质量偏心Timoshenko梁的振动波特性研究

王 剑, 袁秀峰, 胡永彪

(1.长安大学 工程机械学院,西安 710064;2.法兰泰克重工股份有限公司,江苏 苏州 215211)

工程实践中，梁模型是船体低频段动力学分析最常用的简化物理模型[1-2]。

Fahy[7]在其著作中分析了杆的纵向振动波、Timoshenko梁的弯曲波，发现杆中的纵向波为非频散的传播波，梁中的弯曲波一组为衰减波，一组为传播波。El Masri等[8]指出梁中的衰减波在截止频率之后会转变为传播波。有大量学者对于振动波在梁结构中的传播，进行了详细研究，比如在渐变截面梁[9]、曲梁[10]、含有非线性间断梁[11]中的传播，轴向力对弯曲波的影响[12]。Mei[13]详细分析了Timoshenko梁中弯曲波的传播特性，为利用行波法研究非连续复杂梁结构的动力学特性打下基础。Kalkowski等[14]用实验测量了变截面梁中的弯曲与纵向波数。

本文针对质量偏心Timoshenko梁，首先推导了其截止频率的解析表达式；考察了质量偏心下三组振动波的变化，尤其是波型转变效应；分辨了三组波数对应的振动形式，并研究了质量偏心及频率变化对各组波数对应位移比的影响。

1 公式推导

考虑质量偏心的Timoshenko梁弯-纵耦合振动方程如式(1)和(2)

(1)

(2)

式中:ρ是梁的密度;A是梁的截面面积;e是质量中心和形心之间的距离;I是梁截面的截面惯性矩；u是梁的纵向位移;v是梁的横向位移；E是弹性模量;k是截面的剪切系数;G是剪切模量。

采用分离变量法

u(x,t)=U(x)sin(ωt+φ)=Beλxsin(ωt+φ)

v(x,t)=V(x)sin(ωt+φ)=Ceλxsin(ωt+φ)

(3)

(4)

其中：

Z11=ρ2eω4+ρekGω2λ2

Z12=kGEλ3+kGρω2λ

Z22=ρAekGω2λ

式(4)有非零解，其系数矩阵的行列式为零可得到特征方程

E2kGI·S3+Eρω2(EI+2kGI+2kGAe2)·S2+

ρω2(2EIρω2+2EAe2ρω2+kGρIω2+

kGρAe2ω2-kGEA)·S+

ρ2ω4[(I+Ae2)ρω2-kGA]=0

(5)

其中,S=λ2。

式(5)为关于S的一元三次方程，将其改写为

aS3+bS2+cS+d=0

(6)

根据卡尔丹求根理论[15]，其三个根分别为

(7)

对于一般的Timoshenko梁，其波数的解析表达式为[17]

(10)

显而易见，式(10)右端大括号外取“+”时，为两组沿x轴负方向传播的负行波；取“-”时，为两组沿x轴正方向传播的正行波。大括号中间的“±”如果取“-”，波数kb为纯虚数，即传播波；取“+”时，随着频率的增大，大括号里的数值会从正值变为负值，即存在一个波形转换，振动波会从衰减波转变为传播波，这个频率就是截止频率。令式(10)的数值等于0即可得到截止频率

(11)

对于质量偏心的Timoshenko梁，具有波形转换特性的振动波数的平方对应的是表达式(7)，即当表达式(7)的值等于0时，此刻的频率为质量偏心Timoshenko梁的截止频率。根据一元三次方程求根理论，Δ<0时，表达式(7)的两个三次方根计算出的值为一对共轭复数，在表达式(7)的值等于0时，可令：

(12)

(13)

对式(12)两边立方，可得：

(14)

在式(14)中消去τ，得到关于ω的方程，即：

27b6a()3q2()2+p3()3=0

(15)

(16)

其中，ac、bc、cc、dc在附录中给出。求解此方程即可得到质量偏心Timoshenko梁的截止频率ωc_E。

据卡尔丹公式，给出正实数解。式(17)即为存在质量偏心时，Timoshenko梁中弯曲波截止频率的解析表达式

(17)

其中

接下来给出弯曲振动和纵向振动的振型函数。式(6)为λ的六次方程，则其根可表示为

(18)

故而振型函数可表示为

V(x)=Ceλx=

C1eλ1x+C2eλ2x+C3eλ3x+C4eλ4x+C5eλ5x+C6eλ6x

(19)

U(x)=Beλx=

B1eλ1x+B2eλ2x+B3eλ3x+B4eλ4x+B5eλ5x+B6eλ6x=

H(λ1)C1eλ1x+H(λ2)C2eλ2x+H(λ3)C3eλ3x+

H(λ4)C4eλ4x+H(λ5)C5eλ5x+H(λ6)C6eλ6x

(20)

根据式(4)，B和C之间存在如下关系

Bj=H(λj)Cj，j=1,2…,6

其中

(21)

