损耗电阻对RLC串联谐振电路品质因数的修正

钱浩媛 王 楠 闫 夙 王 丽

(吉林师范大学物理学院 吉林 四平 136000)

RLC串联谐振是大学物理实验的一个重要内容[1]，其电路由电感L，电容C和电阻R串联组成，如图1所示.谐振时，容抗和感抗电位相等，电路中的电压和电流相位相同，电路呈现出电阻性.谐振电路性能的好坏可以用品质因数Q来表示.对于串联谐振，谐振时L或C的电压可以被放大为电源电压的Q倍，所以串联谐振也称为电压谐振.

图1 RLC串联谐振电路图

实验过程中，学生们发现Q的实验值总是小于理论值，有时相对误差可以高达10%以上，从而给学生带来一定的困扰，甚至怀疑实验的正确性.通过对RLC串联谐振电路进行分析，这应该是由工作在交流状态下L和C存在一定的损耗电阻Rs造成的.文献[2]通过具体的实验对电路中的总损耗电阻进行了测量，从而对Q的理论值进行了修正，使得相对误差降低到4.4%以下.但测量总损耗电阻的实验相对复杂，并且新添加的电阻箱可能带来新的系统误差.本论文在没有改变RLC串联电路的基础上，测量出不同R下Q的实验值，通过对实验数据的拟合得到电路中的Rs，从而对Q的理论值进行修正，以此达到降低实验相对误差的目的.

1 理论

设电路中L的直流电阻为RL，则Q的理论值为

(1)

考虑电路中Rs的存在后，对上式进行修正，得

(2)

对式(2)取平方，得

(3)

令y=Q2，x=R+RL，A=Rs和B=C，则有

(4)

2 实验

本实验使用的实验仪器为交流电路综合实验仪DH4505，其中电感L=100 mH时的直流电阻RL=20 Ω，交流毫伏表的型号为AS2173D.连接图1，固定输出电压U=1 V，L=100 mH，C= 0.03，0.05，0.10，0.15和0.20 μF，R在50 Ω～400 Ω之间取不同值时，分别测量出L和C在谐振状态下两端的电压，即UL和UC，则Q的实验值为

(5)

实验数据如表1所示.

表1 L=100 mH时，不同电路的谐振频率f0和Q实验

3 结果和讨论

图2 L=100 mH，C=0.1 μF时，Q2与R+RL的实验关系曲线图

图3出了L=100 mH时，Rs,C和f0的三维立体关系曲线图.从图中可以看到，当C从0.03 μF增加到0.2 μF时，f0从2 907.2 Hz减小到1 126.0 Hz，同时Rs从19.25 Ω减小到5.36 Ω.在频率较高的情况下，L中的铜导线由于趋肤效应会产生较大的附加损耗电阻，所以Rs随着f0的增大而增大.

图3 L=100 mH时，Rs,C和f0的三维立体关系曲线图

图4给出了L=100 mH，C取不同值时，实验相对误差与R的关系曲线图.修正前和修正后的实验相对误差Δ分别为

其中Q修正前和Q修正后分别由式(1)和(2)计算而得.图4(a)为C取不同值时，Δ修正前随着R的变化曲线.可以看到C=0.03，0.05，0.10和0.15 μF时，Δ修正前随着R的增大而减小，R值较小时实验相对误差较大应该是由于Rs不可忽略造成的.例如，当C=0.03 μF，R=50 Ω时，Δ修正前最大，达到20.5%.而当C=0.20 μF时，Δ修正前随着R的增大而增大，R值较大时实验相对误差大应该是由于Q值太小，实验测量不准确造成的.例如，当C=0.20 μF，R=400 Ω时，Q仅有1.4，说明此时电路的谐振特性曲线I-f钝化得非常明显，造成f0测量的不准确性，从而使得Δ修正前达到15.8%.此外，即使按照教材[3]的实验条件取C=0.05 μF，R=100 Ω，Δ修正前也有10.6%.由此可见，较大的误差必然给学生造成困扰.图4(b)～(f)分别为C=0.03，0.05，0.10，0.15 和0.20 μF时，Δ修正前和Δ修正后随着R的变化曲线.可以看到，Δ修正后明显小于Δ修正前，说明该修正方法是可行的.此外，比较图4(b)～(f)，在RLC串联谐振电路中，C和R的取值对实验的准确性有很大的影响.综合考虑，当L=100 mH，C取0.05 μF，R在150 Ω～300 Ω之间时，电路不仅有较高的Q值，而且实验的相对误差较小.

图4 L=100 mH，C取不同值时，实验相对误差与R的关系曲线图

4 结论

在测量RLC串联谐振电路品质因数的实验中，通过数据拟合的方法，估算出电路中的损耗电阻，从而对理论值进行修正，有效地减小了实验相对误差.该方法原理简单，易于操作.此外，通过Origin软件进行数据处理不仅准确方便，还会极大地激发学生的学习兴趣，培养他们的科研创新能力.