光学系统装配误差分析及装调路径优选

周 双，刘子建

（湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室，湖南 长沙 410082）

1 引言

随着科学技术的发展，光学系统的成像质量以及制造装配精度要求越来越高，光学系统的公差设计、精度分析及装调技术研究在光学系统研究领域占据越来越重要的位置。

在光学系统的公差分析领域，文献[1]对小口径高精度折射式光学系统用全过程仿真计算进行成像质量预估，通过对光学公差进行再分配，实时调整公差。文献[2]给出了通过光学系统加工误差来计算镜片偏心、倾斜和间隔误差的模型，并通过蒙特卡罗方法评估物镜装配后的像质。在光学系统的装调领域，计算机辅助装调技术（CAA-Computer Aided Alignment）利用软件技术和系统，根据光学系统波像差的检测结果计算出元件失调量，辅助和指导光学系统的装调[3]。

上述研究涉及的公差分析仅局限于光学公差，并未考虑机械零件公差的影响，建立涉及机械误差和光学公差的综合分析模型方面的研究不多。另一方面，对于CAA中失调量的计算值如何准确地转化为实际装调工程中的调整量问题，也没有提出有效的解决办法[4]。鉴于此，分析了多种公差综合对透镜装配倾斜误差和偏心误差的影响，从光学公差和机械公差设计的角度综合评价光学系统设计的合理性。借助于光学元件的分划和绕中心轴线旋转装入的角度，提出了透镜与镜筒装配位姿量化方法及装调路径描述方法。基于像质评价标准MTF对公差进行灵敏度分析，进一步提出基于误差权重因子的装调路径优选方法。

2 多公差综合透镜装配误差分析

传统的光机结构设计流程中光学设计和机械结构设计相对独立，光学工程师根据光学原理提出光学公差要求，结构工程师据此确定机械零件的尺寸公差和形位公差，但是现有方法很难对机械公差满足光学公差的程度作出准确的预估判断[5]。本节通过分析多种公差综合对装配误差的影响，建立基于光学元件公差和机械零件公差的综合误差装配模型，得到球面接触形式和平面接触形式下的最大偏心误差和倾斜误差，确定了实际装配误差分布的区间。用其与光学设计中装配公差设计值做比较，从光学公差和机械公差设计的角度综合评价光学系统设计的合理性。

2.1 透镜球面接触形式装配时的误差分析

在光学系统的实际装配过程中，装配误差是由多种加工误差综合影响导致的，要综合分析所有加工误差对装配误差的影响是十分复杂的。本节在假设透镜楔形公差、透镜外圆柱面直径公差、镜筒内径尺寸公差远大于其他公差对装配误差的影响的基础上来分析透镜球面接触形式的装配误差。

透镜在研磨过程中，会产生楔形误差。楔形误差产生的倾角[6]：

式中：δ—倾斜误差；Δt—楔形公差；D—外圆柱直径。

设透镜与镜筒径向配合的最大间隙为Cmax，由镜筒内径尺寸公差的和透镜外圆柱直径公差决定。透镜的楔形公差与尺寸公差对装配误差的综合影响，如图1所示。轴线O0C为透镜的理想光轴，实线表示透镜存在楔形误差时所在位置，此时透镜第一外表面中心由C移到C1，透镜的光轴变为OC1；虚线表示透镜存在装配间隙时偏离理想光轴的极限位置，此时透镜第一外表面中心由C1移到C2，透镜的光轴为OC2。其中，∠C1OF=∠C2OF1=β，sinβ=D/(2R)。

图1 球面接触形式的误差分析Fig.1 Error Analysis for Spherical Surface Contact

由几何约束关系可得：

式中：α，δ—微小量，因此求得透镜由尺寸公差和楔形公差综合影响造成的最大倾斜误差γmax和最大偏心误差emax为：

2.2 透镜平面接触形式装配时的误差分析

由于带有凹球面的透镜通常加工时在超过通光区域留有平面，所以可以看作接触面为平面。通过分析透镜与镜筒装配时各类公差对透镜倾斜及偏心的影响，透镜和镜筒尺寸公差，平面度公差以及镜筒轴肩相对于机械轴的垂直度公差对装配误差影响最显著[5]，由于公差之间的关系遵循尺寸公差大于位置公差，位置公差大于形状公差的设计规则[7-8]，因此以尺寸公差（最大装配间隙为Cmax）和镜筒轴肩垂直度公差Tp来分析平面接触形式的装配误差。

