精彩源于充分探究追问凸显数学本质*——一节数学实验探究课的研究与实施

中国教育科学研究院朝阳实验学校(100029) 邵胜林 刘明成

人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》在实践与综合应用板块主要设置了阅读与思考、信息技术应用、数学活动、课题学习、观察与猜想、实验与探索等课程内容.而在实际的教学过程中,一些教师会因为教学任务重、时间紧张、考试压力大等原因,不重视这部分内容的教学.在教学实践中,主要有以下三种表现: 忽视,让学生不用管这些内容,看也不看;轻视,让学生课下看书,了解大体意思;平视,与常规内容教学相同处理,重点在知识的掌握上,忽视了实践与综合应用的学习特点.为探讨这部分内容的教学,我们选择了“三角形中边与角之间的不等关系”这节课作为研究对象来进行教学研究,以期尝试探讨实验与探究课的设置目的、特点及如何对其进行高质量教学.

“三角形中边与角之间的不等关系”是人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册第十三章轴对称的实验与探究课,安排在“13.3 等腰三角形”后面.教研组的教师们主要提出了这样几个问题: 这节课有上的必要吗? 有必要浪费宝贵的45 分钟吗? 如果上,这节课的教学重点到底是什么? 是大边对大角这一知识吗? 这样的实验探究课到底应该怎么上? 如果放开了让学生探究,肯定讲不完,那么到底需不需要充分探究? 上这样的实验探究课我们要达到什么目的? 带着这些问题笔者进行了深入思考,并执教了研究课,试图来解答上面的问题.

1 教材编者的设计意图

这节课有上的必要吗? 有必要浪费宝贵的45 分钟吗?有些教师之所以产生这个疑问,很大原因是大边对大角、大角对大边这一知识在考试中基本不考,在以后的几何学习和证明中几乎用不到这两个定理,简单来说不考且无用,所以很多教师对待这种实验探究课的态度就是没必要上,浪费时间和精力.其实,回答有没有上实验探究课的必要性问题,我们应该从教育的根本目的去思考.“培养什么样的人、如何培养人以及为谁培养人”的问题,是习近平总书记反复强调也是需要我们教育工作者思考的首要问题.我们培养的人不应该是仅仅会考试的人,也不应该仅仅是有知识的人,我们应该培养的是会学习、会思考、会探究、会创新、会实践的社会主义建设者和接班人.

《中共中央国务院关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》明确指出: 树立科学的教育质量观,着力在坚定理想信念、厚植爱国主义情怀、加强品德修养、增长知识见识、培养奋斗精神、增强综合素质上下功夫.为了全面贯彻党的教育方针,人教版教材在编写的时候,特别注重了从内容方面呈现数学思维规律,引导学生积极探索、使他们经历“观察、实验、比较、归纳、猜想、推理、反思”等理性思维活动的基本过程,优化思维品质,提高数学思维能力,培养创新精神与实践能力.“三角形中边与角的不等关系”这部分内容特别适合学生探究.学生在探究的过程中,其猜想的多样性、验证的丰富性、抽象的典型性、证明的严谨性,体现得一览无余.教材把这节实验与探究课放在轴对称一章,更是为了通过学生的探究,让学生体会轴对称能够让图形改变位置但不改变数量关系,解决我们数学学习和生活中的实际问题,这也是教材编者设计这节课的根本目的所在.由我们对“三角形中边与角之间的不等关系”这节课的设计意图可见,实验与探究课必须要开设并且要上好、让学生深刻体会轴对称的这一特性(探究思维的美妙之处),从而增长知识见识、积累活动经验、增强探究意识、增强综合素质.

