巧用数学图示 助力几何直观——小学数学图示的价值新厘定与实践新视角

福建莆田市城厢区文献小学（351100）蔡凤梅

几何直观作为十大核心词之一正式出现在《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“2011版课标”），其重要地位是毋庸置疑的。新修订的《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022版课标”）对几何直观的界定与表述更为丰富，也更为清晰，表现为：不仅保留了2011版课标对几何直观是理解数学和分析数学问题的重要方法的强调，而且在形成几何直观的内涵与外延上的要求更明确、更广泛；不仅明确突出了数形结合的运用，而且增加了对几何对象本身的养成要求。关于作为几何直观呈现形式之一的数学图示，2011版课标只停留于学生会用刻度尺和圆规画简单的线段、直线、射线、长方形、正方形和圆等，而2022版课标更注重直观。基于这样的认知，笔者认为理应对数学图示的教学价值进行新的厘定，并结合2022版课标的理念探索数学图示教学的新路径，致力于让数学图示助力于学生几何直观素养的培养，促使学生的核心素养全面提升。

一、数学图示的教学价值新厘定

2022版课标明确指出：“几何直观主要是指运用图表描述和分析问题的意识与习惯。”显然，几何直观指的是通过图表这种几何手段达到直观之目的，实现“描述和分析问题”的目标。图表是培养几何直观素养的有效媒介，用图表来表征、描述和分析问题称之为数学图示，教学数学图示包括识图、画图与析图，其价值体现如下。

价值1：数学识图，让思维有模有样。

2022版课标在第一学段强调“形成初步的几何直观和应用意识”，第二学段强调“形成量感、空间观念和初步的几何直观”，第三学段强调“形成量感、空间观念和几何直观”，这表明对学生核心素养的培养应彰显整体性、阶段性与发展性。不同的学段，对学生几何直观素养的培养的“度”是不一样的。纵观当前小学数学整套教材的编排体系，第一学段侧重于让学生能从现实生活情境图中抽象出简单的“实物图”来表示数量关系；第二学段更多的是编排一些简单图片、几何直观模型图；第三学段则是借助线段图、集合图、数轴等表征数量关系。显然，教材的编排遵循了学生“表象思维—具象思维—抽象思维”的发展规律。教师要引导学生读懂教材中的情境图、实物图、几何图等，把握图意，将数学图示转译为能看得懂的图示语言，从图中找到思维的原型支撑。思维有模有样后，再借助数学形象思维这个重要抓手，进行图示与思维的转化，这样才能为创造性思维提供肥沃的土壤。

价值2：数学画图，让思维有条有理。

遇到问题时，学生很少主动借助画图来描述和分析问题，有的学生甚至认为画图是一种“负担”。2022版课标指出了画图的重要价值，还增加了尺规作图的内容。何谓尺规作图呢？就是利用没有刻度的直尺和圆规进行作图。正所谓“教材未动，理念先行”。2022版课标在“图形与几何”领域中，分别在第二学段与第三学段提到“用直尺和圆规作给定线段的等长线段，感知线段长度与两点距离的关系，增强几何直观”“借助直尺和圆规作图的方法，引导学生自主探索三角形的周长，感知线段长度的可加性，理解三角形的周长，归纳出长方形和正方形周长的计算公式”“经历基于给定线段用直尺和圆规画三角形的过程，探索三角形任意两边之和大于第三条边，并说出其中的道理”。2022版课标实例中的例29（如图1），旨在让学生从三角形的周长入手，直观理解图形周长的概念。在学生进行尺规作图之前，教师可以提出“如何将三角形的周长放在同一条直线上”这个核心问题。当学生会调用自己的知识经验进行尺规作图——将三角形ABC的三条边转化成线段AA´时，教师可以利用直观图（如图2）提问：“为什么线段AA´是三角形ABC的周长？”引导学生根据作图过程与直观具象找到各条线段与周长之间的关联，并展开逻辑推理：因为AB+BC+CA´=AA´，所以AA´是三角形的周长。学生发现，既然可以从点A开始依次用圆规标出所展开三角形的三条边，那么还可以从点B依次展开，即BC+CA+AB´=BB´，BB´就是三角形的周长；从点C开始展开三角形的三条边，那么CA+AB+BC´=CC´，CC´就是三角形的周长。这样的尺规作图活动，能让学生直观感知图形周长的内涵，并在作图时直观洞察到图形的边展开的位置、顺序虽然不同，但总长度是不变的，进而深刻领悟线段长度的可加性。

