FRP 筋混凝土T 形和矩形截面梁抗弯承载力计算方法

彭 飞，薛伟辰

(1.湖南大学建筑安全与节能教育部重点实验室，湖南，长沙 410082；2.湖南大学土木工程学院，湖南，长沙 410082；3.同济大学土木工程学院，上海 200092)

钢筋锈蚀降低混凝土结构的耐久性与安全性，当结构暴露在腐蚀环境下时，钢筋锈蚀问题尤为严重。2021 年，美国土木工程师学会的基础设施腐蚀调研报告表明，美国7.5%的桥梁因锈蚀而处于不同程度的结构损伤状态[1]。中科院海洋所腐蚀中心的调研结果表明，2014 年我国腐蚀总成本超过2 万亿元，其中仅公路桥梁的腐蚀成本就超过620 亿元[2]。已有科学研究和工程实践表明，采用纤维增强复合材料(fiber-reinforced polymer，FRP)筋代替钢筋是解决锈蚀问题的一个行之有效的方法[3-6]。FRP 筋具有抗腐蚀性能优良、抗拉强度高、受拉本构关系呈线弹性以及弹性模量较低等特点。根据纤维种类的不同，目前工程结构常用的FRP 筋包括玻璃纤维增强复合材料(GFRP)筋、玄武岩纤维增强复合材料(BFRP)筋、碳纤维增强复合材料(CFRP)筋和芳纶纤维增强复合材料(AFRP)筋等[6]。

自20 世纪70 年代以来，国内外学者广泛开展了FRP-RC 梁受弯性能试验研究[7-15]。结果表明，FRP-RC 梁的弯曲破坏模式为混凝土压碎(受压破坏)或FRP 筋拉断(受拉破坏)，均为脆性破坏。相比受拉破坏，发生受压破坏的梁具有更高的变形能力和安全性[16]，故受压破坏被认为是更理想的破坏模式。然而，工程实践表明，对于桥面板和T 形截面梁，受拉破坏是更为常见的破坏模式[16-17]。因此，在现行设计规范中，两种弯曲破坏模式均是被允许的。

由于FRP 筋和钢筋在力学性能等方面的差异，钢筋混凝土梁抗弯承载力设计方法不适用于FRP-RC 梁。对于钢筋混凝土梁，理想的破坏模式为钢筋屈服后混凝土压碎破坏。对于FRP-RC梁，因为FRP 筋的应力-应变呈线弹性，类似于钢筋混凝土梁的理想破坏模式只出现在平衡破坏点。理论上，受压破坏和受拉破坏可通过平衡配筋率ρfb(FRP 筋拉断和混凝土压碎同时发生的配筋率)区分，但由于材料、截面尺寸、FRP 筋位置的变异性，实际的破坏模式可能不同于预期的模式，即存在一个受拉破坏和受压破坏皆有可能的过渡区。目前，对过渡区的上限配筋率 ρ*尚无统一的取值。例如，美国规范ACI 440.1R-15[18]建议过渡区的上限配筋率 ρ*取1.4ρfb，但Vijay 和GangaRao[19]以及Yost 和Gross[20]建议ρ*取1.33ρfb。Lau 和Pam[21]通过试验发现 ρ*应大于1.4ρfb。

目前，国内外有关FRP-RC 梁抗弯承载力计算方法的研究主要集中在矩形截面梁[16-18,22-23]。此外，当梁发生受拉破坏时，受压区混凝土未达到极限压应变，传统的等效矩形应力图形不再适用。理论上，受压区混凝土的应力分布和相应的受压区高度需根据平衡条件、协调条件和材料本构关系迭代求解，不便于工程设计[16-17]。

自20 世纪90 年代以来，国内外陆续颁布了FRP-RC 结构设计规范。其中，我国规范GB 50608-2020[24]通过对矩形截面梁试验结果的回归分析，给出了FRP-RC 梁抗弯承载力计算方法，其条文说明明确指出该方法仅适用于矩形截面梁。此外，美国规范ACI 440.1R-15[18]和国际规范FIB Task Group 9.3[25]也仅针对矩形截面梁，而日本规范JSCE-1997[26]和加拿大规范CSA S806-12[27]仅给出了FRP-RC 梁抗弯承载力计算规定。特别的，对于受拉破坏控制截面，FIB 的计算公式需迭代求解。为简化计算，ACI 440.1R-15 将受拉破坏控制截面的中和轴高度取为平衡破坏状态时的中和轴高度，已有研究表明该方法过于保守[17]。

