数学核心素养。

关  键  词 小学数学 结构性素材 创新性建构

引用格式 高巧萍.数学实验中的“结构性素材”建构[J].教学与管理，2022（05）：53-55.

数学实验是学生数学学习的一种重要方式。数学素材是数学实验的重要组成部分，是数学实验的基礎。从某种意义上说，学生数学实验成效就取决于学生数学实验素材的效度。作为教师，要引导学生对数学实验素材进行深度加工、建构、完善，从而让数学实验素材更适合学生的数学实验学习。当下，数学实验素材的建构存在着唯知识化、去思维化、过精致化等倾向，为此，教师要深入研究数学结构性实验素材的建构。

一、数学实验“结构性素材”的建构原则

数学实验是学生的一项动手又动脑的“做中学”的具身性实践活动。数学实验素材不仅要蕴含相关的数学本质、内涵，更要便于学生动手操作。数学实验素材的研发、设计，应当从学生的需求和经验出发，从数学实验的条件、前提出发。“结构性素材”是指通过材料揭示数学知识的本质内涵、关系等。简明性、操作性、思辨性是数学结构性实验素材的建构原则。只有通过结构化实验素材的建构，才能有效地助推学生的数学学习。

1.简明性原则

数学结构性实验素材应当蕴含数学内涵和数学本质。结构性的数学实验素材，应当能激发学生的思维、探究欲望，调动学生思维、探究的积极性，开掘学生思维、探究的创造性。数学实验素材的简明性，包括数学素材的易获得性、可理解性、劣构性等特性。“易获得性”是指学生数学实验素材要尽量来源于学生的经验、生活;“可理解性”是指学生的数学实验素材不能繁杂，而应当促进学生的深度理解;“劣构性”是指学生的数学实验素材是不完整的，能召唤学生对之进行补充、丰富、完善等。简明性的数学结构性素材，能提升学生的数学实验效能。

2.操作性原则

数学实验结构性素材，应当有助于学生数学实验动手操作。如果学生数学实验素材可操作性程度偏低，就不利于学生动手操作，或者说学生动手操作不能揭示出相应的数学本质、内涵。可操作性原则要求数学实验素材能让学生与实验素材亲密接触，能给学生独特的发现、创造、建构的机会、平台。一般来说，数学实验素材不能花里胡哨，让学生眼花缭乱，要避免实验素材的非本质属性的干扰。例如在教学“可能性”（苏教版四年级下册）时，教师用“乒乓球”“硬币”“扑克牌”“转转盘”“数字卡片”“小正方体色子”等实验素材，引导学生做“摸球实验”“抛硬币实验”“摸牌实验”“转盘实验”“掷骰子实验”等，从而让学生建立“可能”“一定”“不可能”等相关概念，感受、体验事件发生的可能性。可操作性原则是数学实验材料结构性建构的基本原则。

3.思辨性原则

数学实验素材应当有助于学生的思维参与，应当彰显学生思辨的价值。从某种意义上说，数学实验素材的结构性首先应当体现在数学实验素材能引发学生的数学深度思维。如果一个数学实验素材没有引发学生的数学思维活动，那么这样的数学实验素材就很难说具有结构性，或者说，数学实验的结构性没有体现数学的效用。比如针对学生对物体的容积与体积相互混淆，笔者用这样的结构性实验素材——两个外表完全相同而壁厚不同的茶叶罐，让学生摸一摸茶叶罐的壁厚，从而让学生直观感受、体验两个茶叶罐的容积的差异。这样的实验素材，有助于学生展开数学思辨：外形大小相同说明什么？壁厚说明什么？两个茶叶罐的体积相同吗？容积呢？通过对数学结构性素材的思辨，学生展开深度研讨、交流，并且反思自己的认知。通过这样的数学教学，深化学生对数学概念的认知，让学生不断形成数学猜想，并展开积极的数学实验验证。对数学实验结构性素材的思辨，有助于提升学生的数学学习力，发展学生的数学核心素养。