2 重点难点的确定

部分教师在确定这节课的重点时,往往认为教学重点是大边对大角和大角对大边及其应用.笔者以为不然.《义务教育数学课程标准(2011 年版)》(以下简称《标准》)明确指出,“综合与实践”是积累数学活动经验的重要载体.在经历具体的“综合与实践”问题的过程中,引导学生体验如何发现问题,如何选择适合自己完成的问题,如何把实际问题变成数学问题,如何设计解决问题的方案,如何选择合作的伙伴,如何有效地呈现实践的成果,让别人体会自己成果的价值.通过这样的教学活动,学生会逐步积累运用数学解决问题的经验.通过对《标准》的解读和编者设计意图的分析,笔者以为实验与探究课属于教材的拓展内容,它不同于常规的教学内容,常规的数学课重点是某一个或多个数学知识(定义、定理、公式、法则及其应用等)及思想方法的渗透.而实验探究课的教学重点应该淡化数学知识本身,强化探究的过程,在探究活动过程中积累数学活动经验,领悟数学的思想和方法,体验发现科学规律的一个完整过程,即在实验(或实践)中产生猜想(规律)——验证猜想的正确性——证明猜想的正确性——产生定理和公式(科学事实)——实际应用.学会如何选择合作的伙伴,学会如何让别人体会自己成果的价值,产生积极地情感体验.因此,笔者确定本节课的教学重点为在探究大边对大角的过程中积累数学活动的经验、体验科学发现的完整过程,加深对轴对称的理解.当然一节课可能达不到这些教学目标,但是在这类课中,如果我们一直沿袭这一思路,学生慢慢也就达到了这一目标,从而培养了学生的核心素养,提升了学生对数学的理解.

在实际教学中,部分教师能非常好地注重了数学的抽象,通过动手为动脑提供思路,却往往忽视了在证明时的严谨表述,甚至都没有用到大边这一条件,就完成证明,在证明中还是存在依据直观感知缺乏理性思考的情况.在大边对大角的证明环节,往往就存在这一现象,因此我注重了教学中的追问,不断引起学生的反思.同时,在研究本节课时,笔者把本节课的教学难点确定为理解从折叠到证明的数学抽象和培养思维的严谨性.

3 课堂实施与反思

根据对教材编者设计意图的分析和教学重难点的确定,笔者设计并执教了研究课,下面是这节课的教学实录和反思.

3.1 以旧引新 动画中产生猜想

师: 同学们,前面我们学习了等腰三角形,哪位同学来说一下等腰三角形有哪些性质呢?

生1: 等边对等角、三线合一、等腰三角形是个轴对称图形.

师: 非常好! 这位同学回答的非常完整,那么我们是怎样发现这些性质的呢?

生2: 老师,我们通过动手折纸发现能够重合,想到了全等,从而得出了等边对等角等.

师: 很好! 其实,科学家们常常也是在动手实践的过程发现了科学的规律,动手实践常常能够给我们提供发现的机会和证明问题的思路,我们来看一下动画展示.(教师边说边用几何画板展示等腰三角形的折叠,让学生重温等边对等角发现的过程.)

师: 我们知道等腰三角形是特殊的三角形,我们研究问题的思路常常是从特殊到一般,以便能把我们发现的公式、定理应用到更一般的生活中.那么,如果老师改变一下等腰三角形的顶点,它还有两个角相等的性质吗? 你产生了什么猜想? (老师动画展示,如图1,改变等腰三角形的顶点,并不断拖动等腰三角形的顶点.)

图1

生3: 老师,我发现边不相等时,这两个角不相等了.

师: 很好,在一个三角形中,边不相等,所对的角也不相等.(板书: 在一个三角形中,边不等,则所对的角也不等)

生4: 我发现边越来越大,角也越来越大.

师: 嗯,在一个三角形中角随着边的变化而变化,很好,这个同学发现了两个变量之间的关系.(板书: 边越大,角越大)

生5: 老师,我发现长的那条边对的角大.

师: 类比等边对等角,你认为应该怎么说?

生5: 大边对大角.(师板书: 大边对大角)

生6: 老师,我发现大角对大边.(师板书)

师: 非常好! 同学们,还有什么猜想吗?

(一个学生犹犹豫豫的站了起来!)

生7: 老师,这个三角形中,一条边是另一条边的两倍,它所对的角是不是另一条边所对角的两倍呢?

师: 这个问题我不能回答你,老师要告诉你的是,你的猜想非常好,很独特,老师希望你自己去验证你的猜想,即使不对,可能又会产生新的猜想,每一个科学发现都源于独特的猜想.(师板书: 边2 倍则角2 倍)

师: 同学们,刚才大家的猜想都非常好,如果给大家更多的时间,可能会产生更多的猜想,但是因为时间关系和知识基础等问题,我们今天重点来探究大边对大角这一猜想吧!