综上所述，目前国内外学者和设计规范对过渡区的范围尚存在分歧，且已有的FRP-RC 梁抗弯承载力计算方法一般针对矩形截面梁。此外，当梁发生受拉破坏时，抗弯承载力需迭代求解。因此，本文将系统收集FRP-RC 梁受弯性能试验数据，通过统计分析确定过渡区范围。在此基础上，本文将对FRP-RC 梁开展较系统的截面分析，以期建立同时适用于T 形和矩形截面梁的抗弯承载力简化计算方法。需要提到的是，本文提出的计算方法已被纳入行业标准CJJ/T 280[28]。

1 基本假定

基于已有试验研究结果[9-15]与我国规范GB 50010-2010[29]中相关规定，FRP-RC 梁正截面抗弯承载力计算采用如下基本假定：

1) FRP 筋与混凝土之间的粘结良好，截面应变分布符合平截面假定；

2) 不考虑受拉区混凝土作用；

3) 由于FRP 筋弹性模量通常较低，受压区FRP 筋对抗弯承载力的贡献非常有限[18]，故不考虑受压区FRP 筋作用；

4) 混凝土受压的应力-应变关系曲线按GB 50010-2010 中相关规定取用：

式中：σc为混凝土压应变为εc时的混凝土压应力；fc为混凝土轴心抗压强度值；ε0为混凝土压应力对应于fc的混凝土压应变；εcu为混凝土极限压应变；n为系数。

5) FRP 筋的应力-应变关系呈线弹性：

式中：σf为FRP 筋应变为εf时的应力；Ef为FRP 筋弹性模量；ffu为FRP 筋极限抗拉强度。

2 破坏模式和平衡配筋率

2.1 平衡配筋率

理论上，FRP-RC 梁的弯曲破坏模式分为受拉破坏、受压破坏和平衡破坏。其中，平衡破坏是指受拉区FRP 筋和受压区混凝土同时达到极限应变时的破坏模式，它是区分受拉破坏和受压破坏的界限破坏模式。当发生平衡破坏时，截面的应变和应力分布分别如图1(b)和图1(c)所示。此时，受压区混凝土的应力可以用图1(d)所示的矩形应力图等效。因此，平衡破坏状态下的截面内力平衡条件可表示为：

图1 截面应变和应力分布图：平衡破坏Fig.1 Strain and stress diagrams:Balanced failure

根据截面协调条件(图1(b))，得到平衡破坏时的相对混凝土受压区高度 ξfb：

式中：h0为截面有效高度；εfu为FRP 筋极限拉应变；β1为等效矩形应力图的受压区高度系数，可按文献[29]确定。

联立式(3)和式(4)，得到：

2.2 过渡区确定

FRP-RC 梁的抗弯承载力计算取决于破坏模式。理论上，若等效FRP 配筋率ρef低于平衡配筋率ρef,b，则破坏模式为受拉破坏，否则为受压破坏。但是由于材料强度的不确定性、计算模型假定和几何尺寸的变异性，实际的破坏模式可能不同于预测的情况。例如，当混凝土极限压应变高于假定的压应变εcu，则梁可能发生受拉破坏，即存在一个两种破坏模式皆有可能的过渡区。对于该过渡区的范围，已有的取值一般都是基于有限或特定参数梁的试验结果确定的，难以反映实际工程中梁的一般参数变化范围。因此，本文系统收集了包含T 形和矩形截面梁在内的257 根FRPRC 梁的受弯性能试验数据，采用式(6)和式(7)预测梁的破坏模式，发现20 根梁的实际破坏模式不同于预测的模式。基于收集的试验数据，本文建议过渡区上限配筋率可按下式确定[17]：

式中，σ 为发生受压破坏的梁的抗弯承载力理论值和抗弯承载力试验值之比的标准差。假定抗弯承载力试验值和抗弯承载力理论值之比呈正态分布，由概率统计可知，按式(8)得到的上限配筋率具有99.87%的概率发生受压破坏。

