核心素养下初中生几何直观能力的培养*

广东省广州市增城区教师发展中心(511300) 张河源

1 几何直观的内涵和意义

1.1 几何直观的内涵

义务教育数学课程标准(2022 年版)指出,初中阶段核心素养主要表现为:抽象能力、运算能力、几何直观、空间观念、推理能力、数据观念、模型观念、应用意识、创新意识.几何直观主要是指运用图表描述和分析问题的意识与习惯.几何直观不再是一种行为,而是“意识与习惯”,是指一个人在遇到问题时,头脑中会自觉地浮现一些图形,主动地选择画图,利用图形的概念与特征、图形的关系、图形的运动和变化来帮助自己分析思路,解决问题.几何直观具体表现为:一是感知各种几何图形及其组成元素,依据图形特征进行分类;二是根据语言描述画出相应的图形,分析图形的性质;三是建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型;四是利用图表分析实际情境与数学问题,探索解决问题的思路.几何直观有助于把握问题的本质,明晰思维的路径.

1.2 几何直观的意义

1.2.1 拓宽解题思路

学生可以借用几何直观从不同的维度与角度分析问题,寻求不同的解题路径.如一个圆锥体的三视图,左视图是三角形,正视图是三角形,俯视图是圆.在分析问题过程中从不同的方向考虑,则会产生不同的想法与思路,学生用几何图形将复杂问题进行转化和发散思维,就可能得到不同的思路和方法,一题多解,并且将不同的解题思路的比对,从而找到最佳解决方案,有利于培养学生发现问题、分析问题的能力,发展学生用数学眼光观察现实世界.

1.2.2 理清解题线索

几何直观在数学的学习和解题过程中扮演着侦探的角色,学生借助几何直观迅速地理清解题线索,将复杂的问题简单化、条理化,通过作图的方式来呈现问题,将复杂的数学模型用图形表示,然后用不同的颜色将复杂的图形拆解成几个简单的基本图形,从而将问题的核心点暴露出来,有针对性地解决问题,这样便于学生独立分析问题,解决问题.

1.2.3 巩固基础知识

在数学学习中,由于学生掌握的知识量不全和思维力不强,导致有些知识点或概念理解模糊,相近概念混淆不清,张冠李戴,即使经过多次复习,记忆点也难以持久而深刻,巧妙地利用几何直观可以在头脑中建立直观的结构图,让平时难以理解的知识点或概念变得简单明了,便于理解、记忆,举一反三,有效激发学生探究的欲望.另外,几何直观可将复杂、繁琐、枯燥的数学语言变得生动、形象、直观,利用几何直观将用数学语言描述的复杂问题演变为几何图形表示的问题,从特殊问题演变为一般问题,经过清晰明了的几何直观,理清数学知识点之间的逻辑关系,将相关知识有效关联,有利于数学知识系统化、整体化、网格化,有利于全面掌握所学知识.

2 几何直观教学中面临的突出问题

2.1 理解困难

几何题常需通过添加辅助线,凸显图形中线段、角之间关系.但学生因为不熟悉几何基本图形,缺乏对定理的深刻理解,导致无法识别基本图形及合理添加相应辅助线.如“遇中点”常用的辅助线有构造“中位线”“倍长中线”等.

例1如图1,在边长为的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC的中点,连接EC,FD,点G,H分别是EC,FD的中点,连接GH,求GH的长度.

图1

当图形中出现“双中点”时,可以构造中位线.

几何教学中辅助线添加有赖于定理教学和提炼基本图形.如案例二中遇两个中点常见的运用中位线解题,教学中教师不是孤立讲授解法,而应构建基本图形,消除学生对添加辅助线的恐惧感.

例2如图2,一个圆柱高为5cm,底面直径为cm,一只蚂蚁沿圆柱体侧面从点A爬到点B觅食,这只蚂蚁爬行的最短距离是多少cm?

图2

学生对圆柱体表面(曲面)的爬行路径理解不了,束手无策,分不清图形之间的关系,不知从何入手.如果学生能把立体图形转化为平面图形,再根据“两点之间,线段最短”进行求解,那么问题迎刃而解.

2.2 分析困难

数学语言有符号语言、图形语言和文字语言.符号语言是一种由数字、数学符号、数学术语和经过改造的自然语言组成的科学语言,具有确定性强、通用性高、简洁明晰等特点.图形语言是几何题中的直观图形表征,图形语言具体而直观,但却需要学生具有较强的图形处理能力.文字语言是指汉语文字,是几何表述中必不可少的语言,它的加入使得几何表述更加简便、准确.三种语言的转换既需要教师在定理新授课中有意识地设计图形语言、文字语言、符号语言相互转换环节,又需要学生在解题中多次规范书写训练,才能达到自然转换的效果.

例3证明“垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.”