二、数学实验“结构性素材”的建构路径

从数学教学实践的视角来看，数学实验的结构性素材应当是一种组合成和数学概念有关的结构，应当是一种能激发学生思维发生的结构，应当是一种合乎学生认知结构特点的结构。教学中教师应当紧扣数学知识关联来建构素材，紧扣学生思维过程来建构素材，紧扣学生具体学情来建构素材。对于数学实验素材，教师要引导学生进行加工改造、有效整合、创造性研发。

1.紧扣知识关联，对数学实验素材深度研发

在数学实验结构性素材之中，材料的结构性必须满足材料与数学知识有着内在的关联。在数学材料之中，教师要埋伏关系、蕴含关系、分析关系、找准关系，紧扣数学知识关联，对数学实验素材进行深度研发。教师要从数学知识入手，分解数学知识中所包含的种种关系;要从数学知识关系出发，把握学生数学学习的起点;要考量材料是否具有典型性，能否有效地揭示数学知识内涵，促进学生对数学知识本质、关系的理解。

例如教学“圆的面积”（苏教版五年级下册）时，为了让学生认识到“圆的半径或直径与圆的面积之间的关系”，笔者给学生准备了以下的结构性的实验素材：几根长短不等的小棒、一瓶墨水、一个大头针、一张白纸等。通过这样的原生性素材，学生将墨水涂在小棒表面，然后将大头针扎在小棒的中间，并且在白纸上让小棒旋转一周。如此，学生就能直观感知到长度不同的小棒在白纸上所画下的大小不同的圆。有学生发现，当半径扩大两倍时，圆的面积好像扩大了很多;有学生猜想，当半径扩大两倍，圆的面积可能扩大了四倍，等等。在此基础上，引导学生测量、比较、对折等，从而让学生认识到圆的半径的大小变化与圆的面积的大小变化之间的精准函变关系。在数学实验中，结构性实验素材只是学生的数学学习的手段，而思维、探究才是学生数学学习的核心。

当下的数学实验往往存在着被动化、肤浅化的现象，缺乏一种深度效应。教学中，教师要充分地应用数学实验素材，促进学生的深度感知。数学素材的结构性，能有效奠定学生数学实验基础，能引导学生的数学操作从现象进入本质，进而有助于学生发现数学规律，建构数学定理、法则等。

2.紧扣思维过程，对数学实验素材有效整合

如果说数学实验素材是对数学知识本质、关系等的表现，那么对数学素材中所蕴含的数学知识本质、关系的发现、提炼与表达过程，就是学生的思维过程。这个过程离不开学生的主动分析、综合、比较、分类、抽象和概括，因此，数学实验素材还必须紧扣学生的数学思维过程。学生的思维过程是数学实验素材加工设计的核心和关键。数学实验素材的结构性应当能让学生的数学思维深度发生。反过来说，从数学实验探究所必须的思维活动、过程出发，对数学实验素材进行选择、组织，是一条行之有效的路径。

例如对于“三角形的内角和”（苏教版四年级下册）这一部分内容，通常学生自然想到的方法就是测量法，也就是将三角形内角的度数分别测量出来，然后求和。但在测量的过程中，学生通常会遭遇测量不精准的问题。教师要引导学生整合相关素材，通过设计多样化的实验，让实验结果相互佐证。从根本上说，“三角形的内角和”属于一种超验性的数学知识。换言之，“三角形的内角和”这一知识的证明是演绎推理的结果，而不是用经验化的实验方法所能奏效的。有学生在测量后得出了这样的结论：三角形的内角和约等于180°。基于此，笔者有效地整合实验素材，让学生准备三种不同性质的三角形：直角三角形、钝角三角形和锐角三角形等，引导学生通过将三角形的三个角撕下来放置在一起，成为一个近似的平角;让学生测量不同性质的三角形的三个内角然后求和;引导学生从已知的长方形内角和出发，探讨直角三角形内角和，进而探究锐角三角形、钝角三角形的内角和等。通过有效地整合实验素材，让实验素材不仅具有内在结构性，而且具有整体的结构性。学生能够借助结构性的实验素材开展不同类型的多元性的数学实验，进而彼此相互印证，共同论证三角形的内角和是180度。