基于257 根FRP-RC 梁(其中155 根梁发生受压破坏)试验结果的统计分析，得到式(8)中的σ 等于10.9%。因此，过渡区上限的取值为1.5ρef,b。相比于受拉破坏，受压破坏因破坏前具有较大的变形能力，被认为是更为理想的破坏模式[30]。因此，在工程设计中，建议过渡区取为ρef,b＜ρef≤1.5ρef,b。表1 列出了配筋率和弯曲破坏模式之间的关系。

表1 配筋率与破坏模式的关系Table 1 Reinforcement ratio versus failure mode

3 抗弯承载力计算

3.1 受拉破坏控制截面

当梁发生受拉破坏时，受拉区FRP 筋的应变达到极限拉应变εfu，但受压边缘混凝土压应变εcf未达到极限压应变εcu。沿截面的应力和应变分布分别如图2(b)和图2(c)所示。在这种情况下，受压区混凝土应力可用系数α 和β 表示的等效矩形应力图近似代替，矩形应力图的应力取为αfc，受压区高度取为βx0，x0为中和轴到截面受压边缘的距离，如图2(d)所示。系数α 和β 需根据等效原则确定，即图2(d)所示的压应力合力等于图2(c)所示的压应力合力，且压应力合力的作用位置相同。因此，系数α 和β 需满足下列公式：

图2 截面应变和应力分布图：受拉破坏Fig.2 Strain and stress diagrams:Tension failure

如图2 所示，受拉破坏控制截面的内力平衡条件和协调条件可分别表示为：

为了确定系数α、β 和相对受压区高度ξ，需联立式(9)～式(12)数值求解，图3 概括了数值计算的步骤。通过改变受拉FRP 筋的配筋率ρef，重复图3 所示的程序，直到ρef达到ρef,b，得到相应的ξ。

图3 数值计算程序Fig.3 Numerical procedure

基于上述截面数值分析程序，考虑多个设计参数的影响，开展了25 344 个受拉破坏控制截面的参数分析。表2 列出了设计参数的取值，几乎涵盖了工程中常见的取值范围。其中，矩形截面梁数量占1/4，T 形截面梁数量占3/4。对于矩形截面，等效FRP 配筋率ρef的范围为0.2ρef,b～ρef,b；对于T 形截面，为确保中和轴位于腹板内，ρef的下限值ρef,min取决于受压翼缘厚度。FRP 筋弹性模量Ef取为45 GPa、55 GPa、75 GPa 和145 GPa，分别代表工程中常见的GFRP、BFRP、AFRP 和CFRP筋；FRP 筋极限拉应变εfu的范围取为0.01～0.025；混凝土抗压强度fc的范围取为30 MPa～60 MPa。

表2 设计参数的取值Table 2 Design parameter variation

针对表2 所列的设计参数，共开展了25 344个受拉破坏控制截面的参数分析。相关性分析表明，FRP 配筋率比ρef/ρef,b和受压翼缘宽度与腹板宽度之比是影响截面相对受压区高度ξ 的两个主要参数。在此基础上，通过对数值计算结果的多元回归分析，得到ξ 的计算公式：

统计分析表明，式(13)的确定性系数R2和相应的标准差Se分别为0.987 和0.035，即式(13)与数值计算值具有良好的相关性[31]。图4(a)～图4(c)分别表示受压翼缘宽度、FRP 筋极限拉应变εfu和受压翼缘高度对式(13)准确性的影响。可知，根据式(13)计算得到的相对受压区高度与数值计算结果吻合良好。

图4 相对受压区高度的变化规律Fig.4 Variation in non-dimensional equivalent depth of compression zone

特别地，对于矩形截面梁，美国规范ACI 440.1R-15[18]也给出了受拉破坏控制截面的简化计算公式，但该公式将相对混凝土受压区高ξ 取为平衡破坏时的相对混凝土受压区高度ξfb。图5 虚线表示了根据ACI 440.1R-15 得到的相对受压区高度。可知，ACI 440.1R-15 没有考虑FRP 配筋率改变引起的混凝土受压区高度的变化，低估了截面内力臂系数，从而低估了受拉破坏控制截面的抗弯承载力。

