适度的探索空间，让探究更有效

○王 英

《平行四边形面积》是小学教学五年级上册“多边形面积”单元的起始课，在“图形的面积计算”教学中起着承上启下的作用，对于培养学生的问题解决能力、掌握转化的数学思想方法、发展空间观念和几何直观都有重要意义。在教学实践中，一些教师由于为学生提供的探索空间不合适，从而导致学生的探究活动不能深入，本节课核心素养培养目标不能落实。

【教学回放】

师：（出示教材图）这两块草坪到底哪个面积大呢？要解决这个问题就要研究平行四边形面积该怎样算，老师为大家提供了研究工具，大家可以数一数、量一量、算一算。

（学生开始探索，用时约8 分钟。）

师：下面来交流一下你们的方法。

生：我用的是数方格的方法，数出了这个平行四边形的面积是24 平方厘米。

师：给大家介绍一下你是怎么数的。

生：我先数整格的，一共有20 个，再数不满一格的，一共8 个，把不满一格的都按半格算，8÷2=4（个），20+4=24（个）。

师：这个平行四边形比较小，可以数方格。大家想想，要是很大的一块平行四边形土地，还能数方格吗？

生：不能。

师：看来不能光数方格，我们还得研究更一般的方法。谁来说说其他方法。

【诊断分析】

一些教师觉得数方格是个笨方法，数着慢、适用范围小，因此在教学中常常一笔带过，没有为这种方法提供充足的探索空间，一方面数方格方法的引出不是基于学生的需求，另一方面方法的交流也不充分。出现这些问题，主要还是教师对这种方法的价值认识不到位，任何图形的面积都是面积单位的累加，数方格就是数出图形里含有多少个面积单位，从而得出图形的面积。如果教师不过多提示和限制，如不提示不满一格按半格计算，学生是可以探索出更简便的数方格方法的，而把不好数的平行四边形转化成好数的长方形来数，恰好能激活学生割补转化的经验，为后面创造性地想出割补转化方法打下基础。

【教学重构】

师：考考大家的眼力，猜猜我手中这个平行四边形纸卡的面积有多大。

学生随意估测，有猜得比较接近的，也有差别较大的，教师接着引导学生思考“估”的标准。

师：1 平方厘米有多大？回忆一下。（然后把1平方厘米的面积单位和平行四边形纸卡都放在展台上）这回大家再猜猜。

师：现在有好几种猜测了，谁猜得更准呢？怎么才能准确知道这个平行四边形的面积有多大？你有什么好办法吗？

生：画上1 平方厘米的小方格量一量。

师：哦，你是想画上格子用面积单位去量一量。

生：量出这个平行四边形的底和高，用底乘高就能算出面积了。

师：你的意思是用底乘高就能求出平行四边形的面积。你怎么知道的？

生：看书预习的。

师：有些同学预习了，知道可以用面积公式计算出面积。假如不知道面积公式，怎么得出这个平行四边形的面积呢？

教师设计了估测平行四边形纸卡面积的问题，创设了“估”的情境，激发了学生“数”面积单位的需求，唤醒了学生以往面积概念学习的经验，加深了学生对面积概念的认识。而想办法得出平行四边形纸卡面积，作为一个问题解决的探究任务提出来，激起了学生的探究热情，为学生探索平行四边形面积提供了具体的研究任务。

师：老师给大家提供了两个同样大小的平行四边形，一个放在了方格纸上，一个是单独的，再加上尺子和剪刀，都可以作为你们的工具，可以数、量、剪拼、计算，总之，想办法得出这个平行四边形的面积。不管用哪种方法，都要说明这样做的道理。