反思在课后研讨时,有教师产生了疑问,为什么不直接类比等边对等角得出猜想,为什么发现猜想要用这么长的时间? 在本节课的设计中,若采用类比直接引入,而不是动画展示,确实能节省不少时间.但笔者以为: 发现一个问题永远比解决一个问题更重要.在这个动画的过程中,学生发现的猜想是一种思维的提升,其实也是后面知识的发现的基础,比如边越大角越大,这里面就是一种函数思想,后面学习到了函数和三角函数后学生的感悟会更加透彻,再比如边两倍角两倍的猜想,虽然不对,但是可以为高中学习的正弦定理、余弦定理的发现设下铺垫,同时让学生感受到边与角的“亲密关系”.

3.2 动手实验 验证中抽象方法

师: 大边对大角这个猜想是否正确呢? 请同学们想办法验证一下,可以自己画三角形,也可以利用老师发的三角形纸片,先独立思考3 分钟,然后小组内交流,6 分钟后每个小组选派代表上台展示自己的验证方法.

学生先独立思考,然后小组合作,教师巡视各组的情况,发现学生思维的创新点.8 分钟后.

师: 请各组同学选派代表上台展示本组的成果.

组1: 我们小组采用了测量的方法,首先画了一个不等边三角形,量的三边长分别是5 厘米、8 厘米、10 厘米,我们又测量了三个角,最长边所对的角是97.90°,最短边所对的角是29.70o,第三个角是52.40o,我们可以看出最大的边对最大的角,最小的边对最小的角.我们组一共画了5 个三角形,测量后发现猜想是对的.

师: 非常好! 在我们日常的学习和生活中,测量是一种非常常用的方法.

组2: 我们小组既用了测量法,又用了折叠的方法.我们是这样折的(如图2).让这两个角的顶点重合,一条边也重合,我们可以看到小边对的角落在了大边所对角的内部.(一个学生拿着三角形纸片,另一名学生边折叠边解说)

图2

师(追问): 你们是怎么想到折叠的呢? 这条折痕其实是一条什么线? 这种比较两个角大小的方法我们叫什么方法呢?

组2: 老师,等腰三角形两底角相等,我们是通过折叠验证的,所以我们想着类比等腰的方法,这条折痕应该是BC边的中垂线,这种比较角大小的方法叫叠合法.

师(继续追问): 折叠其实是我们学过的那个数学知识,折叠的目的是什么呢?

组2: 折叠其实就是轴对称,虽然不等边三角形不是轴对称图形,可是我们通过折叠把两个角放在了一起,并且没有改变它们的大小,这样方便我们比较两个角的大小.

师: 这位同学说的非常好,我们要想用叠合法比较两角的大小,需要将两个角放在一起,如何才能在不改变数量的情况下,改变角的位置呢? 轴对称无疑是一种非常好的方法,这也是轴对称的神奇之处,改变位置但不改变数量,为我们解决了不少生活中的小难题噢!

反思本来学生说的已经非常清楚了,为什么教师一直在追问呢? 数学教学不仅要让学生知道是什么,怎么做,更重要的是为什么? 为什么这样做? 它的数学原理是什么? 我是怎么想到的? 突破它的关键在哪里? 验证大边对大角,想到折叠很容易,难在怎么折叠,为什么这样折叠? 叠合法的要素就是顶点重合、角的一条边重合,那么要实现这两个条件,必然要沿这两个角的顶点连线的中垂线折叠.此处,通过追问就是要让学生们不断反思,不断抓住问题的关键所在.

组3: 我们组也是采用了折叠的方法,但是和2 组的不太一样(如图3).我们是沿着顶角的角平分线折叠的,大家看,我把这个短边折过来,让它落在这条长边上,我们会发现正好形成了三角形的外角,我们知道三角形的外角大于任意一个不相邻的内角,所以就说明了大边对大角.

图3

师: ∠A叫顶角吗?

组3(急忙): 不是,老师,我是口误.