图1

图2

显然，学生的思维在尺规作图过程中有条有理，不断地由具体直观转化进阶为更抽象的空间形式，学生在发展几何直观素养的同时，也能有效地训练逻辑思维能力。

价值3：数学析图，让思维有根有据。

数学识图是让学生形成辨识图形外在呈现信息的数学直觉，让数学思维有一定的直观模型；数学作图是促使学生将数学语言转译为图形语言，让数学思维得到有效的训练、进阶；数学析图则是让学生通过直观的图形语言进行有根有据的数学语言表达，促使学生的认知从感性层面提升到理性层面。从识图到作图，再到析图，其实质是让学生经历从形象思维到动作思维，再到抽象逻辑思维的转变过程。基于这样的认识，教师要善于培养学生用数学的眼光、思维来观察和分析图形，从而透过直观的“外形”洞察到内隐其中的数学性质和规律的能力，实现数学语言与图形语言的相互转译，让学生能有根有据地分析图意，促进学生数学推理能力、空间观念等数学素养的发展。

二、数学图示的教学实践新视角

1.兴趣驱动：有方向识图，促进学生直观感知

一直以来，抽象性强、逻辑性强、枯燥无味等词似乎成了数学的代名词，显然，这与教师教学方法不当有关。正所谓“兴趣是最好的老师”“兴趣是学生学习的重要内驱力”，教师只有立足学生的实际学情，找准学生学习的兴趣点，才能有效消除学生对数学学习的恐惧与抵触心理，促使学生能在一种和谐愉悦的氛围中轻松地用数学的眼光观察图示，在直观感知中找到数学信息，从而使得几何直观素养的培养成为可能。

例如，教学人教版教材二年级上册“角的初步认识”（如图3）时，教师先用谈话的形式激趣：“孩子们，数学是我们的好朋友，它一直存在于我们的身边，今天就到校园里找找我们的好朋友吧！瞧！数学在哪里呢？”低年级学生好奇心强，一下子就会被教师的话语吸引。这时如果没有指向性明确的引导，很多学生的注意力就会分散。于是教师指明识图的方向，继续启发：“孩子们，看看谁的眼睛最亮，看小机器人提示了什么？”学生马上发现是“你能找到哪些角？”。“大家帮小机器人找一找，这幅图中有哪些角？比一比，看看谁找得最多最准确。”给小机器人帮忙激发了学生的兴趣，加上教师的问题驱动，学生便能有方向地开展“找角”活动。这样的教学，能让学生有方向地进行识图，促使学生趣味盎然地从生活实境图中抽象出几何图形，使得几何直观素养得以发展。如果教师没有进行有针对性的点拨与激趣，想象力强但注意力不能持久的低年级学生会将数学课变为“看图说话”的语文课，这显然是“耕了别人的田，而荒了自己的地”。

图3

2.问题驱动：有目的作图，促使学生直观理解

孔子曰：“不愤不启，不悱不发。”启发式教学，实质就是用问题驱动学生思考。然而，当前部分数学课堂还存在两种极端：一是教师“问得多”，却很少“问得好”；二是教师“讲得多”，却存在“没得问”。显然，“问得多”“没得问”都无法驱动学生积极思考，更不用说深度学习了。课堂上一个好的问题就是一座“宝矿”。课堂教学中应尽量避免提浅显、过于零碎的问题，而应设置指向性明确、富有挑战性与启发性的核心问题，以此激发学生的好奇心，激活学生的高阶思维，让学生能在“愤悱”之际有目的地通过画图来描述和分析问题，驱动学生的思维不断地逼近数学知识的本质，引领学生的学习从“验证式”向“探究式”转换，从而让深度学习发生，使学生走向对数学知识的深度理解。

