高等数学解题中线性代数方法运用指导研究

◎商七一 （武汉纺织大学数学与计算机学院，湖北 武汉 430000）

引言

尽管高等数学和线性代数从根本上具备一定的差异性，一般都是分开进行的，但是这两门学科的一些解题思想是可以融会贯通的．在高等数学解题中，由于一些题型难度较大，若学生转变思维方式将线性代数的方法运用到解题中，会使解题更加容易，并对于自身学习成绩和思维能力的提高有着重要意义．

一、线性代数被广泛运用的原因

随着我国社会经济转型，我们更加重视高质量发展和科学技术的重要性．以往多数人认为线性代数的运用范围有限，但生活中的许多实际问题，以及某些科研领域、高等数学中比较复杂的问题都能够运用线性代数更加方便地解决．

其一，就是因为大自然中许多现象都呈现出线性变化的规律．在物理学中，整个物理世界可以被划分为常见的机械运动、电运动，还有当前科研热门领域的量子力学运动．我们认识机械运动是从牛顿第二定律开始的，从线性代数的角度来看，这是一个基本的线性微分方程，即物体的加速度与所受外力成正比．在电运动中，我们一定会从电是如何产生的谈起，麦克斯韦方程组就很好地向我们解释了电的产生，这个方程组表明了电场强度是与磁场变化率成正比的．量子化学（量子力学）是建立在线性Hilbert 空间的理论基础上的，没有线性代数的基础，就没有机会深入了解量子化学．而如今量子化学在材料领域和制药领域都是不可缺少的科学技术．由此可见，线性方程组在生活中、科学研究领域都发挥着极其重要的作用．灵活运用线性代数解决实际问题成了当前的热门研究方向．

其二，随着科学研究的不断深入，我们发现事物之间的联系是普遍多样的，为了研究单个变量的变化规律以及多个变量之间的关系，常常引入相关的线性模型以及一些近似于线性的模型．加上计算机的快速发展，线性化的问题可以通过计算机的编程计算出来．所以通过不断发展，线性代数成了解决这些问题的有力工具．

其三，对于学生数学能力的培养也有极为重要的作用．由于线性代数极为抽象，学生需要具备较缜密的数学逻辑，具备完善的数学分析能力和严谨的推理能力．因此，学好线性代数对于数学思维的培养极为关键．

二、高校线性代数教学的现状

线性代数的课程时长、考试比重都无法和高等数学进行比较，所以学生对线性代数的学习态度有所折扣．通过实地调研发现，我国高校对于线性代数的教学往往都是停留在书本基础知识上的，教师根据课时要求和教学要求制订相关的计划．这种教学模式一定程度上使学生的眼光受限．教师的教学重心如果偏向于教学进度和期末考试成绩，会使学生的学习热情和学习兴趣降低．如果跳出思维限制，学校通过一定范围内的试点研究，将线性代数拓展到高等数学、大学物理等其他专业课上，不妨是一条更好的教学路径．

三、学习线性代数具备的条件

线性代数的核心在于行列式，几乎所有内容都紧密联系着行列式．学生需要具备完善的逻辑思维能力、抽象思维能力和丰富的联想能力．线性代数的学习仅仅依靠死记硬背数学公式是行不通的，学生需要灵活变通，多想想怎么做、为什么这样做、还要怎么做．因此，在日常高校线性代数的学习过程中，教师应该更加注重对学生的基础知识和基础解题能力的培养．与此同时，教师也应该多融入其他知识，将线性代数灵活运用，将理论与实际结合、线代与高数结合、数学与生活结合，才能够更好地将知识融会贯通，让学生更加深刻地理解线性代数．在学习线性代数的过程中，我们应该注意以下几点．

（一）具备抽象思维能力

在线性代数这门学科之中，很多知识点都是较为抽象的概念，例如向量、矩阵和特征值等概念都需要学生利用抽象思维去理解才能够体会其含义．同时，各知识点之间也存在着抽象的联系，需要学生深刻地掌握各知识点才能进一步探究两者之间的联系．大学线性代数学科知识的学习不同于初高中的知识，其难度是较大的，不具备一定的数学知识基础和抽象思维能力是难以跟上课程进度的．教师在教学线性代数时，要将其当作一种数学工具来进行教学，要求学生在课前对课本进行预习理解，带着疑问来听课，对每一个知识点都应该做到详尽讲解，并大量地利用工程技术的范例，将知识点糅合在实际运用当中，引导学生进行学习．这种理论结合实际的教学方法能够将抽象的概念更加具体化并深刻体现线性代数作为工具的使用．抽象思维能力是线性代数学习的一大重要条件．

