运用初等数学处理“彩虹圈”中的几个物理问题

张 明

(江苏省盱眙中学 江苏 淮安 211700)

1 引言

在一次课外活动中，笔者所教的几个中学生拿着“彩虹圈”向笔者问了几个物理问题.“彩虹圈”是一种很流行的弹簧玩具，极其柔软，通常由弹性好的彩色塑料制成，整体的横截面有圆形、正方形、心形、五角形等等,簧丝截面为扁矩形.簧圈之间有一定的极小的预收缩力，不受外力时所有簧圈紧密排列在一起，因此不能压缩，可以拉伸,可以弯曲.由于劲度系数很小，仅在自重的作用下就可以伸展为原长的十几倍以上，它还可以自动翻滚、自动下楼梯等等，表现出许多奇妙的现象.若将处于水平地面的彩虹圈提起，让它在自重的条件下完全伸展，如图1所示，当上端释放时，彩虹圈的下落过程与一般物体不同.令人惊奇的是，彩虹圈的收缩过程如同坍塌的高楼，它的底端在空中悬停不动，而它的上端从上至下依次做多米诺骨牌式的收缩，收缩下落尚未达到的点的平衡和静止状态保持不变，直至收缩到最低点，坍缩为一个紧密排列的整体后，才开始以一定的初速度整体向下做落体运动[1，2].从彩虹圈释放开始,底端一直保持悬停，时间持续到彩虹圈完全坍缩.

图1 分析形变量

学生问的几个物理问题，在文献[1，2]中能找到部分答案，但该文献的论述中涉及波动力学方程、非齐次微分方程等，中学生既无相关物理知识基础，也不具备相应的数学知识和运算能力，无法理解和接受，所以下面提出彩虹圈的简化模型，尝试运用中学生能理解的初等数学知识，对模型进行处理，解决彩虹圈中的几个核心物理问题.

2 模型

彩虹圈是质量为m，匀质圆柱状弹簧；紧密排列，预收缩力很小，忽略不计；遵循胡克定律；由于劲度系数κ极小，在自身重力作用下伸长量即可达原长的十几倍以上，故原长忽略不计.

3 几个物理问题

若将彩虹圈按质量等分为无穷多的n段，则每段质量

由于整个弹簧相当于n段小弹簧的串联，故每小段弹簧劲度系数

κ′=nκ

将处于水平地面的彩虹圈缓慢提起，让它在自重的条件下完全伸展，刚好离开地面.下面讨论彩虹圈的伸长量、能量、坍缩和悬停时间、落地速度和能量损失.

3.1 形变量L

如图2所示，从下至上,每段依次标记为1，2，3,…，n,第i段的伸长量记为Δxi，则有

κ′Δxi=iΔmg

故

(1)

从第1到第i段总形变量

(2)

由于n趋于无穷大，当i=n时，可得弹簧总形变量

(3)

3.2 彩虹圈中的能量E

方法一:能量之和

彩虹圈的弹性势能和重力势能分别用Eκ和Ep表示，以水平地面为重力势能的零势能面，则第i段重力势能

ΔEpi=Δmgxi

将式(2)代入得

所以

利用数学公式

(4)

可得

当i=n时，由于n趋于无穷大，略去小量，可得整个弹簧的重力势能

将式(3)代入，得

(5)

第i段弹性势能

将式(1)代入得

所以

由式(4)可得

当i=n时，由于n趋于无穷大，同理略去小项，可得整个弹簧弹性势能

将式(3)代入，得

(6)

最后将式(5)、(6)代入E=Eκ+Ep，得弹簧的总能量

方法二:功能原理

由功能原理知，从地面缓慢提起彩虹圈，拉力F做的功W转化成了彩虹圈的弹性势能和重力势能.

当提起第i段时

Fi=(i-1)Δmg

在提起第i段的过程中，Fi向上移动的距离

Δx′i=xi-xi-1

利用式(2)可得

由于Δx′i极短，Fi可看作是不变的，所以提起第i段拉力做功

提起从第1段到第i段拉力做的总功

当i=n时，利用数学式(4)并略去小量，同理可得

将式(3)代入，得

(7)

3.3 质心坍缩和悬停时间

由于弹簧上端释放后，在整体落地前受到的外力只有重力，根据质心运动规律可知，质心做自由落体运动.质心到达弹簧的底端时，刚好弹簧坍缩在一起，成为一个整体，然后以一定的速度整体向下做落体运动.所以彩虹圈底端悬停的时间即坍缩时间,就是质心做自由落体运动的时间.

设弹簧的质心距地面的高度为hc，则

将式(2)代入得

当i=n时，由于n趋于无穷大，由式(4)略去小量和式(3)，同理可得

或利用式(5)，由

也可以得出

由此可以看出，彩虹圈的重心不在中心处，因为提起的彩虹圈上疏下密，直观上就可以看出重心在中间偏下的地方.质心自由落体时间，即底端悬停时间

若将式(3)代入上式可得

(8)

式(8)揭示了一个有趣的结论：彩虹圈坍缩时间由自身的质量和劲度系数决定，与重力加速度无关！也就是说，同样一个彩虹圈，在地球、月球、火星等重力加速度不同的地方做如上实验，尽管彩虹圈伸长量、质心高度不同，但悬停时间是一样的.

3.4 落地速度及能量损失

彩虹圈释放后，一边收缩一边下落，弹性势能和重力势能转化为动能.由于质心做自由落体运动，彩虹圈坍缩至地面

将式(3)代入可得

落地时动能

由式(7)知，落地时的动能只有彩虹圈伸展时初始总能量的一半，即

损失的原因是彩虹圈从上至下坍缩，是完全非弹性碰撞过程，损失的另一半能量最终以热的形式耗散掉了.

4 结束语

若考虑彩虹圈的原长，以及在下面悬挂一个重物，则上述方法依然有效，所得结果的形式不变，只是会多出含有原长和重物的项，参见文献[1，2].忽略彩虹圈的原长是为了突出问题和方法的关键，使得运算和结果简洁易懂.