师: 你们组是怎么想到的沿∠A的角平分线折叠的呢?老师怎么没想到呢?

组3: 因为等腰三角形就是沿角平分线折叠的啊,另外,沿角平分线折叠,有角相等,还有公共边,特别容易造全等.

(这时,一生犹豫的举起手来)

师(笑着说): 刚才3 组说的非常好,看来沿角平分线翻折好处多啊! 那位同学你有什么补充.

生8: 我认为这样最大的好处就是把∠C变成了∠B的外角了,因为外角是一边和另一边的反向延长线组成的,所以应该通过折叠让∠C落在∠B的一条边上.

师: 这个同学补充的非常好,阐明了外角的特征,好,我们继续,下一个组.

组4: 老师我们也用了测量和折叠的方法,折叠的方法和他们都不一样.我们是沿高线折叠的,如图4,大家看,我们这样折叠∠C也变成了∠B所在三角形的外角了.

图4

师(追问): 非常好! 那么,你们是怎么想到沿着高线折叠的呢?

组4: 等腰三角形也是沿着底边上的高线折叠的啊?

师: 刚才几个小组都想到了类比等腰三角形探究的方法,非常好! 类比是一种重要的数学方法.等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线、底边上的中线三线合一,而我们也采用了沿三角形的角平分线、高线、一边的中垂线进行折叠的方法,这就是类比.

师(继续追问): 我想问问同学们,为什么是沿着中垂线折叠,而不是沿着中线折叠呢?

(教师追问后,学生沉默了,马上就有学生开始动手实验,3 分钟后)

生(乱哄哄地回答): 老师,不行,这样找不到角的关系(如图5).

图5

师: 我们发现沿中线折叠不容易找到角之间的关系,那么还有其他方法吗?

学生再次陷入沉默状态,2 分钟后,一个学生站起来.

生9: 老师,我是这样折叠的,不是中线,也不是角平分线,好像有点关系,但又想不明白(如图6).

图6

生8(猛拍桌子): 可以啊! 这是我们探究过的飞镖模型啊! (学生们恍然大悟,集体鼓起掌来!)

注: 飞镖模型,如图7,∠D=∠A+∠B+∠C

图7

师(追问): 那你是怎么想到这样折叠的呢?

生9(扭扭捏捏): 老师,我没有多想,刚才沿中线不行,我就胡乱的折纸玩,发现好像能行.

师: 同学们,其实数学的发现有时在动手中无意发现的,所以我们要敢于动手、敢于尝试,既要多动手,又要善观察,还要多动脑,有些看似无用的东西也许就是一种创新! 数学其实挺好玩的!

反思在验证的环节,我预设到学生能够想到测量和沿角平分线折叠这两种方法,没想到学生想到了这么多的折叠方法,特别是折成飞镖模型,虽然麻烦,确是惊喜! 这也是学生思维的一种创新,之所以能产生这么多的折叠方法,源于教师没有急于进入下一个环节,没有为了完成教学计划而赶进度,而是让学生放开了探究,放开了展示,这也是人教版教材设计本节课的目的所在,培养学生探究的意识、探究的方法、探究的勇气,体验探究的过程.诚然,这一环节也占用了大量的时间.教师故意说数学好玩,也是一种积极地心理暗示.

师: 好,刚才各组展示了本组的方法,那么验证大边对大角如果归纳一下一共有哪些方法呢?

生10: 我认为大体分为两种方法,测量法和折叠吗?

生11: 老师,我认为可以分为三种方法,测量法、通过折叠后利用叠合法、通过折叠后利用外角.

师: 非常好! 这两位同学归纳的很好! 可以测量、可以叠合、可以利用外角说明.

反思在展示了方法多样性的时候,教师没有草草进入下一环节,而是让学生归纳方法,进行分类比较,有意思的培养了学生反思归纳的习惯,在这一过程中,实现了由发散到聚合的过程.

3.3 逻辑推理 证明中思维严谨

师: 刚才,我们验证了大边对大角,但是我们知道实验是存在误差和一定的局限性,要想说明一个命题正确,我们还需要进行推理论证.下面请同学们在练习本上画出图形,并加以证明.5 分钟后,小组展示.

