“微积分”教与学改革的研究及探讨

徐爱庆

（南京财经大学 应用数学学院，江苏 南京 210023）

目前，各大高校普遍开设了“微积分”课程，这门课已经相当成熟了，从知识体系来说已经没有多少改进的空间。然而，社会在飞速发展，尤其是信息化、智能化、数据化等发展迅速，微积分在其他领域的应用也越来越深入［1］。这就要求微积分教师要及时调整教学目标、教学内容和教学手段，培养顺应时代要求的新一代大学生，使他们具有过硬的数学素养和良好的数学能力。

一、“微积分”课程现状

（一）“微积分”课程教的现状

1.微积分是一门极其抽象的学科，学生感觉学习难度较大，有时甚至对概念理解都觉得特别困难。如数列极限“ε-N”的定义，学生感觉一头雾水，领悟不了概念所表达的深刻含义，进而影响学生后续学习函数极限的信心。事实上，有时教师在讲解相关知识时也比较晦涩，无法从问题的本质出发，用相对简单、直接的思想引导学生。

2.微积分教学是大课授课，由于课时有限，加上课程内容比较多，在教学过程中仍以教师讲课为主，课上用以互动的时间较少，习题课相比中学来说较少。由于学生众多，教师极少能关注到学生的个性化学习需求，从而导致教学效果欠佳。

3.近年来，受新冠肺炎疫情的影响，网课变为主要授课方式。由于新冠肺炎疫情的不确定性，随时可能进行网课，这给微积分教师的教学带来了不少困难和挑战。在课堂教学中，教师可以根据学生在课堂上的反应做出相应的教学调整，但在网课中，教师无法精准掌握学生的学习状态，教师和学生缺乏面对面交流的机会，互动不理想，学习效果不尽人意。

（二）“微积分”课程学的现状

我国中小学生的学业压力较大，但在进入大学后突然转为自我学习和管理，很容易失去学习目标和方向，学习热情和中学阶段相比不可同日而语。还有一部分学生进入大学后，想要好好放松一下，学业投入较少。微积分是一门逻辑性很强的学科，如果不了解函数导数知识，也就不可能学好不定积分，进而就学不好定积分和最后的二重积分。所以，引导学生认识到大学学习是人生旅程的新起点，是特别关键的一步。

对大一新生来说，习惯了在教师讲解完相关数学知识点后，进行大量的习题练习加以巩固，除了平时大量刷题外，丰富的课外参考资料将各知识点详尽罗列，如果还是学不好，还可以依靠课外补习班，这使得学生习惯了“填鸭式”学习，导致学生自我学习和总结的能力较低，无法适应高等数学学习模式。因此，如何激发学生的学习兴趣和主动性，在“微积分”课程的教学中显得尤为重要。

二、“微积分”课程“教”的改革

本文主要从“微积分”课程的教学目标、教学内容、教学手段三方面进行教学改革研究和探讨，旨在提高新时代教育背景下的教学成效。

（一）教学目标的改革

1.帮助学生确立学习态度和方向。作为高校的公共基础课，“微积分”课程肩负着帮助新生确立学习态度和方向的重任［2］。大一新生来自四面八方，部分学生对未来目标清晰，甚至计划好了各个阶段的学习计划，在本科毕业后是继续读研、找工作，还是出国，方向明确；还有一部分学生没有目标，对未来一无所知。因此，在大一时，微积分教师要引导学生认清目前整体的经济和社会形势，分析学习的重要性，使学生明白学习不光是为了能学好知识，更重要的是培养辩证、独立的思考能力，并以此推广到其他课程的学习中，让学生意识到大学学习的重要性，帮助学生完成人生的初步定位。

2.传授“微积分”课程知识。传授“微积分”课程知识是微积分教学的重中之重。完备的课程内容为后续课程（如“概率统计”“线性代数”）的学习打下了基础，并为交叉学科的学习提供了相关理论依据。另外，学生在大学阶段参加数学建模竞赛、高等数学竞赛及准备考研，都要求学生学好“微积分”课程。