在数学教学中，教师要有意识地整合实验素材，灵活地设计数学实验。在数学教学中，不同的思维过程、思维方法需要负载在不同的实验素材上。精准把握学生的数学思维过程、思维特质，有助于教师选择适恰的、合适的实验素材。围绕着数学探究，学生的数学思维有一个调动激活、驱动运转、整理加工的过程，对于这一过程的把握决定了教师素材的有效整合、有机整合。

3.紧扣学情分析，对数学实验素材创新开发

在数学实验素材的结构性建构中，教师不仅要考量实验材料是否指向数学知识的本质内涵、关系等，而且要把握学生的数学思维过程。数学实验素材的结构性必须以学生的认知特点和已有知识经验作为基础，这就要求教师要对学生的具体学情进行深度的分析。学生的具体学情包括学生的已有知識基础、认知倾向、认知风格、思维特点、兴趣爱好等。根据学生的具体学情，教师才能有效地把握数学结构性材料的开发组织什么、怎样组织的问题。一般而言，教师要考虑学生“心之所在”“力之所及”“毅之所达”。

例如教学“圆锥的体积”（苏教版六年级下册）时，通常的教法都是教师对教材的实验照搬，即为学生准备两个等底等高的圆柱和圆锥，让学生将圆锥中注满水然后倒入圆柱之中。如此三次，学生直观感知到圆柱的体积是等底等高的圆锥体积的三倍。但在这个过程中，学生的感知、认知等是被动的，他们不理解“为什么要用两个等底等高的圆柱和圆锥”。基于此，笔者在教学中，从学生的具体学情出发，给学生提供了长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等，其中有圆柱和圆锥等底不等高，有圆柱和圆锥等高不等底，有圆柱和圆锥等底等高。这样的结构性实验素材，能引发学生的深度思考、探究。学生积极主动地选择，并且陈述选择的理由。比如有学生认为，因为圆柱和圆锥的底面都是圆形，便于进行实验比较，所以选择圆柱和圆锥作为实验素材;有学生认为，因为较之于等底不等高、等高不等底的圆柱和圆锥，等底等高的圆柱和圆锥更能凸显圆柱和圆锥之间的关联，等等。结构性的素材启迪了学生的思维，引发了学生积极的数学猜想。有学生认为，可以在圆锥中注满水，然后直接导入圆柱之中;有学生说认为，可以将等底等高的圆柱和圆锥分别浸入盛水的量杯之中，从上升的水的高度不同、水量不同去发现圆锥和等底等高的圆柱之间的关系，等等。通过结构性实验素材的提供，可以更有效帮助学生体验实验的过程，培养学生的创新创造力，进而有效发展学生的数学核心素养。

总之，在小学数学实验教学中设计、研发结构性素材，教师既要把握数学知识的核心要义，又要了解学生的具体学情。只有这样，才能有效把握结构性材料研发、设计、开掘的关键节点。要善于从点线面上开掘素材的结构，并对数学素材进行加工改造、有效整合，从而让素材能更好促进学生的思维，促进学生的数学理解。只有这样，才能让数学实验真正成为促进学生数学学习的有效方式。

参考文献

[1] 邱巧均.基于学情 顺学而导——“学为中心”背景下小学数学教学的有效引导策略例谈[J].数学教学通讯，2017（13）：14-15+22.

[2] 凌丽.丰富体验：数学实验的教学价值[J].小学数学教育，2016（24）：30-31.

[3] 刘洪赏.小学数学实验教学的实践与体会[J].中国现代教育装备，2011（08）：85.

[4] 施惠芳.小学数学实验教学的“数学化”探寻[J].江苏教育，2019（09）：11-14.

[5] 杜威.民主主义与教育[M].王承绪，译. 北京：人民教育出版社，2001：214-215.

[6] 张鹏.做思相融：数学实验的学习方式[J].数学教学通讯，2018（28）：32-33.

[责任编辑：郭振玲]