由图2可知：镜筒轴肩垂直度公差对透镜装配时产生的最大倾斜误差γmax为：

图2 平面接触形式的误差分析Fig.2 Error Analysis for Plane Contact

装配间隙和镜筒轴肩垂直度公差综合影响产生最大偏心误差emax为：

3 透镜装配位姿定义

假设光学系统透镜总数为m，为了度量透镜装入旋转的角度，利用光学元件的分划工艺在透镜边缘等分划n条刻度线，并且标记刻线角度。镜筒则只设置一条刻线，把x负半轴方向作为镜筒的刻线。定义透镜旋转时，透镜刻线与镜筒刻线对齐时所处的位置状态为透镜的装配位姿，如图3所示。用Lij表示，其含义为第i块透镜的第种j装配位姿，代表第i块透镜是以刻线360°(j-1)/n与镜筒刻线对齐的。透镜装配位姿Lij对应的（偏心、倾斜）装配误差以及刻线角度，如表1所示。

图3 透镜的分划与装配位姿定义Fig.3 Lens’s Division Technology and Definition of Assembly Position

表1 装配位姿的表达Tab.1 Description of Assembly Position

光学元件的分划与透镜的装配位姿定义，将透镜与镜筒的装配位姿量化为具体的旋转角度，同时建立装配位姿与装配误差对应关系。

在光学系统实际的装调过程中，各个透镜不同的装配位姿对应着不同的装配误差，这些装配误差可以通过光学测量装置一一测得。装配误差大小是多种加工误差综合作用的结果，所以装配位姿对应装配误差的分布是随机的。这里通过随机数来模拟实际测量的装配误差的大小。透镜的偏心误差大小取值范围为[0，emax]，透镜倾斜误差大小取值范围为[0，γmax]，其中emax和γmax可利用第2节讨论的装配误差分析方法求得。因此按上述方法对实际测量的装配误差大小进行随机数模拟即可得到m个透镜的n种装配位姿对应的偏心误差ei及倾斜误差γi(1≤i≤m)，如式（7）、式（8）所示。

4 公差灵敏度分析与误差权重因子定义

4.1 光学系统公差灵敏度分析

在光学设计仿真软件ZEMAX中，灵敏度公差分析是评价光学系统输出结果变化相对于元件公差敏感程度的方法。在现代光学设计中，光学传递函数是目前公认的能充分反映系统实际成像质量的评价指标。光学传递函数分为两部分：调制传递函数和相位传递函数，而真正决定成像质量的是调制传递函数MTF。在ZEMAX中，用MTF作为评价标准的灵敏度公差分析的流程，如图4所示。

图4 ZEMAX灵敏度公差分析过程Fig.4 Tolerance Sensitivity Analysis Process in ZEMAX

在ZEMAX中计算出每个透镜不同误差对应的MTF值，然后以每一透镜的MTF值为纵坐标，对应的误差设置值为横坐标确定一组点，对这组点进行三次样条插值得到灵敏度曲线。如此，可以得到m个透镜关于偏心误差或倾斜误差的m条灵敏度曲线，如图5所示。

图5 透镜的偏心公差灵敏度曲线Fig.5 The Decentration or Tilt of Lens Tolerance Sensitivity Curves

在图5中，灵敏度曲线关于误差的变化率越大，说明该透镜的误差对光学系统MTF的影响越大[9]。也就是说，当装配误差处于公差范围内时，透镜的MTF对误差项的敏感程度与灵敏度曲线的变化率成正比，如果用灵敏度曲线两端点连线斜率的绝对值近似地代表曲线的平均变化率，则可以求得各个透镜偏心公差灵敏度曲线的平均变化率Kei(1≤i≤m)和各个透镜倾斜公差灵敏度曲线的平均变化率Kγi(1≤i≤m)。

4.2 误差权重因子的定义

在透镜的装调过程中，对于公差灵敏度曲线变化率较大的透镜，装调时对应的误差应该重点控制，而对于公差灵敏度曲线变化率较小的透镜，装调时可以放宽其误差的范围。为了表达对透镜偏心误差及倾斜误差的控制程度，在装调时，把可能达到装配要求的误差区间定义为误差合格区间，把能影响装配误差合格区间大小的因子定义为误差权重因子h(0＜h＜1)。由于透镜灵敏度曲线变化率越大的，对应的误差合格区间应该控制的较小，因此定义各个透镜误差权重因子大小之比等于各透镜公差灵敏度曲线的平均变化率的倒数之比。设hei(1≤i≤m)为各透镜的偏心误差权重因子，hγi(1≤i≤m)为各透镜的倾斜误差权重因子，则有：