3.培养学生理论与实践相结合的能力。微积分中的大量知识有其产生背景，但学生往往忽视了这些知识的背景，直接学习理论知识，从而导致学完部分理论知识后，无法感受其在实际生活及相关学科中的应用价值，学习兴趣大幅下降。为此，从背景知识出发，通过提出解决问题的思路，思考解决问题的方法，抽象解释理论概念及解决工具，最后回到实际问题中解释其相关结果，实现从实际中来到实际中去的教学目标，培养学生利用微积分知识解决实际问题的能力。

4.培养学生的逻辑思维能力。由于微积分知识体系严谨，从函数概念出发，到讨论函数极限、函数连续性、函数可导性，相互之间一环扣一环。只有在前面知识理解到位的基础上才能扎实地学好后面的内容。同样，求解不定积分又可以看成是函数求导运算的逆运算。而根据定积分中的牛顿-莱布尼兹公式，发现要想准确地求出定积分值，需要学生熟练地求解不定积分，至于二重积分的计算，就是转化为二次积分，两次求解定积分。这些知识紧密相连，不可分割。如果孤立地学习这些知识，必然会使学生听不懂，甚至觉得越来越难，无法掌握微积分的逻辑体系。

（二）教学内容的改革

1.根据学生数学学习能力的不同，适当进行分层教学，对不同层次的学生制定不同的教学大纲及相关内容。大一新生的数学能力参差不齐，除了不同专业之间学生的差异较大外，相同专业学生的数学基础也不尽相同。另外，对于未来有考研或出国计划的学生来说，对数学学习的需求一定比没有相关规划的学生要高很多。因此，采用分层教学，制定平行班和提高班，让学生根据自身的情况选课，找到适合自己的学习层次。教师针对不同层次的学生，设计不同的微积分学习内容。例如，对于平行班的学生，适当降低学习难度，对教学内容进行适当删减，如减少级数部分的函数展开和差分方程的相关内容，而对提高班的学生则适当提高题目的深度和广度，以适应未来学习和研究的需要。

2.偏重对微积分定义定理的讲解，使学生深度理解知识概念及理论。虽然学生的基础差异大，但是对基础概念及定理的理解是学好微积分的核心所在。比如，讲授极限概念时，如果能从极限概念本身出发，帮助学生找到在怎样的条件下得到怎样的结论。就数列极限“ε-N”定义而言，教师应清晰地说明N和ε所代表的意义，启发学生理解=A中的条件和结论，条件是n→∞，结论是un→A。因此，在定义描述中要想使得un的极限为A，即使得un与A的距离无限接近，可以用任意小的正数ε来描述，用数学表达式表达就是|un-A|＜ε。然而，这个结论是基于在n→∞的前提下，对于任意小的正数ε，都应该在满足n→∞时才成立，而n＞N恰恰包含第N项后的所有数列值，这样n→∞的条件自然也就满足了。讲完这个概念的重点后，学生对“ε-M”“ε-δ”的相关定义的理解就顺畅多了。

3.课程学习中适当引进数学建模理念，培养学生解决实际问题的能力。教授学生相关知识背景时，教师应该引入数学建模理念，这是架构实际问题和理论知识的桥梁［3-4］。例如，如何用微积分知识解释经济学中的边际效用递减理论？这就需要先建立效用函数模型，利用边际的概念对应微积分中的导数，再根据判断单调性的相关知识，便可以轻松得到效用导数递减的结论。又如，我们如何在直角坐标系下将二重积分转化成二次积分？此知识的理解对学生来说非常困难，这就需要我们结合日常生活中的实例。如从计算手撕面包的体积出发，首先在空间直角坐标系下建立面包上方的曲面函数，体积等于这个函数的二重积分；其实采用垂直x轴切片划分的方式，将手撕面包切片，并保证每片切片都很薄，面包体积转化为所有切片体积之和，这样二重积分等于以x为积分变量，切片截面面积为被积函数的定积分；最后视切片截面为一个曲边梯形，其面积等于函数在y-z平面上的定积分，至此二重积分就化为二次积分了。