大部分同学能画出几何图形,但是没有解题思路,主要表现在图式转化不力,不能精确把文字语言转换为图形语言和符号语言.因此,教学中教师可先让学生感知几何图形及其组成元素,包含圆、直径、弦、弧,再根据语言描述画出相应的图形,分析图形中弦、弧的性质,建立数与形的联系,构建数学问题的直观模型,探索解决问题的思路.

2.3 运用困难

在课堂教学中,在教师的指导下,学生几何直观的思维方式表现得较好,分析问题和解题思路比较清晰.但是遇到自己独立解题或者考试时却很难将几何直观运用到实际问题中.究其原因,大多数学生虽然明白几何直观,但仅仅是明白几何直观的表象,只懂得用几何图形的转变而不能掌握几何直观背后的逻辑分析能力与空间思维能力.几何直观并不是一种简单的了解几何图形的边、角、对角线、长度、面积等,而是一种意识与习惯,是在直观感知基础上理性思考的结果,它不等同于几何直觉,只有当学习者将具体图形的形态和性质内化之后,能够在一提及这种图形时就直观呈现该图形的形态和性质(如通过作图),并将这种感受与其他抽象的数学问题进行关联(如数形结合),使这些问题的特征本质得以外显,由此问题变得直观(如建立直观模型),容易被理解与解决.几何直观在于它能实现从抽象到形象的转化,使对图形及其他数学知识的感性认识与理性认识的交融,产生形象的、生动的、易于感知的结果.

3 几何直观培养策略

3.1 观察操作,理解数量关系

几何教学中,要求学生利用几何图形描述问题,从丰富的现实情境中,用几何直观理解几何基本事实,在对图形的认识中,首先要求学生精确地画出图形,通过对图形的观察、操作、实验、分析、比较、猜想等活动,形成对图形特征的深入认识,通过让图形进行运动,如平移、旋转等,感受图形之间的关系,从动态的角度理解图形;通过对图形实物进行操作,如折叠、展开、切截、拼摆等,直观呈现图形之间的拆分组合.

代数教学中,培养学生借助几何图形描述和理解代数问题,如借助数轴研究相反数、绝对值,研究数的运算;构造几何图形理解整式的乘法法则与乘法公式、平方差公式、完全平方公式;通过建立平面直角坐标系,用坐标刻画点,用运算刻画图形的变化,借助图表直观理解函数的概念、通过函数的图象来研究函数,理解函数的性质,借助函数图象建立起函数、方程、不等式之间的关系,形成数形结合思想,发展几何直观素养.

统计教学中,通过绘制统计图表进行数据的收集、整理、描述与分析,教会学生用图表描述问题.

例4(2022 年广州市中考第25 题) 如图3,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,AB=6,连接BD.

图3

(1)求BD的长;

(2)点E为线段BD上一动点(不与点B,D重合),点F在边AD上,且BE=

①当CE⊥AB时,求四边形ABEF的面积;

②当四边形ABEF的面积取得最小值时,CE+的值是否也最小? 如果是,求CE+的最小值;如果不是,请说明理由.

分析(1)连接AC,交BD于O,根据菱形对角线互相平分,且平分每一组对角,即可解答;

图3-1

(2) ①设CE⊥AB交AB于M点,过点F作FN⊥BD,连接EF,因为利用三角函数即可求解S四边形ABEF=SΔDAB -SΔDF E;

图3-2

图3-3

第一个问题,要求学生从题目已知情境中,用几何直观理解菱形的对角线基本事实解决问题.

第二个问题,在对图形的认识中,首先要求学生精确地画出CE⊥AB,FN⊥BD,CP⊥AD,通过对图形的观察、操作、分析、运动等活动,直观呈现四边形ABEF面积的变化过程,利用割补法求出其最小值.

3.2 借助几何模型,洞悉问题本质

初中常见的几何模型如半角模型、手拉手模型、一线三垂直模型、对角互补模型等等,当学生掌握了这些模型的条件与结论,并能独立证明这些结论后,学生在复杂图形中能够快速发现模型中的基本图形,运用这些模型相应的分析问题,寻找解题思路,找准解题的突破口.

例5如图4,在四边形ABCD中,∠A=∠ADC=90°,AB=AD=10,CD=15,点E,F分别为线段AB,CD上的动点,连接EF,过点D作DG⊥EF,垂足为G.点E从点B向点A以每秒2 个单位的速度运动,同时点F从点D向点C以每秒3 个单位的速度运动,当点E运动到点A时,E,F同时停止运动,设点E的运动时间为t秒.当GE=GD时,求AE的长.

大部分学生在看到题目后没有思绪.若是能够抓住DG⊥EF或GE=GD两个几何关系进行思考,可以想到“遇垂直构造一线三垂直”以及“遇等边共顶点构造旋转”.下面对两种模型进行解析.

依题意得,BE=2t,AE=10-2t,DF=3t.

