渗透在浙江数学高考题中的归谬与反证思维

徐 剑, 步一隽

(1．杭州第十四中学，浙江 杭州 310006；2．杭州第四中学，浙江 杭州 310018)

2021年是浙江省数学高考文理合卷的第5年，命题继续秉承知识与能力并重的理念，以考生未来发展为本，聚焦考查数学的核心素养．坚持全面考查基础知识、基本方法与技能，注重数学思想，突出数学本质；坚持以能力立意，强调对数学创新能力的考查，突出理性思维与数学探究．浙江省数学高考命题也继续保持传承与创新同行的风格，核心知识与关键能力反复考查，不断推陈出新，持续引领中学数学教育[1]．

分析2017—2021年的浙江省数学高考卷，每年均有部分试题渗透着归谬与反证思维，对学生逆向分析意识、逻辑推理能力进行考查，值得高三师生在复习备考中重视．

1 归谬法与反证法

确定某个命题真伪的思维过程称为论证，它分为证实与证伪两类．根据在证明过程中是否使用原命题的否定，又可以划分为：直接证明与间接证明．归谬法：首先假设某命题成立，然后从假设出发经过正确的推理，最后得出矛盾、不符已知事实或荒谬结果，从而判定该命题不成立，是证伪的思维过程．反证法：假设原命题不成立(即假设原命题的否定成立)，然后从假设出发经过正确的推理，最后得出矛盾，说明假设错误，从而证明原命题成立，是证实的思维过程．反证法的依据是“排中律”，在论证结构上较归谬法更复杂，在论证过程中也往往会使用到归谬法．归谬与反证二者既相似，但又有区别，是逆向思维的集中体现，应用广泛．英国近代数学家哈代曾经这样称赞：“归谬与反证是数学家最有力的武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法，它还要高明．象棋对弈者不外牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让予对方！”

2 高考真题回顾

近5年的浙江省数学高考卷中，一部分试题渗透着归谬与反证思维，下面举例说明．

( )

A．0 B．1 C．2 D．3

(2021年浙江省数学高考试题第8题)

思路1一方面，根据假设得

(1)

另一方面，由基本不等式得

sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα

(2)

思路2一方面，根据假设得

(3)

另一方面，

sinαcosβ·sinβcosγ·sinγcosα

(4)

思路3一方面，

(5)

不妨设α<β<γ，则

cosα>cosβ>cosγ, sinα

另一方面，由排序不等式可得

sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα

≤ sinαcosγ+sinβcosβ+sinγcosα

(6)

评注本题的分析与推证过程都用了反证法．首先结合题意提出反论题，然后进行推理，得出矛盾，从而不难得出正确选项．学生若缺少逆向意识与反证思维，则往往只能停留在取特殊值试探的较浅思维层面，难以说清问题，这更凸显了具备此类意识与思维的重要性．

例2已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)．若a1>1，则

( )

A．a1a3,a2

C．a1a4D．a1>a3,a2>a4

(2018年浙江省数学高考试题第10题)

分析首先，考虑对目标(选项)进行转化，即

问题的关键是：判断公比q可能落在(-∞,-1),(-1,0),(0,1),(1,+∞)这4个区间中的哪一个．

其次，对条件进行转化，联想到“切线不等式”，即

a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)≤a1+a2+a3-1，

整理得

a1q3≤-1,

从而

q<0,

排除区间(0,1),(1,+∞)．

若q<-1，则

a1+a2+a3+a4=a1(1+q)(1+q2)<0,

而

a1+a2+a3=a1(1+q+q2)>1，

于是

ln(a1+a2+a3)>0，

二者矛盾，从而排除(-∞,-1)．因此，-1

评注归谬法在高考中应用广泛，往往和分类讨论思想结合在一起．首先确定问题的若干种可能性，然后逐一反驳排除，最后得出正确结果，这就是穷举归谬的思维．

例3已知a,b∈R，函数

若函数y=f(x)-ax-b恰有3个零点，则

( )

A．a<-1,b<0 B．a<-1,b>0

C．a>-1,b<0 D．a>-1,b>0

(2019年浙江省数学高考试题第9题)