（二）具备逻辑思维能力

逻辑思维能力的训练是贯穿整个数学学习的，在其他学科以及生活中也有着广泛的运用．线性代数是一门逻辑思维能力要求较高的学科．在线性代数的教学中，知识点的教学应该是环环相扣、由浅入深的．递进式的知识点能够帮助学生更好地理解整合所学内容，锻炼学生的逻辑思维能力．这种环环相扣的教学方式对于课堂效率的提高也有着极大的辅助作用．在线性代数的学习中具备一定的逻辑能力是必要条件，搭建线性代数的学习框架知识结构，将知识点串接起来，才能更好地将线性代数运用到解题之中．线性代数的学习能够进一步锻炼学生的逻辑思维能力，使得学生的逻辑思维能力达到一个新的台阶，让学生在解题的过程中更好地挖掘出重要内容．

（三）具备其他能力

数学知识是枯燥和无趣的，特别是像高等数学，其知识的理论性极强，这就不仅需要学生具备抽象思维能力和逻辑思维能力，还需要学生能够在枯燥的线性代数概念中探究出趣味性，具备良好的数学核心素养．学生应在课前进行预习，在课上认真听讲，在课后进行知识脉络的整理和练习，达到对知识的灵活运用．因此，对数学的学习兴趣、良好的学习习惯以及对知识的运用能力也是学习线性代数的一些必要条件．

四、线性代数作为解题工具的核心内容

线性代数学习的核心内容是线性方程组，其解题的方法和依据也是来于知识点矩阵以及矩阵的初等变换．矩阵的初等变换中也包含着相当多的内容，但知识点的难易程度是有区别的．因此，在进行核心解题方法的教学时，教师要把握知识点的难易程度，由易到难地层层深入．同时，学生在学习的过程中要对矩阵的初等变换知识给予充分的重视，因为只有在学习时跟上步伐理解，在训练中将知识熟练运用，强化运算，才能够在实际运用线性代数这一工具进行解题时，熟练把握．线性代数作为数学解题工具，在计算机解题中也有着很多的运用，数学编程软件Matlab 在现代数学研究中的应用非常广泛，同时学生也可以利用这一软件进行解题，将高等数学的知识转化为线性方程组的知识．学生利用软件解题能够提高正确度和效率．从以上种种可以发现，线性代数是十分重要的数学工具．

五、线性代数方法作为解题工具的学习方法

线性代数是数学中极为重要的一个分支，主要研究向量以及线性变化，能够解决生活中的许多问题．所以在日常授课过程中，教师应该注重教学方法，注重对基础知识的讲解，引导学生掌握正确的线性代数学习方法，逐渐引导学生用线性代数的知识解决高等数学以及其他生活中的问题．

（一）重视基础知识的训练

基础知识一直都是数学学习的重中之重，“基础不牢，地动山摇”．线性代数的学习更是如此．线性代数是一个基本概念较多、公式复杂多变的学科．线性代数的知识相对于其他许多数学知识，概念较抽象，解题思路更为复杂，但是对线性代数概念的理解是学好线性代数的重要前提．学生只有充分地理解了概念以及概念之间的联系，才能够在解题时以较快的速度找寻出解题思路．线性代数概念知识中的很多说法，例如解方程的幂等问题都是高中阶段就接触过的知识，但是这些概念又是在以往学习的知识上进行了变形和深入，需要学生有着良好的数学基础．学生只有具备了一些基础性的理论知识才能在这个基础上进行更大难度的学习．重难点知识都是在基础知识上的升华，学生需要自己组合、灵活运用，只有熟练地把握基础知识，在解答难题时才能信手拈来．学生在学习过程中将知识进行整合梳理，加强对基础知识的探索学习是学习线性代数方法的重要保障．

例如，运用线性代数中二次型理论求高等数学极值问题中未知数这类问题时，如果采用高等数学的方法，解题的计算量将会较大，稍有不注意就有可能算错，但是采用二次型理论建立矩阵进行求解，先求出矩阵的特征值，再根据特征值对应的特征向量能够较快地求出未知数的值．这类问题的难度并不大，其核心就是基础知识的运用，因此重视基础知识的学习，加强对其运用的训练能够极大地缩短高等数学解题的时间，提高学习效率．