最小偏心误差权重因子和最小倾斜误差权重因子的初值可按照如下方法确定：设偏心误差最为敏感的透镜为透镜p(1≤p≤m)。式中：epmin，epmax—透镜p的最小和最大偏心误差值；倾斜误差最为敏感的透镜为透镜q(1≤q≤m)。式中：γqmin，γqmax—透镜q的最小和最大倾斜误差值；Kemin，Kemax—偏心公差灵敏度曲线平均变化率的最小值和最大值；Kγmin，Kγmax—倾斜公差灵敏度曲线平均变化率的最小值和最大值。为了保证每个透镜至少有一个装配位姿对应的装配误差值位于该透镜的装配误差合格区间内，即保证至少有一种装配位姿满足装配要求，同时保证最大的误差权重因子小于1，hep，hγq必须满足：

确定了最小偏心和倾斜误差权重因子初值之后，可由式（9）和式（10）求得所有透镜的误差权重因子。

5 光学系统装调路径优选

设一个光学系统中的透镜数为m，每块透镜与镜筒装配时可能有n种装配位姿。透镜以各自的某一种装配位姿进行装配时，形成光学系统的一条装调路径，其中1≤j1，j2，...，jm≤n。在装调过程中，如果每个透镜的所有装配位姿都参与装配，则有nm种装调路径。因此对于装调难度大且成像质量高的光学系统，确定最佳的装调路径，减少装调的次数具有重要意义。

定义［ce］为偏心误差布尔矩阵，其元素为偏心误差合格区间为[0，hei*eimax]，其中偏心误差权重因子hei由式（9）可求得。eimax为第i块透镜的最大偏心误差，由式（7）求得。当装配位姿Lij对应的偏心误差eij＜hei*eimax时，偏心误差对应的装配位姿符合装配要求，即取1；反之，则元素取0。偏心误差布尔矩阵的元素定义，如式（13）所示。

定义［cγ］为倾斜误差布尔矩阵，其元素大小为(1≤i≤m，1≤j≤n)，倾斜误差合格区间为[0，hγi*γimax]，其中倾斜误差权重因子hγi由式（10）可求得。式中：γimax—第i块透镜的最大倾斜误差，由式（8）求得。当装配位姿Lij对应的倾斜误差γij＜hγi*γimax时，说明该倾斜误差对应的装配位姿符合装配要求，即取1；反之则元素取0。倾斜误差布尔矩阵的元素定义，如式（14）所示。

由上分析可知，利用倾斜误差布尔矩阵和偏心误差布尔矩阵对装调路径的综合优选必须满足：只有当两个布尔矩阵中的元素和同时取1时，误差对应的装配位姿才符合装配要求。用表示符合装配要求的装配位姿，则有：

6 实例分析

经过初步设计的三片式柯克物镜系统的主要零件图，如图6所示。其中只标注了这里分析所需尺寸及公差。

图6 三片式柯克物镜的零件图Fig.6 Parts Drawing of Cooke Triplet Objective System

光学设计最初分配的元件加工公差和装配公差，是基于系统像质要求以及当前的装调工艺水平进行分配的。三片式柯克物镜系统的部分初始设计公差要求，如表3所示。

表3 透镜初始设计公差Tab.3 Lens’s Initial Design of Tolerance

6.1 分析各类公差对倾斜误差和偏心误差的影响

透镜1与镜筒装配时，可以视为其与镜筒装配时为平面接触，如图6所示。透镜1的最大装配误差可由式（5）和式（6）求得：

透镜2为双凹球面透镜，与镜筒装配时为平面接触。其最大装配误差可由式（5）和式（6）求得：

透镜3为双凸球面透镜，与镜筒装配时为球面接触。透镜3的最大装配误差由式（1）、式（3）和式（4）求得：

比较表3和上述透镜装配误差分析结果可知，透镜2、3装配时可能达到的最大装配误差都在其设计公差范围内；而透镜1的最大偏心误差超出了其设计公差范围，所以透镜3的机械公差设计并没有很好地满足光学公差设计要求。需要对与透镜1的偏心装配公差相关联的公差设计值重新分配。

6.2 透镜的装配位姿定义

在光学系统装调之前，采用第2节所示方法沿透镜边缘分划出等量刻线，并标记角度。假设三片式柯克镜头的各个透镜分划的刻线为8条，在装调过程中各个透镜通过旋转，透镜刻线与镜筒刻线对齐时的所有装配位姿，如表4所示。

