自适应匹配追踪算法在齿轮故障特征提取的应用

熊林瑞，韩振南，李延峰

（太原理工大学机械工程与运载学院，山西 太原 030024）

1 引言

齿轮作为齿轮箱的重要部件，在现代科技中有着不可替代的作用。由于齿轮自身的旋转特性而产生的周期性冲击振动，同时齿轮的早期点蚀故障信号特别微弱，稀疏性差，这给齿轮早期的故障分析带来了考验。

为了实现对齿轮箱故障信号进行更加精确的分析，近年来，文献[1-2]提出了压缩感知理论（CS），CS以低于Nyquist采样率的速度进行信号采样。先通过观测矩阵将稀疏信号从高阶数据线性投影为低阶数据，最后再从低阶数据精确地重构原信号，重构的信号剔除了大部分不重要的信息[3]，保留了原信号的主要数据特征，这给信号分析带来了新的方向。CS理论压缩信号的方法包括正交匹配追踪算法（OMP）[4]算法，匹配追踪算法（MP）[5]，核匹配追踪算法（KMP）[6]等。将匹配追踪算法用于齿轮的故障诊断，重构出齿轮故障信号，达到降噪的目的，通过时频分析，能够发现齿轮箱的故障。但匹配追踪算法每次迭代的结果是次最优的，这导致重构的信号精度不够，需要的内存大，运行时间长，效率低。OMP算法需要多次去选择信号的稀疏度，而稀疏度的选取直接影响算法重构信号的精度，且OMP算法迭代过程中每次只选择一个原子来更新子集合，这都导致重构时间过长。而且每次重构时恢复数据的计算存在误差，同时需要较多的观测次数，对于稀疏性差的信号重构的质量也相对较低。主要采用自适应匹配追踪（SAMP）算法提取齿轮的故障特征。与其他匹配追踪算法相比，SAMP算法可以在未知道信号稀释度的情况下，应用回溯思想，通过采用逐步更新步长，不断增加原子规模的方法，来更加精确的重构故障信号，降低故障噪声，同时减少了重构的时间。对于稀疏性差的信号也能有相对好的处理效果。

2 自适应匹配追踪原理（SAMP）

SAMP算法对所有符合RIP[7]条件的观测矩阵和稀疏信号都可以准确重构，且不需要预知稀疏度。先通过观测矩阵将稀疏信号从高阶数据线性投影为低阶数据，最后再从低阶数据精确地重构原信号，剔除了大部分不重要的信息，保留了原信号的主要数据特征。SAMP算法应用回溯思想[8]，在稀疏度K未知的前提下，在迭代的过程中，自适应的选择最佳的匹配原子根据新残差与旧残差的比较来确定选择原子的个数。SAMP算法分多阶段迭代，在每个阶段自适应改变支撑集的大小，经过迭代从候选集中选择支撑集中的原子，不断自适应更新支撑集，实现在未知K的情况下达到信号稀疏的目的。其基本原理，如图1（a）所示。

图1 自适应匹配追踪算法框图Fig.1 Block Diagram of Adaptive Matching Tracking Algorithm

假设信号x在稀疏矩阵ψ下是稀疏的，则：x=ψθ

式中：θ—x的稀疏表示。

由压缩感知理论可知测量矩阵为：y=Φx

式中：Φ—测量矩阵；y—测量矩阵。当满足一定条件下，能够通过测量矩阵y精确重构信号x：min‖x‖0，s.t.y=Φx。

SAMP算法的流程图，如图1（b）所示。其中输入：观测值y，M×N感知矩阵A=ΦΨ，步长S。

初始化：r0=y，F=Θ，S=Θ，L=S，t=1，残差rt；迭代次数t；索引集合Λt；元素个数L。

其中，选择u中L个最大值，将这些值对应A的列序号j构成集合Sk（列序号集合）。SAMP算法分多阶段迭代，在每个阶段不改变支撑集的大小，则：

逐步更新残差，直到满足迭代条件：

由于大多数信号不具备稀疏性，需要选取合适的测量矩阵和稀疏矩阵。构造了一个N×N的随机高斯测量矩阵Φ，稀疏矩阵选择单位矩阵，运用到SAMP算法能够处理稀疏性差信号，且重构精度高。步长的选取也影响重构的精度，处理齿轮箱故障振动信号时，选择固定步长为5，经过验证能够保证稀疏度估计的准确性。改变以往匹配类追踪算法选择设置迭代步数作为终止条件的方法，把残差值是否达到为零作为终止条件，能够更加有效的使噪声值降到最低，更加有效的提取故障的主要特征。