例如，教学人教版教材四年级上册“梯形的认识”时，教师通常会先利用教材所编排的几幅实物图逐步抽象出梯形，再用课件展示长方形、平行四边形、正方形、梯形、不规则四边形等多种图形，最后让学生观察和比较，概括出梯形的概念：只有一组对边平行的图形叫作梯形。这样的课堂教学看似科学合理，让学生思维经历了“形象—表象—抽象”的过程，然而，在后测中就会发现，多数学生对梯形的概念存在“梯形上底短、下底长和两腰相等”这些非本质属性的错误认知。显然，学生对梯形本质属性的感知与体验并不充分，只是停留于直观感性认知上。基于以上分析，教师应关注变式情境的创设，对梯形的演示应变“教师演示”为“学生画图”（如图4）。在学生从实物图中抽象出几何图（梯形），并给出关于梯形的描述性概念之后，教师应给出一组平行四边形，并抛出核心问题：“你能根据梯形的特点给这些平行四边形分别画上一条线，让这些平行四边形变成两个梯形吗？为什么？”在这核心问题的驱动下，学生带着对梯形概念的理解而进行有目的的作图，使得“思考”与“作图”同在，用概念印证图形，以画图促进对梯形概念的理解与建构。有了这种多元化的、丰富的感性积累，学生便对“只有一组对边平行”有了直观而清晰的理解，而这一点正是梯形的本质属性。这种在核心问题驱动下的数学作图，能让学生有目的、有思考地学习，在动手操作、反思内省中剔除概念中的非本质属性，理解并建构最本质的概念属性，助推几何直观素养的发展。

图4

3.任务驱动：有针对析图，促使学生直观洞察

传统的课堂大多是教师单向地进行知识的传输，学生被动地接收信息，这种忽视学生主体地位的课堂是不利于培育具有创新精神的新一代的。数学是一门探索性较强的学科，在课堂教学中，教师应根据教学内容的需要和学生的学情，灵活地设置一些具有目的性的探究任务，用任务来驱动学生主动积极地参与学习，发挥学生学习的主观能动性，使其理解和内化数学知识。同样，在学生画图之后，教师不能止步于画图本身，还应启发学生对所作的图进行分析、推理，实现数学语言与图形语言的转译，通过深层次的析图过程，促使学生从直观感知走向直观理解，再通过直观洞察，促使学生的思维不断地从浅层走向深刻，实现思维的进阶。

例如，教学人教版教材三年级上册“倍的认识”时，在学生对“倍”有了初步的感知之后，教师设置了任务一：“你还能创造出不一样的3倍关系吗？”学生给出了不同的画法（如图5-1、5-2）。教师还设置了任务二：“以小组为单位，说一说各个图为什么是表示两个数的3倍关系，以及为什么数量不一样，表示的却都是3倍关系？”正所谓“理越辩越清”，在思辨任务的驱动下，有一个小组总结道：“不管第一行的1份数是多少，只要第二行里含有3份第一行的数量，那么就可以说第二行的数量是第一行的3倍。”有一个小组说道：“是的，第一行的1份数可以表示任意数量的某一物体，只要第二行里含有3份第一行的物体的数量，那么第二行的数量就是第一行的3倍。”在指向性明确、针对性强的任务的驱动下，透过几何图形的直观，经过对图示的辨析，学生的洞察力越来越强，从数学语言到图形语言，又从图形语言到更深刻的数学规律，学生的思维不断地从形象直观走向逻辑抽象，高品质地发展了几何直观素养。

图5 -2

图5 -1

数学之美，不仅仅美在它的“抽象简约”，更美在它的“直观多姿”。在2022版课标的大背景下，教师要保持与时俱进的思想，厘定数学图示的新价值，充分挖掘数学图示对几何直观素养培养的作用，让学生能从识图、画图与析图中，由直观感性的认知提升到具体形象的操作，继而实现理性逻辑思维的进阶，让核心素养的培养能真正落地。