数学建模能力的培养不是一蹴而就的，需要教师在平时的教学中慢慢渗透和引导，这样的培养方向一定要正确且有成效，从而激发学生学习微积分的兴趣［5］。

（三）教学手段的改革

1.将传统教学和多媒体技术相结合，提高课堂效率。传统的微积分教学是以教师板书为主，包括定义定理的书写。随着多媒体技术的发展，教师基本上都能制作PPT，一些定义定理的内容通过PPT直接呈现，可以节约教师的上课时间，从而将更多的精力花在定义定理的讲解上。事实上，随着网课的大力发展，慕课、学习通、雨课堂、腾讯会议等丰富多彩的教学辅助软件，在很大程度上丰富了教师的教学手段。在新冠肺炎疫情常态化阶段，多种教学方式能保证上课效果。例如，使用腾讯会议开展线上直播，可以充分使用其录制视频、所有成员可批注及屏幕共享等功能。与此同时，结合在PPT中嵌入雨课堂，将PPT推送给学生，通过记录学生签到、利用弹幕了解学生的学习需求、随机点名和课堂测验等功能，达到与学生充分互动的教学效果。

2.充分利用网络的便捷性，与学生积极交流。现在大部分学生都有电脑或手机，教师建立班级群，可以充分了解学生的学习需求，对于个别学生，可以进行一对一语音讲解。碰到学生提问频率较高的难题时，可以手写计算过程，拍照上传到群里；遇到好的微积分学习公众号和电子书籍，可以分享给学生；对于一些教学网站上的优秀教学视频，可以有针对性地提醒学生观看和学习。这样能将课堂延伸到课外，尽管教师要付出更多的时间与精力，但是充分扩大了教学空间，学生也能与教师直接交流，从而大大缩短了教与学的距离，极大地增进了师生间的感情。

3.针对学生的学习情况，努力提高习题课的题目质量。微积分作为一门数学学科，需要每节课做一定量的练习才能对知识加以理解和熟练掌握。但是在微积分课时不变的情况下，习题课的题目质量就十分重要了。对于书本上有的例题可以布置给学生自行学习，对经典题型可以进行重点讲解。同时，教师也要多做习题，尤其是考研题目，这样才能正确掌握每年考研的数学方向。应尽量选取课后习题、答疑时遇到的代表性习题、以往期中期末试卷中的习题及考研题目，这样能快速提高习题课的学习效果，帮助学生提高解题和应试能力。

三、“微积分”课程“学”的改革

要想学好“微积分”课程，除了教师“教”好课外，学生“学”好课也是重要的一环。“微积分”课程成绩往往由平时成绩、期中考试成绩和期末考试成绩综合评价而得。其中，平时成绩由学生的作业情况、出勤情况构成，这样得到的学生平时成绩不够全面。有的学生上课满勤但抄袭作业，却得到很高的平时成绩；有的学生由于课上学习没有理解透彻，作业自主完成，但正确率不高，反而影响了平时成绩。对于后一种学生，因其主动学习能动性高，教师应该鼓励并帮助其巩固所学知识，提升其学习微积分的信心。那么，如何动态有效地记录学生的学习情况，给予学生及时有效的评价，以下提出三点改革措施：（1）课程开始之前，根据未来自身的发展方向，制订适合自己的微积分学习计划。学生进入大学后，完全进入自主学习状态。学生对于大学学什么、怎么学要有清晰的认识。同时，初步确定未来的努力方向，改进中学阶段的学习方法，制订出适合自己的微积分学习计划。以上课不迟到、不早退、完成教师布置的作业为基准，充分和学长、学姐讨教学习经验，摸索出学习微积分的方法，并以微积分学习报告的形式交给教师。（2）充分参与课堂学习，及时向教师反馈学习效果。课上，如有问题可以使用腾讯会议中的举手、语音或弹幕等功能，及时向教师提出；课后，及时复习所学知识，可以向教师当面请教学习中的问题，从而有助于教与学一体化模式的形成。（3）加大课后习题的练习量，充分利用网络优势巩固所学知识。学生在完成教师布置的作业后，要积极、主动地选择相关学习材料，对所学内容加以巩固。腾讯会议等软件有录课的功能，因此可以和教师提出录课请求，便于遇到薄弱知识环节时在课后随时回放。也可以在互联网上寻找相关教学视频，倾听其他教师对这个问题的分析和讲解。经常和学习好的同学探讨知识，通过沟通交流加深对知识的理解。

结语

本文结合新冠肺炎疫情常态化和网络化时代的背景，讨论了“微积分”课程的教与学两方面，提出微积分的教学目标、教学内容、教学手段改革，并以学生课前学习、课中学习和课后学习为改革方向，以期达到教与学一体化。