3 仿真试验信号

齿轮箱的振动信号是所有齿轮副振动情况的综合，由于转轴对各频率都有调制作用，形成调幅，调频，和混合调制信号。其齿轮的故障信号模型［9］为：

式中：M—啮合频率的最高阶次；fn—调制频率；fz—啮合频率；Xm—振幅；B—调幅的指数；β—调频的调制系数；n(t)—噪声。

简化齿轮的故障信号数学模型，便于分析齿轮故障。取一两分量的调幅调频模拟测试信号x（t），其表达式如下：

采样频率Fs=2048Hz；采样长度为2048点。仿真信号中齿轮的双调制信号载波频率分别是300Hz和500Hz，调制频率分别为20Hz和50Hz。在理想状况下的分析往往并不能很好的说明问题，为了进一步研究SAMP算法的有效性，给原始信号加上-10dB的白噪声结果，如图2所示。

图2 纯净信号分析图Fig.2 Pure Signal Analysis Diagram

功率谱图出现了载波频率300Hz，以及（300-20）Hz和（300+20）Hz的边频带，也出现了载波频率500Hz以及其（500-50）Hz，（500+50）Hz的边频带，且500Hz边频带幅值大于300Hz（符合500Hz的调制系数大于300Hz的特征），故障特征明显，但在低频段没有出现调制频率20Hz和50Hz，如图2（b）所示。进一步分析，图2（c）包络谱图中在低频段出现调制频率分别为20Hz和50Hz及其倍频，但载波频率及其边频被抑制，对比图2（b）和图2（c）故障特征明显。功率谱图出现了载波频率边频带，但幅值很小基本淹没于干扰成分中，如图3（b）所示。进一步分析，包络谱图中在低频段出现调制频率分别为20Hz和50Hz及其倍频，同样淹没于噪声中，故障特征不明显，如图3（c）所示。

图3 加噪信号分析图Fig.3 Analysis Diagram of Signal with Noise

功率谱图出现了载波频率300Hz，以及（300-20）Hz和（300+20）Hz的边频带，也出现了载波频率500Hz以及其（500-50）Hz，（500+50）Hz的边频带，且500Hz边频带幅值大于300Hz（符合500Hz的调制系数大于300Hz的特征），故障特征明显，但在低频段没有出现调制频率20Hz和50Hz，如图4（b）所示。包络谱图中在低频段出现调制频率分别为20Hz和50Hz及其倍频，但载波频率及其边频被抑制，如图4（c）所示。

对比图2（a）～图4（a），能够得出结论，经过SAMP算法处理的故障信号时域波形图和没有经过处理的加噪故障信号相比，时域波形周期性振荡更加明显。和纯净信号时域波形相比，SAMP算法能够提取噪声，且重构精度较高。对比图2和图4（b）、图4（c），可以得出经过SAMP算法处理后能够提取齿轮的主要故障特征。对比图3和图4（b）、图4（c），经过SAMP算法处理过的加噪齿轮故障信号，能够很明显的提取载波频率及其边频带，降低干扰成分。由以上分析可知，SAMP算法能够降低噪声，提取齿轮的主要故障特征。

图4 SAMP重构加噪原始信号时频图Fig.4 Time-Frequency Diagram of SAMP Reconstruction and Noise of Original Signal

4 基于SAMP的齿轮箱故障诊断

为了进一步验证SAMP算法在处理齿轮故障的有效性，2018年7月至2018年11月做齿轮的故障实验，通过加速度传感器收集振动信号，试验过程中，4个加速度传感器安装在齿轮箱上壳体上，同时接受振动数据保证接受数据的同步性。电动机的转速为1200（r/min）左右，实验齿轮齿数为18齿，为了加快获取齿轮的故障信号，采用1：1半齿啮合。采样点数设置为1000，采样频率为12000Hz左右。实验采用逐级加载，每隔一个小时加载一次，从200N/M，300N/M，500N/M，800N/M一直加载到1000N/M，将一个正常齿轮运转到出现点蚀情况停止。试验数据采集，每隔半个小时用YE7600动态数据采集仪记录一次数据，每隔1个小时停机打开箱盖检查齿面情况。通过计算可得，齿轮的啮合频率为360Hz转频为20Hz。