分析设函数g(x)=f(x)-ax，h(x)=b，问题转化为：若函数

与函数h(x)=b的图像有3个交点，则判断参数a，b的范围．

当x<0时，函数g(x)=(1-a)x与函数h(x)=b的图像交点最多只有一个．

若a+1<0，则g(x)在[0,+∞)上单调递增，与函数h(x)=b的图像最多只有一个交点．不符合要求，舍去．

若a+1>0，g(x)在[0,a+1)上单调递减，在(a+1,+∞)上单调递增，g(x)与函数h(x)=b的图像最多可以有两个交点．

结合两段图像，不难得出a>-1,b<0.故选C．

类似地，还有以下高考题：

例4已知a，b∈R且ab≠0，对于任意的x≥0均有(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0，则

( )

A．a<0 B．a>0 C．b<0 D．b>0

(2020年浙江省数学高考试题第9题)

评注这两道题均考查含参零点与函数图像之间的动态联系，“奇穿偶回”的作图技巧揭示了图像变化趋势的本质．2020年试题是2019年试题的传承与创新，降低了问题转化的难度，增加了分类讨论的情况，但均体现了穷举归谬的思维方式．

例5已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)(其中n∈N*)，证明：当n∈N*时，

1)0

2)，3)略．

(2017年浙江省数学高考试题第22题)

分析第1)小题的关键在于证明xn>0．当n=1时，x1=1．假设n=k时，xk>0，那么当n=k+1时，若xk+1≤0，则

xk=xk+1+ln(1+xk+1)≤0，

矛盾.故xk>0.

评注结合数学归纳法与反证法使得解答过程在逻辑形式与表达规范上更为出色．从文理合卷这5年试题的变化与发展上，可以看出高考对于归谬与反证法的考查从方法层面向思维层面转变．

3 教学启示

归谬与反证法在高等数学中的应用较初等数学更为普遍．从目前的情况看，在高中数学教学中对反证法的教学定位在“教方法”远多于“教思维”．教师的课堂教学不仅要揭示知识的本质及知识之间的内在逻辑关系，还要努力研究如何从思维层面教会学生理解知识，让学生能够通过教师的教学语言与教学活动设计感悟到有思维特征的数学知识.

1)课标中，对于“间接证明”提出的内容和要求是：结合已经学过的教学案例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点[2]．在实际教学中，教师往往定位于向学生介绍一种间接证明的方法，大部分情况是给出了目标论题，强调反论题的正确形式，使学生了解并能模仿运用反论题，进行推理证明．这样的教学，并没有上升到分析与解决问题的思维层面．2021年的高考试题启示我们：在教学中，把一个要求用反证法论证的题目改编为多角度的数学探究题，将问题换一个提法，更有利于学生思维方式的养成．

2)在立体几何教学中，大量的性质与判定定理本身就是需要用反证法来证明的，但基于当前的教学要求，对于这些定理学生主要是通过直观感知、接受，然后运用定理解决问题．这就错失了强化反证思维的时机，在教学中适度穿插一些定理本身的证明，未尝不是一件好事．对一些通过直观判断的问题(比如判断空间两条直线的异面位置关系)，多问一个“为什么”，更有利于培养学生的逆向思维．

3)教学中的四基，前三基耳熟能详(即基础知识、基本方法与技能、基本数学思想)，而第四基“基本活动经验”在课堂上较为欠缺．波利亚关于“反证法”讲过一个教学案例：用0,1,2,3,…，9这10个数字组成几个数，使它们的和为100，每个数字都用一次而且也只能用一次．他指出：我们可以在尝试解决这个难题中学到一些东西．波利亚将问题的条件分解成两个部分：①0～9这10个数字用且只能用一次；②组成的数字之和为100．他提示先保留一个条件，丢掉另一个条件，引导学生“尝试、再尝试”，经历多次不成功的试验以后，学生发现两个部分条件均满足的情况并不会发生，进而怀疑命题本身的正确性．那么假设这样的一种组合是存在的，设这些数的十位数字之和为t，因为0～9这10个数字的和为45，所以这些数的个位数字之和为45-t，那么必有

10t+(45-t)=100，

教师研究教学，就要把自己放在学习知识的角度来研究如何理解知识，提炼出用数学概念理解知识的思维特征是什么，并能够把这种思维特征变成自己教学时的思维特点，通过不同的知识载体让学生体会出具有共性的思维，并变成他们的思维习惯．