以终为始,锚定靶心——谈中考隐形圆问题的教学突破

广东省东莞市东华初级中学 周健鸿

远洋途中,我们往往会遇到各种不确定的挑战,或迂回航行,或停泊驻留.但只要教师这位船长始终能把好舵盘,乘势挂好船帆,教学航船依然可以一往直前,迎风击浪,直达素养的海洋.目标引领航向,把脉中考动向,教学航船才有方向.广东中考数学卷从2020 年开始改革,隐形圆成为了中考卷上的热门,2020 年填空压轴题第17 题,2021 年选择压轴题第10 题和填空压轴题第17 题都考察了隐形圆的构造,学生需要从题干中寻找出构造圆的关键信息,发掘出动点的运动轨迹就是一段圆弧.

1 点亮锚灯,聚焦概念

一位好老师,应该要厘清培养目标、学科目标、单元目标、课时目标的关系,把准目的地、中间站、临时停靠点,航线才能更加清晰和科学.要想突破隐形圆的动点问题,第一个核心就是要让学生掌握好圆的定义.圆的静态定义是:“到一个定点的距离等于定长的点的集合叫圆.”圆的动态定义是:“一条长度固定的线段绕着自己的一个端点旋转一周,另一个端点经过的轨迹叫圆.”准确掌握圆的概念是发掘出动点轨迹是圆的核心关键.

2 锚定靶心,拆解模型

根据圆的定义,提取出关键词,我们不难发现“定点+定长→圆”.例如,如图1,OA⊥OB,P、Q分别是射线OA,OB上两个动点,且PQ=4,点C是线段PQ的中点,求动点C形成的轨迹.因为O为定点,C为动点,OC为定长,根据圆的定义,C点在以O为圆心,OC长为半径的圆弧上,则动点C运动形成的路径是一段圆弧.

图1

例1(2020 年广东第17 题)有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑,一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠,等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点,模型如图2,∠ABC=90°,点M,N分别在射线BA,BC上,MN长度始终保持不变,MN=4,E为MN的中点,点D到BA,BC的距离分别为4 和2.在此滑动过程中,猫与老鼠的距离DE的最小值为____.

图2

解析由题意BD==90°,MN=4,EM=NE,∴BE=MN=2,∴点E的运动轨迹是以B为圆心,2 为半径的弧,∴当点E落在线段BD上时,DE的值最小,∴DE的最小值为-2.(也可以用DE≥BD-BE确定最小值)

在例1 的突破中,除了需要发现E点的运动轨迹是圆弧之外,还需要掌握“一线穿”的点圆最值模型.

1.点圆最值——“一线穿”模型

如图3,点P在⊙O内时,点P到⊙O上的最近距离为AP,最远距离为BP,即最远距离+最近距离=直径;如图4,点P在⊙O外时,点P到⊙O上的最近距离为AP,最远距离为BP,即最远距离-最近距离=直径.

图3

图4

2.线圆最值——“摩天轮”模型

如图5,点P为⊙O上一动点,直线AB为定直线,当点P与P1重合时,点P到直线AB的距离最小,当点P与P2重合时,点P到直线AB的距离最大,即圆上的点到直线的最远距离-最近距离=直径.2021 年广东中考选择压轴第10 题就考察了运动轨迹为圆的动点C到定直线y轴的最大值问题,借助“摩天轮”模型可以快速求解.

图5

例2(2021 广东第17 题) 在ΔABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=3.点D为平面上一个动点,∠ADB=45°,则线段CD长度的最小值为____.

图6

通过例2,可以发现除了通过“定点+定长→圆”之外,还可以通过“定长+定角→圆”,题中AB为定长,∠ADB=45°为定角,可以利用圆周角的相关知识,根据圆的性质可知D在以AB为直径的圆上.最后借助点圆最值问题“一线穿”模型可以快速求解.