（二）注重各知识点之间逻辑的学习，熟练融合运用

线性代数的知识点多且具有一定的复杂性，要想将线性代数的知识学好并将其运用到高等数学的解题中就需要有着较好的知识整合能力，将各知识点串联组合成完备的知识体系，才能够发掘各知识点之间的联系．在这个过程中，学生能够很好地提高知识梳理能力、知识综合分析能力与理解能力．在线性代数中，有些知识点的学习不是单一的，而是必须融合以往学习的知识点才能理解掌握的，这就深刻体现了知识点之间联系的紧密性和复杂性．学生要想将线性代数的方法运用到高等数学的解题中就需要对线性代数的知识进行整体的把握，在实际训练中多加练习．解题方法的灵活处理是学习的关键，注重各知识点之间的逻辑学习，掌握各知识点之间的转换规律，才能够为解题提供更好的思路，同时为提升学生的学习效率打下坚实的基础．

例如，运用线性代数中正交变换判断二次曲面的类型这类问题中，如果采用高等数学的知识，也需要建立直角坐标来消除中间项进行确认．这样的解题方法会增大题目的难度，同时让学生不易理解，熟练掌握的难度较大．在进行这类问题的求解时运用正交变换能够使夹角和长度保持不变，图形也不会发生变化．根据方程式化简的结果判断图形，具体步骤如下，将方程式改写为函数的形式，求出其二次型矩阵进而得出特征值：写出各特征值对应的单位特征向量，进行计算后就可以得出二次曲面方程的标准方程，这样就能够直观地判断二次曲面的类型了．综上所述可以观察到，这类问题的解答中运用了二次型理论以及正交变换，二者的联合解题使得解法更为直观易懂．因此注重各知识点之间的逻辑学习，熟悉融合运用，对于逻辑思维能力的提升有较大的帮助．

（三）注重教师的科学引导作用

鉴于线性代数知识的复杂性，学生的自主学习是远远不够的，很多重难点的地方需要教师的点拨才能够达到更好的学习效果．首先，教师需要做好备课工作，注重基础知识的讲解，在教学的过程中根据实际案例或者概念知识的背景来讲解，加深学生对知识的印象，要求学生通过理解的方式对知识进行记忆，而不是死记硬背．其次，为了更高效地进行线性代数知识的讲解，教师需要营造一个和谐的学习环境．在目前的大学教育中，学习环境有着极大的提升空间，学校的制度缺乏灵活性，不够人性化，学习风气以及学习氛围比较浮躁．因此学校需要根据学校的实际情况，进行系统科学的分析，改善不良的风气，但不能采用“一刀切”，要形成完善、科学的人性化学生管理机制，不断完善学校的各种基础设施等，让学生能够在更加舒适的环境中学习生活．除此之外，线性代数课堂趣味性的提升可以吸引学生的注意力，增强学生对学习的兴趣．最后，教师需要对学生的学习情况进行整体的把握，在课堂内外积极给学生进行答疑，帮助学生解决线性代数学习过程中存在的疑问，巩固线性代数知识的教学，引导学生更高效地学习线性代数，并将其运用到高等数学的解题之中．

（四）将线性代数融入日常生活

学习数学这门学科，不应该仅仅局限于对数学知识的学习．学习数学的目的是解决生活生产中的问题．如果仅仅局限于书本知识，没有将线性代数运用到实际生活中，就难以激发学生的学习兴趣，有悖于数学教学的初衷．所以相关教师应该革新教学方法，将枯燥的书本公式转化为解决生活生产中难题的得力助手．例如，建筑工程中材料用量的计算需要线性代数，天气预报也会运用线性代数进行建模分析，高等数学的诸多问题都与线性代数相互贯通，等等．这些实际生活中常见的事物都能够用线性代数进行计算分析．如果教师教会学生应用线性代数解决实际问题的方法，一定能够有效地激发学生的学习兴趣，在锻炼学生线性代数计算能力、理解基础知识的同时，满足当代多元化教学、素质育人的要求．

结语

高等数学的学习难度是较大的，保证线性代数方法在高等数学中的运用教学需要学生和教师两方的共同努力．在学习的过程中，学生需要端正学习态度，注重线性代数知识框架的搭建．教师需要引导学生，帮助学生巩固理解重难点知识的作用，提高学生对知识的综合运用能力．