解构造“一线三垂直”模型,如图4,过点G作PQ⊥AB于 点P,PQ⊥CD于 点Q,则∠EPG=∠GQD=90°,∴∠EGP+∠GEP=90°.∵DG ⊥EF,∴ ∠EGP+∠QGD=90°,∴ ∠GEP=∠QGD.∵GE=GD,∴ΔGEP∽=ΔDGQ,∴EP=GQ,PG=QD.

图4

3.3 数形结合,启发思路

在数学教学中,精选典型例习题,着力揭示思维过程,在“知其所以然”上下功夫,运用数形结合思想,增强学生理解能力,将枯燥的数学概念直观化、形象化,有效培养学生的几何直观能力.

例6如图5,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB=6,BC=8,过点O作OE⊥AC,交AD于点E,过点E作EF⊥BD,垂足为F,求OE+EF的值.

图5

解法一利用“相似三角形对应边成比例”,分别求出OE与EF的长度再相加求出,来得出答案.

图5-1

3.4 借助微视频动态演示,化静为动

动态问题是各地中考的热门考点,常以压轴题的形式出现,考查学生的观察、猜想、空间想象、作图、综合分析能力.想让学生顺利解决动态问题,必须让学生经历观察图形运动的全过程.在平时的教学中,合理运用微视频动态演示还原真实情景,感受图形运动变化的全过程,让学生身临其境,真切感受数学问题,发挥其创造性,尤其便于寻找临界位置或特殊位置,便于精准观察、猜想分析、求解.

例7如图6,已知正方形ABCD的边长为点E在BC边上,BE=连接BD,点F、G分别为BD、CD边上的点,且FG⊥EF.

图6

(1)求点E到BD的距离;

(2) 如图6-1,连接AF,当A、F、G三点共线时,求ΔFDG的面积;

图6-1

(3) 如图6-2,过点E作EM⊥BD于点M,过点G作GN⊥BD于点N,求MN的最小值.

图6-2

第(3)问经观察,发现点M为定点,则BM为定长,又因为BD为定长,要使得MN最小,则ND最大,即DG最大,也即CG最小.同时,由∠EFG=90°知,点F在以EG为直径的圆上.同时点F还要在BD上,∴以EG为直径的圆需与BD有交点,可以理解为G从C到D运动,以EG为直径的圆慢慢变大.直到该圆刚好与BD相切于点F时,CG最小,即MN最小.

接着学生建构“一线三垂直”基本图形.如图6-3,点O为EG的中点,由相切可知点F为MN的中点(平行线分线段成比例).

图6-3

设MF=FN=x,再由ΔMEF∽ΔNFG可得到ND=NG=x2,由BD=8,可得到方程1+x+x+x2=8,解得x=-1.∴MN最小值为-2.

讲解时,学生容易理解“要使MN最小,即CG最小”,而学生难以想到“当以EG为直径的圆刚好与BD相切于点F时,MN最小”,运用几何画板动态演示圆的运动状态,并追踪点F运动时,MN长度的变化,如图6-4,学生瞬间明白“当以EG为直径的圆刚好与BD相切于点F时,MN最小”,并习得了“最值的取得往往为动图在临界状态,譬如相切时取得”的经验.最后由教师分析为什么是在相切时取得最值.至此,学生实现了从依赖信息技术得到相切时取最值,到利用原图在静态图中也能理解为何相切时取得最值的突破.

图6-4

例8(2022 年广州中考第24 题)已知直线l:y=kx+b经过点(0,7)和点(1,6).

(1)求直线的解析式;

(2)若点P(m,n)在直线l上,以点P为顶点的抛物线G过点(0,-3)且开口向下.

①求m的取值范围.

②设抛物线G与直线l的另一个交点Q为,当点Q向左平移1 个单位长度得到点Q′也在Q上时,求Q在+1 的图象有最高点的坐标.

分析本题主要考查抛物线过动点,求二次函数的最大值问题.渗透分类讨论、数形结合、转化思想、数学模型等数学思想方法.解题思路与方法是解决二次函数与直线的交点问题的一般方法,转化为方程组的求解和讨论,但是由于涉及到含字母参数的方程(组)的计算和讨论,比较抽象,同时要求有很好的运算能力.

第(1)小问用待定系数法求直线的解析式,学生易解.

第(2)小问属于二次函数与定直线的交点问题,学生难以理解,先画出平面直角坐标系与直线,通过几何画板演示抛物线的图象,让学生观察交流分析,探究其相交的具体情形,结合所学知识探索解题方法.

解(1)如图7,易解得:y=-x+7.

图7

图7-1

图7-2

图7-3

4 结束语

几何直观是义务教育数学课程标准(2022 年版)初中阶段九个核心素养之一,几何直观能力可让学生更好地了解逻辑思维能力和空间分析能力.在课堂教学中,让学生动手操作、借助几何模型、数形结合、微视频动态演示等教学策略,注重核心概念、关键知识的讲解,帮助学生构建数学问题的直观模型,探究解决问题的思路,有效培养学生几何直观核心素养.