组5: 已知: 如图8,在ΔABC中,AB ＞AC,求证:∠C ＞∠B..

图8

证明: 作BC边的中垂线交BC于点D,交AB于点E,连接EC,因为DE为BC边的中垂线,所以BE=CE,所以∠B=∠BCE,因为∠BCE ＜∠ACB,所以∠ACB ＞∠B.

师(追问): 我们知道在几何证明中,难点就是添加辅助线,那么你们组是怎么想到这条辅助线的呢?

组5: 老师,我们刚才就是这样折叠的,折痕就是中垂线,折叠就是为了“倒角”.

师(继续追问): 很好! 这说明了动手为动脑提高了思路,所以同学们平时要养成多动手的习惯.老师还有一个问题,已知条件里面的AB ＞AC,好像没有用到呢? 这个条件没用吗?

学生集体陷入了沉思中……

生12: 老师,这个条件是有用的,因为AB ＞AC,所以才能保证中垂线交到AB边上,而不是BC上,这样也就保证了折叠过来的这个角在大角的内部.

学生们恍然大悟!

师(继续追问): 可证明过程中没有体现啊! 那么应该怎么写证明过程呢? 再者,为什么中垂线交到AB边上,根据的是什么定理呢?

生12: 老师,我感觉就是啊! 不过这样证明好像是有点问题,不是太严谨!

反思数学是一门严谨的科学,在这个证明过程中,我们感觉是没有问题的,但是我们临时找不到数学根据,如果教师不追问,学生可能也不会发现问题,但是不利于学生养成言必有据的数学逻辑习惯,不利于学生思维严谨性的培养.

师: 同学们,在我们的学习遇到困难是正常的,你们知道吗? 有些大数学家提出猜想后,经过上百年后人才证明出来,有些至今也没有证明出来,所以我们在学习中不可能解决所有的猜想,也有可能不能证明我们的猜想,重要是我们要善于观察、勇于探究、敢于猜想、常于动手、善于思考! 这种方法不是太严谨噢! (教师用俏皮的样子说道)

组6: 如图9,在AB边上截取AE=AC,作∠BAC的角平分线AD.

图9

因 为AD是∠BAC的角平分线,所以∠CAD=∠EAD,又 因 为AD=AD,AE=AC,所以ΔACD∽=ΔAED,所 以∠C=∠AED,因为∠AED ＞∠B,所以∠C ＞∠B.

师(追问): 你们小组是怎么想到这样加辅助线的呢?

组6: 因为我们刚才就是这样折叠的,另外,角平分线特别容易造全等三角形.

师: 好! 动手为动脑提高了思路和方法!

(下课铃响了! 还有两个小组没有展示.)

生13: 老师,我们还有其他方法,我们来说吧!

师: 同学们,今天大家表现的非常精彩! 探究的非常充分! 方法也非常的多样! 没有展示的小组可以课下录制微视频放在班级群里展示.作业是有兴趣的同学可以思考还有其他方法吗? 其他猜想是正确的吗? 能证明吗? 好了,下课!

4 教学特色和问题

4.1 课堂探究充分多样

在课堂实施的过程中,教师总是不急不躁、不慌不忙,探究非常充分.在猜想环节,一般直接类比等边对等角得出大边对大角的猜想,而本节课教师没有直接提出类比,而是设计动画展示,使得学生猜想丰富,比如边不等则角不等、边变大则角变大、大边对大角、边两倍则角两倍等,在此处教师渗透了函数的思想,展示了边与角的“亲密关系”,为以后要学习的函数、三角函数、正弦函数、余弦函数设计一个铺垫,同时猜想中也有错误的猜想,让学生意识到猜想不一定正确,发现一个科学规律不是那么容易的,但是我们要善观察、善猜想、会验证、会证明.在验证环节,一般只会展示测量和沿角平分线折叠的情况,而在本堂课中,学生不仅出现了测量,还出现了沿边的中垂线测量、沿角的平分线折叠、沿高线折叠、沿中线折叠、沿过顶点的任意一条线折叠等多种方法.在证明的过程中,也出现了多种证明的方法,虽然学生没有能够全部展示,但是通过课后学生录制的微视频,我们还看到有的学生用的高线和外角证明、有的学生用的飞镖型证明.