3 拔锚起航,驶向素养

根据例2 我们可以进行模型的归纳和总结,如图7,当AB为定长,且∠ACB为定角时,点C的轨迹就是圆.该模型就是通过“定长+定角→圆”.圆的构造还以通过“四点共圆”模型实现,如图8,已知∠BAD+∠BCD=180°,点A、C、D固定,点B是动点,则点B的轨迹是圆,其中圆心点O是AD与CD垂直平分线的交点.对于隐形圆,我们除了可以通过求线段最值的方式考察外,还可以结合坐标系和面积来命题.

图7

图8

例3(2021 河南)如图9,在平面直角坐标系中,半径为4 的⊙O与x轴的正半轴交于点A,点B是⊙O上一动点,点C为弦AB的中点,直线y=-6 与x轴、y轴分别交于点D、E,若ΔCDE面积为S,则S的范围是____.

图9

图10

突破例3 需要先通过垂径定理发现∠OCA为定角90°,利用“定长+定角-→圆”得到点C的运动轨迹为以OA为直径的圆,要求ΔCDE的面积最值问题,根据三角形面积公式,利用转化的数学思想,就转化为求CH最值的问题,利用线圆最值“摩天轮”模型最终可以快速求解.

4 以终为始,双线并行

2022 年4 月21 日新课标发布,从“新课标”的这条线上,提出数学课程要培养的学生核心素养,要求会用数学的眼光观察;会用数学的思维思考;会用数学的语言表达.意味着在数学课程中我们要着重培养学生现实关联能力,需要从复杂的现实问题中抽象中基本的数学模型.而从近两年“新中考”的这条线上,越来越多的题目灵活性更强,对学生分析问题提炼核心的能力要求越来越高,这就需要我们:

4.1 定位目标基点,戴好航行指向的探照灯

核心素养作为培养学生的基点,我们需要明确知识教育的重心应该要向素养教育为核心的目标转型.这就需要我们定好每一节课的教学目标,明确中考的命题趋势,有意识的设置好重难点和突破点,实时对接中考方向.避开教学目标设置的暗礁,厘清各层级的含义和关系,进行目标拆解,让课堂的每个环节依托每个小目标逐一落地.做好目标“点线面体”设置工作,这里的点指的是每节课的知识点小目标,线指的是每堂课的教学目标,面指的是本章节的课程目标,体指的是核心素养要求的总体育人目标.

4.2 任务层层拆解,用好信息技术的工具箱

教师在教学活动的设计上往往缺乏结果导向思维,只重视内容和方法;忽略“教”与“学”的双向互动,只重视教师输出效果;停留于平面思维,忽视学习过程应该与学生的情感互融,最终把培养学生的过程切割成一个个互不关联的“孤岛”.而“互联网+教育”时代的到来,物联网实现网络互联,虚实融合、智能适应的均衡化课堂生态登上舞台.这就需要我们新时代的教师借助网络等信息化手段,开创信息化融合的教育教学的新方式,加强课堂的互动,例如借助“希沃白板”等软件,设置课堂游戏环节,把学生的主动性、积极性、创造性充分地发挥出来,让信息技术走进数学课堂,实现我们的教学内容和教学结构发生根本性革新.

4.3 内容共识共创,用好集体智慧的发动机

“互联网+教育”时代让合作在整个教育系统的重要性日益提升.教师的主要工作形态将从个体转变为群体协作.每个学校都有集备的活动.高效的和有质量的集备会缩短教师的个体劳动时间从而提升工作效率.学习共同体概念的提出,让教师能利用数字化网络组成各类共同体.在这些共同体中,集体智慧的结晶将是教师课堂设计的永动机.

时代在蜕变,但教师的育人功能与学习陪同效果无可替代.教师不仅仅是知识的传授者,更要设计多样化的教学活动,开发数字学习资源和相关的评估工具.为每个学生创设多样化的学习环境.给予学生学习方法指导,落实分层教学,实现因材施教.在革新时代的背景下,我们要做的就是“以终为始,锚定靶心”,关注时代变化的动态之下,时刻谨记我们教师的天职,贯彻“立德树人”的育人目标,让学生能够得到真正意义的全人格成长.