质量偏心会引起弯-纵耦合振动，纵向振动便是通过H(λj)与弯曲振动联系起来。

2 算 例

表1给出了一个圆形截面梁的几何与物理参数，其中υ是泊松比，R是梁截面半径，剪切因子k是根据Cowper[18]对圆形截面的研究所取。

表1 计算模型的参数

首先来考察质量偏心率对波数的影响，定义偏心率ee=e/R。

图1给出了截止频率随质量偏心的变化，可以看出，质量偏心使得截止频率降低，也就是那组弯曲振动衰减波会提前出现波数转变，变为弯曲振动传播波。

图1 截止频率随偏心率的变化Fig.1 Variation of cut-off frequency with eccentricity

式(18)中的三组波数，每组波数互为相反数，因此只考察λ1、λ3、λ5。图2给出了各种偏心率下波数λ1的变化情况，纵坐标Ω是频率比，即Ω=ω/ωc。可以看出，λ1在低频为弯曲振动的衰减波，无质量偏心时波数值在频率比等于1处由纯实数变为纯虚数，也就是说λ1对应的振动波在截止频率处由衰减波转变为传播波。存在质量偏心时也有同样现象，只不过关键频率随着偏心率的增大会减小，使得波形转变提前发生，与图1结果吻合。

图2 各种偏心率下的波数λ1Fig.2 Wavenumber λ1 under various eccentricity ratios

图3给出了各种偏心率下波数λ3的变化情况。圆频率的物理意义为单位时间上振动波相位的变化，波数的物理意义是单位空间上振动波相位的变化，它们之间通过波速互相联系，图3中曲线斜率的绝对值即为波速的倒数。对于非频散波，波速恒定，其波数应为一条直线，可以看出，偏心率为0时也存在频散现象，由此判断λ3对应的弯曲振动波，且不论是否存在质量偏心，λ3对应的振动波始终为传播波。

图3 各种偏心率下的波数λ3Fig.3 Wavenumber λ3 under various eccentricity ratios

再来考察质量偏心下弯-纵振动的耦合情况。计算梁模型存在质量偏心率ee=0.3、0.6、0.9时的波数λ，代入式子(21)即可得到相应λ下的位移比H(λj)=Bj/Cj。不存在质量偏心时，纵向振动与弯曲振动是解耦的，也就不存在位移比。

图4 各种偏心率下的波数λ5Fig.4 Wavenumber λ5 under various eccentricity ratios

图5给出了ee=0.3时各波数对应的位移比。可以看出，λ1与λ3对应的位移比在低频时较小，也就是弯曲振动占绝对优势，随着频率上升，λ1对应的位移比中纵向振动明显上升，当频率比大于0.7时，位移比大于1，即λ1对应的纵向振动位移大于弯曲振动，在频率比为0.8左右，也就是质量偏心Timoshenko梁的截止频率处存在一个峰值。随着频率上升，λ3对应的位移比纵向振动有所上升，但是弯曲振动始终占主导地位。λ5对应位移比纵向振动位移占绝对优势，但随频率上升，弯曲振动幅值变大，尤其当频率大于截止频率后，此波数对应下的纵向振动与弯曲振动位移比趋近于1。

图5 ee=0.3时各波数下的位移比Fig.5 Displacement ratio of wavenumbers under ee=0.3

图6给出了三种偏心率下λ1对应的位移比，可以发现，质量偏心率越大，在频率升高时，纵向振动所占比例的增加程度也越大。偏心率ee分别等于0.3、0.6、0.9时，频率比Ω分别在0.70、0.48、0.36之后纵向位移大于弯曲位移。同时，三条曲线都在各自截止频率处出现了峰值。

图7给出了λ3对应的位移比，波数λ3对应的振动形式在低频时弯曲振动占绝对优势，虽然随着频率或质量偏心率的增大，纵向振动的成分会加大，但始终还是以弯曲振动为主。

图8给出了λ5对应的位移比，波数λ5对应的振动形式在低频时纵向振动占绝对优势，随着频率或质量偏心率的增大，弯曲振动的成分会加大。偏心率ee分别等于0.6、0.9时，频率比Ω分别在0.63、0.39之后弯曲位移大于纵向位移。

图6 各种偏心率下λ1对应的位移比Fig.6 Displacement ratio corresponding to λ1 under various eccentricity ratios

图7 各种偏心率下λ3对应的位移比Fig.7 Displacement ratio corresponding to λ3 under various eccentricity ratios

由于纵向位移通过质量偏心引入式(1)和(2)，即u=eθ，可以看出随着偏心e的增大，弯曲对应的转角引起的纵向位移也将增大，但θ与v并不是简单的线性关系，因此，增大后的纵向位移u在λ5下会引起弯曲位移v的变大，即偏心的增大会加剧纵向与弯曲振动的耦合程度。这也就解释了为何图6、7中的位移比随着偏心率的增大而增大，图8中的位移比却随着偏心率的增大而减小。

图8 各种偏心率下λ5对应的位移比Fig.8 Displacement ratio corresponding to λ5 under various eccentricity ratios

3 结 论

本文针对质量非均匀的Timoshenko梁，研究了质量偏心对其振动波的影响规律。推导了质量偏心下截止频率的解析表达式，研究了三组振动波在质量偏心下的波形转换，考察了三组波数对应的纵向-弯曲振动位移比，分析了弯-纵耦合随频率及质量偏心率的变化规律。得到了如下结论：

(1) 质量偏心会降低Timoshenko梁的截止频率，偏心越严重，截止频率下降越多。

(2) 质量偏心Timoshenko梁存在三组振动波，低频下，前两组以弯曲振动为主，第三组以纵向振动为主，在频率或偏心率提高时，弯-纵耦合程度加剧，尤其第一、三组振动波，在超过一定频率后，占主导的振动形式会发生变换。

(3) 第一组振动波在低频时为衰减波，达到截止频率后其转变为传播波，第二组、第三组振动波始终为传播波，但质量偏心的存在使得第三组振动波其由非频散波转变为频散波。

附录A