4.2 追问点评及时到位

在本节课中,教师不是学生说完就表扬,而是在肯定学生成果的同时,不断追问学生.你是怎么想到这样折叠的? 为什么会想到折叠? 这样折叠有什么好处? 为什么AB ＞AC这个条件没有用上等? 通过教师及时到位的追问点评,既肯定了学生的成果,又引发了学生的深入思考,通过学生的深入思考,抓住数学的本质,比如类比的方法、归纳的方法、轴对称的特性改变位置不改变数量关系、动手为动脑提供思路、折叠为辅助线的添加提供帮助等等.在这种追问下,学生慢慢就会思维严谨,学会反思,慢慢养成“是什么? 为什么?怎么做? 为什么这样做? ”的思维习惯.

4.3 构造转化思想欠缺

在本节课验证和证明的过程,学生的思路基本都在轴对称知识的应用上,为什么学生想不到转化为等腰三角形呢? 既然我们等腰三角形有等边对等角,那么转化角的方式不应该是只有轴对称这一知识,还可以通过截长补短的方式,让不等边三角形转化为等腰三角形,如图10,在AB上截取AD=AC,则∠ACD=∠ADC,因为∠ACD ＞∠B,∠ACB ＞∠ADC,所以∠ACB ＞∠B通过构造等腰三角形的方法,让学生再次体会从特殊到一般、从一般到特殊的过程,渗透转化和化归的数学思想.

图10

5 教学启示

5.1 实验探究课是培养学生核心素养的重要途径

在本课例中,学生通过观察得到多种猜想,培养学生思维的发散性和猜想能力;通过动手实验验证猜想,培养学生的动手能力,并为演绎推理提供思路;通过演绎推理证明猜想,培养学生的逻辑思维能力;通过质疑批判使思维缜密,能多角度、辩证地分析问题,有效地培养了学生的核心素养.由此可见,实验探究课有利于发展学生的理性思维、批判质疑、勇于探究、学会学习、勤于反思、问题解决等核心素养,承载着培养中国学生发展核心素养的重要作用,是人教版教材的重要组成部分.因此,在教学中,要高度重视实验探究课的教学.

5.2 实验探究课是开放型、探究型、充满未知的课堂

在日常教学中,因为时间紧任务重,往往教师会关注每节课的知识是否传授完整.而实验探究课的教学不应以传授知识为最终目的,应该是通过探究的学习过程来发展学生的核心素养,因此实验探究课不应过分注重课堂的完整性,应注重探究的充分性,从而培养学生的科学精神.虽然本节课的结束有点匆忙,两个小组未能展示方法,最后没有小结的环节,另外转化化归的数学思想渗透不明显,学生没有想到构造等腰三角形等问题,让这节课成为一节不完整、不完善、不完美的数学探究课.但是,这也恰恰是实验探究课的特点,那就是开放的、探究的,学生的想法往往超出了教师的预设.

5.3 精心预设、充分探究、及时追问是上好实验探究课的关键

在教学中,教师要精心钻研《标准》教材、深刻理解教材编者的意图,精心预设教学过程,对于课堂中可能出现的情况做好n种假设,培养学生善观察、善类比、善归纳、敢尝试、敢猜想、敢探索、会验证、会思考、会质疑、会学习的能力.同时,教师要敢于放手、善于放手,让学生充分探究,只有课堂上学生充分探究,才能有效培养学生的探究意识、探究精神和探究能力,发展学生的理性思维和质疑批判的能力,从而培养学生的科学精神.教师还要善于抓住时机追问,引起学生的深度思考,培养学生乐学善学、勤于反思和信息意识等核心素养.

总之,新课改下的数学教学不再是为“死的知识”而教,而是为思维而教,为核心素养而教.在数学教学中,教师要深刻理解教材设置各板块的目的,特别是要高度重视实验探究课的教学,关注培养学生的科学精神和学会学习、实践创新的能力,为国家真正培养出合格的新时代社会主义接班人!