实验完成后整理齿轮的故障数据，现在选取一组出现故障的数据分别做原始信号和重构信号时频分析，由于在数学模型仿真阶段得出结论包络谱图能够达到好的效果，在实验数据分析部分采用包络谱分析，同时将SAMP算法对比OMP算法结果，如图5所示。图5中为SAMP算法和ROMP，OMP算法稀疏度K与重构精度关系对比图。根据压缩重构理论可知数据稀疏性越好，稀疏度越小，则重构精度越高。如图所示在处理齿轮箱故障数据时，由于故障信号的稀疏度未知，设K=（10，20，30，40，50，60，70）作为横坐标。精确重构概率百分比作为纵坐标。如图5所示，不同算法在不同稀疏度下重构概率不同，且整体随着稀疏度的增大精确重构的概率降低，下降最快的是ROMP算法，下降最慢的是SAMP算法。SAMP算法在稀疏度小于60以下，基本能够精确重构故障信号。相比ROMP和OMP，SAMP算法能够更好的处理稀疏性差的信号。从图6（b）中原始信号包络谱图中出现啮合频率360Hz以及半频180Hz，但没有出现明显的边频带，干扰成分较多，啮合频率及其变频带基本被掩盖，故原信号的包络谱图不能很好的体现故障特征。

图5 稀疏度K与重构精度关系图Fig.5 Relation Graph Between Sparsity K and Reconstruction Accuracy

图6 原始故障信号时域和包络谱图Fig.6 Time Domain and Envelope Spectra of Original Fault Signals

OMP重构故障信号包络谱图中出现啮合频率360Hz以及半频180Hz，及其转频的半频10Hz和转频的3倍频，但啮合频率360Hz峰值较低，如图6所示。边频带被完全掩盖，任然存在大量的干扰成分，如图7所示。经OMP算法处理过的故障信号的包络谱图不能很好的体现故障特征。

图7 OMP重构故障信号时域和包络谱图Fig.7 OMP Reconstruction Fault Signal Time Domain and Envelope Spectrum

出现齿轮啮合频率360Hz和半频180Hz，且振幅增高，180±的边频带，如图8（b）所示。在低频段出现转频20Hz的半频，基本没有干扰成分，故障特征明显。

图8 OMP重构故障信号时域和包络谱图Fig.8 OMP Reconstruction Fault Signal Time Domain and Envelope Spectrum

对比图6（b）原始信号的包络谱图，能够看到经过SAMP处理后齿轮啮合频率以及半频和转频更加明显，边频带也更加突出，干扰成分降到最低。证明SAMP算法能够提取主要齿轮故障特征信息，有效降低噪声影响。对比图7（b），相对于OMP算法处理齿轮故障信息，进过SAMP算法处理的故障信号，故障特征更加明显，且重构信号精度更高，证明SAMP算法对于OMP算法，齿轮故障特征的提取具有更好的发展前景。

5 结论

与其他匹配类追踪算法对比，在稀疏度K未知的前提下，SAMP具有更高的重构精度。对于稀疏度低的故障信号，重构精度可以达到100%。通过选取合适的字典库，步长，以及迭代终止准则，使SAMP算法能够运用于齿轮箱的故障诊断。对仿真和齿轮故障实验实测信号的分析，与OMP算法相比，SAMP算法重构的齿轮故障信号精度更高，能够更好的提取故障特征，为齿轮的故障分析提供了一个全新的方向。

但在应用过程中也有不足之处。如，在处理稀疏性特别差的齿轮故障振动数据时，重构精度不高；由于SAMP算法是固定步长的方法来逼近稀疏度，可能会影响算法重构精度和效率。这里为后续变步长自适应匹配追踪算法的研究奠定了基础。