图5 相对受压区高度对比Fig.5 Comparison of non-dimensional equivalent depth of compression zone

根据式(13)确定相对受压区高度ξ 之后，系数α 可通过内力平衡条件确定：

图6 对比了系数α 的数值计算结果和简化公式计算结果，两者吻合良好。

图6 系数α 随ρef/ρef,b 的变化规律Fig.6 Variation in parameter α with ρef/ρef,b

根据弯矩平衡条件，得到受拉破坏控制截面的抗弯承载力计算公式：

需要提到的是，当按式(12)计算的x小于时，按梁宽为的矩形截面重新计算。

3.2 受压破坏控制截面

当梁发生受压破坏时，受压边缘混凝土压应变εcf达到极限压应变εcu，受拉区FRP 筋的应力未知。截面的应变和应力分布分别如图7(b)和图7(c)所示。此时，受压区混凝土的应力可用图7(d)所示的矩形应力图等效。

图7 截面应变和应力分布图：受压破坏Fig.7 Strain and stress diagrams:Compression failure

基于截面力的平衡条件和应变协调条件，得到以下公式：

式中，σf为破坏时受拉FRP 筋的应力。

需要提到的是，当按式(17)计算的x小于时，按梁宽为的矩形截面重新计算。

4 试验验证

为了验证本文方法的准确性，从国内外42 篇文献中系统收集了257 根FRP-RC 梁的试验数据，表3 列出了数据库中梁的来源和若干关键参数。所有梁均发生弯曲破坏。其中，GFRP-RC、BFRP-RC、CFRP-RC 和AFRP-RC 梁分别为203 根、25 根、8 根和21 根。表4 列出了抗弯承载力试验值与计算值之比(Mexp/Mcal)的平均值和标准差，根据本文方法得到的Mexp/Mcal的均值和标准差分别为1.06 和0.16。

表3 FRP-RC 梁数据库Table 3 Experimental database of FRP-RC beams

表4 试验验证Table 4 Validation of proposed design approach

图8(a)和图8(b)分别对比了受拉破坏和受压破坏梁的抗弯承载力试验值与计算值。可知，本文提出的计算方法能准确计算两种破坏模式下的FRP-RC 梁抗弯承载力。当梁发生受压破坏时，根据本文方法得到的抗弯承载力略低于试验值，这是因为计算中忽略了受压区FRP 筋的贡献；当梁发生受拉破坏时，忽略受压区FRP 筋作用对抗弯承载力计算的影响非常有限。

图8 抗弯承载力计算值与试验值对比Fig.8 Comparison of predicted flexural capacities with experimental results

对于过渡区截面，本文分别采用受拉和受压破坏控制截面的公式计算了抗弯承载力。结果表明，根据受拉破坏控制截面计算公式得到的Mexp/Mcal的均值和方差分别为0.97 和0.11，而根据受压破坏控制截面计算公式得到的Mexp/Mcal的均值和标准差分别为1.06 和0.18。这表明根据受拉破坏控制截面计算公式得到的抗弯承载力更准确。

5 结论

本文开展了FRP 筋混凝土T 形和矩形截面梁抗弯承载力计算理论研究。基于该研究工作，得到如下结论：

(1) 通过定义截面FRP-RC 梁的等效FRP 配筋率ρef，确定了受拉破坏和受压破坏的理论判别准则。基于257 根FRP-RC 梁试验结果的统计分析，改进了过渡区范围(ρef,b＜ρef≤1.5ρef,b)。

(2) 编制了受拉破坏控制截面的非线性分析程序，并开展了25 344 个截面的参数分析。通过对分析结果的多元回归分析，得到了受拉破坏控制截面相对受压区高度ξ 的简化计算公式。在此基础上，分别提出了受拉和受压破坏控制截面抗弯承载力简化计算方法，该方法同时适用于T 形和矩形截面梁。

(3) 将国内外257 根FRP-RC 梁的试验结果与本文方法的计算结果进行了对比，结果表明两者吻合良好，抗弯承载力试验值与计算值之比的均值和标准差分别为1.06 和0.16。

(4) 对于过渡区截面，其抗弯承载力可按受拉破坏控制截面计算公式确定。