表4 装配位姿的表达Tab.4 Description of Assembly Position

在6.1中已经求得图6中三块透镜的最大偏心误差和最大倾斜误差。通过Matlab随机函数在0到最大误差值间取值来模拟实际测量的装配误差。三块透镜装配位姿对应的偏心误差和倾斜误差分别为：

6.3 透镜偏心公差和倾斜公差的灵敏度分析

三片式柯克物镜系统的初始结构参数，如表5所示。其相对孔径D/f=1/4.5，视场角2ω=40°。按照4.1中灵敏度公差分析方法，利用ZEMAX软件对库克三片式镜头进行了偏心和倾斜公差的灵敏度分析，运用Matlab软件对所得数据进行处理，得到各个透镜的偏心和倾斜误差对系统MTF的灵敏度曲线，如图7、图8所示。

图7 透镜偏心公差灵敏度分析Fig.7 Analysis of Decentration Tolerance Sensitivity of Lens

图8 透镜倾斜公差的灵敏度分析Fig.8 Analysis of Tile Tolerance Sensitivity of Lens

表5 三片式柯克物镜初始结构参数Tab.5 The Initial Structure Parameters of Cooke Triplet Objective System

由图7中曲线的变化率可知，透镜1的偏心误差对像质评价函数MTF影响较小，透镜2的偏心误差对系统MTF影响最大，所以在装调过程中，应该重点调节与控制透镜2的偏心误差。

各透镜偏心公差灵敏度曲线的平均变化率之比为：

由图8中曲线的变化率可知：透镜2倾斜误差对系统MTF影响最小，透镜3的倾斜误差对系统MTF影响最大，所以在装调过程中，应该重点调节与控制透镜3的倾斜误差。

各透镜倾斜公差灵敏度曲线的平均变化率之比为：

6.4 透镜误差权重因子的确定

由上节中求得的灵敏度曲线平均变化率之比及式（9）、式（10）可以确定偏心误差权重因子及倾斜误差权重因子的比值：

由于透镜2的偏心误差最为敏感，由式（11）确定透镜2的偏心误差权重因子初值范围：0.17＞he2＞0.13

因此取he2=0.15，能保证装调时透镜偏心误差控制得较小，也能使最大偏心权重因子不超过1。因此可得：he1=0.9，he3=0.23

由于透镜1的倾斜误差最为敏感，由式（12）确定透镜1的倾斜误差权重因子初值范围：0.25＞hγ1＞0.13

因此取hγ1=0.20，能保证装调时透镜倾斜误差控制得较小，也能使最大倾斜权重因子不超过1。因此可得：

6.5 光学系统装调路径优选

由式（7）、式（8）可求得各个透镜的最大偏心误差和最大倾斜误差：

由式（13）、式（14）可得误差布尔矩阵[ce]，[cγ]：

利用倾斜误差布尔矩阵和偏心误差布尔矩阵对装调路径的综合优选，由式（15）求得符合装配要求的装配位姿矩阵

因此，结合表4中透镜装配位姿对应刻线角度可知：当三片式库克物镜装调时，透镜1以45°的装配位姿装入，透镜2以45°或180°的装配位姿装入，透镜3以90°或225°的装配位姿装入时，能满足光学系统像质评价标准MTF的要求。因为MTF是系统各个像差的综合评价标准，当系统需要对单个像差如慧差、像散、场曲进行校核时（球差与倾斜和偏心无关，只与透镜间间距有关[10]），需要在以上装配位姿附近进行精调，以达到光学系统所有成像要求。

7 结论

分析了透射式透镜以球面接触形式和平面接触形式装配时，多种公差对装配倾斜误差和偏心误差的综合影响，可用于对光学元件公差及机械零件公差设计的合理性进行了评价。借助于光学元件的分划和绕中心轴线旋转装入的角度，提出了一种透镜与镜筒装配位姿量化确定方法及透镜装调路径描述方法。利用光学设计仿真软件ZEMAX进行了公差的灵敏度分析，从而进一步提出了基于误差权重因子的装调路径优选方法。最后以一个三片式柯克物镜系统的装调为例，从光学公差和机械公差设计的角度综合评价光学系统公差设计的合理性，并给出了在装配过程中各个透镜合理的装入角度，简化了该光学系统装调的步骤，验证了研究结果的合理性。研究对CAA技术的使用和光机装调操作有很好的借鉴作用。