（学生独立研究5 分钟左右，然后交流想到的方法。）

师：研究出这个平行四边形的面积是多少平方厘米了吗？

生：它的面积是24 平方厘米。

师：谁愿意到前面给大家讲讲你的方法？

生：把不满一格的与右边的凑成整格，然后数数一共是多少个整格。

生：我的方法好数，我把左边多的三角形移到右边变成长方形数。

生：我也是把左边的三角形挪到右边，接着计算，一行6 个格，共4 行，一共是6×4=24（个）小方格，每格1 平方厘米，24 格就是24 平方厘米。

生：我也是把平行四边形变成长方形，然后用长乘宽求出长方形的面积。长是6 厘米，宽是4厘米，所以面积是24 平方厘米。

教师提出恰当的要求，为学生提供了主动思考的探究空间，使一些学生创造性地想出了解决问题的好办法。充分的交流激活了学生的转化经验，为后面把没有方格的平行四边形进行割补转化打下了基础。

【教学回放】

师：除了数方格的方法，还有其他方法吗？

生：我是把平行四边纸卡从左边这样剪开，然后把左边的三角形平移到右边，就拼成了一个长方形。最后用长乘宽就能算出面积。

师：他的方法很好。还有其他的剪拼方法吗？

生：我是这样剪的，沿着平行四边形中间的高剪，然后剪下一个梯形，平移到右边，也拼成了一个长方形。

师：请大家看大屏幕，（结合课件讲解割补转化过程）任何一个平行四边形，只要沿着它的高剪开、平移，都能拼成一个长方形。

【诊断分析】

在探究及交流割补转化方法的过程中，探究空间过大，教师缺乏引导，导致学生思考不深入。“为什么要割补成长方形，而不是其他图形？为什么一定要沿着高剪才能割补成长方形？”教师没有启发学生思考这些问题。“沿着其他的高剪能不能转化成长方形？”这一问题也只是少数学生进行了思考，欠缺全体学生的尝试。只研究了一个平行四边形，就直接说任何一个平行四边形都能转化成长方形，是不严谨的，不利于培养学生的逻辑推理能力。

【教学重构】

师：除了数方格的方法，还有其他方法吗？

生：把平行四边形左边多的这个三角形剪下来，挪到右边，拼成一个长方形，量出长方形长6厘米、宽4 厘米，用长乘宽就能算出面积是24 平方厘米。

（1）师：为什么要把平行四边形割补成一个长方形？

生：因为不会直接求平行四边形的面积，但是我们会求长方形的面积，所以要把平行四边形变成一个长方形。

师：把新问题转化成旧问题，就会解决了。那要求的是平行四边形的面积，他求的却是这个长方形的面积，行吗？

生：行，这个长方形和这个平行四边形面积是相等的。把左边多的三角形剪过来，就拼在右边了，面积没有变化。

（2）师：刚才他是在这儿剪一刀。我想问问，是随便在哪儿剪都行吗？

生：不是，这是平行四边形的高，得沿着高剪才行。

生：不行，不沿着高剪不出直角，就拼不成长方形了。

（3）师：只能沿着这儿（指着通过顶点的高）剪吗？还有没有其他的剪法，也能拼成长方形？动手试试。

（学生展示沿着不同的高剪，都能剪出直角，平移后都能拼成一个长方形。）

（4）师：刚才大家把这个平行四边形转化成了长方形，是不是任意一个平行四边形都能通过剪拼转化成长方形？除了像这样常见的平行四边形，还有一些长得有点特别的平行四边形。

（出示4 个形状或放置位置比较特别的平行四边形。）

师：下面大家都试一试，从中选择1～2 个图形，也可以自己画一画你认为比较特别的平行四边形，然后进行研究。不用实际剪，把割补的想法用草图表示出来就行。

（请一些学生展示并讲解自己的做法。）

师：通过尝试，我们发现任何一个平行四边形都可以割补转化成一个长方形。

教师适度的引领，使大部分学生在操作及思考中发现，转化的关键是转化前后面积不变，无论沿哪条高剪，都能把平行四边形转化成长方形。另外，因对特殊形状的平行四边形的关注，为学生提供了更充分的探究空间，让推理更严谨，让操作和思考更充分，能更好地促进学生对转化思想的感悟，积累用转化方法推导面积公式的数学活动经验，同时发展学生的几何直观和空间观念，提升数学核心素养。