指向深度学习的单元起始课教学实践与思考——以“复数”单元起始课为例

孔繁晶

(徐州高等师范学校，江苏 徐州 221000)

深度学习，又译深层学习.这一概念最早出现于1976年瑞典哥德堡大学马飞龙教授等人发表的《学习的本质区别：结果和过程》一文.2014年我国教育部课程教材中心正式成立“深度学习”教学改进项目组，从此基于该理念的各学科教学实践探索在全国各地迅速展开.经过多年研究，目前国内普遍认为“深度学习”是指在教师的引领下，学生围绕具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程.显然，深度学习与新课程精神高度契合，是以学科核心素养及其进阶发展为目标，突出强调“以学为主”，更加重视发挥教师的主导作用，并提出教学设计要站在学科体系之上，注重对于学科知识、学生活动、反思评价等相关要素的结构化处理.因此，指向深度学习的教学需要针对相关内容进行整合，体现学习目标、学习情境、学习活动、学习评价一致性的“单元整体教学”[1].而数学学科作为中学课程的重要组成部分，又因其自身具有高度的逻辑性和系统性，在该领域的单元整体教学探索已成为广大教育者实践与研究的焦点，仅近5年，中国知网收录的相关文章就多达900余篇.

单元起始课作为单元教学的序曲，承担着介绍本单元内容、地位和应用以及展现单元整体思想的任务，对于落实单元整体教学、践行深度学习理念具有关键且独特的教育价值.但纵观日常教学实践及相关研究成果却发现：单元起始课一直处于被忽视的状态，教师或是认为其不重要，不愿在此花费精力与课时；或是隐约了解其功能，但苦于不知如何设计.下面笔者以深度学习理念为指引，谈一谈单元起始课的教学实践与思考.

1 单元起始课的内涵

所谓“单元”，区别于“章”.“章”是教材编写的划分，“章首”指教材内容上的章节的起始，而“单元”可能与教材章节吻合，亦可能是围绕某一主题重新设定的学习单位，“单元起始”则是着眼于这一主题的单元教学的开始[2].

单元起始课从教学时间上来看，是单元教学的第一节课，但又有别于文本内容的第一课时，它注重单元整体的关联性，对整个单元的知识结构、逻辑关系、学习路径起着总领作用，是内容、思想、方法的“先行组织者”，肩负着为学习开山引路的任务.一般包括3个方面的内容：明确学习本单元的必要性，解决学习动因问题，即为什么学；梳理本单元的组织线索及知识架构，大致构建单元学习框架，即学什么；了解本单元研究问题的核心数学思想方法，寻找有效的学习方式，即怎样学.

2 单元起始课的任务

合理设计并实施单元起始课教学，有助于整个单元教学目标的实现.其主要任务是谋定单元全局，使得学生真正体会用数学的眼光观察世界、用数学的思维分析世界、用数学的语言描述世界，这既体现了数学学科的本质，又发挥了学科育人的功能.

2.1 激发学习动机

依据深度学习理论，学生深层动机的形成是推动学习的直接原因和内部动力，亦是教学成败的关键因素之一.因此，单元起始课要解决的首要问题就是引发并保持学生学习本单元的动机.在起始课上，教师通过引入数学史、介绍数学家轶事以及科普或是“高大上”或是“接地气”的数学实际应用，建立有意义的学习情境以增强学生的求知欲，激发学生的学习欲望.而创设具有挑战性的任务，使学生获得自主控制学习进度和效度的良性体验，可促使师生间的关系从“单向输出”向“双向互动”转变，对于维持学习动机有着显著的效果.

2.2 形成全景认识

深度学习理论强调注重学习的联系与结构，且数学学科本身就具备较强的关联性，故单元起始课的重要任务之一就是进行本单元的“剧情简介”，即立足于整个单元，以激活已有认知和经验作为开始学习的生长点，建立新旧知识、方法、情感等要素的联系，进而了解本单元学习内容的框架结构、发展进阶路径以及本单元学习所涉及的核心方法与思想.综上所述，单元起始课要帮助学生对即将要展开的单元学习形成概貌性的认识.值得注意的是，这种全景认识不是面面俱到，也不可能做到面面俱到，重在宏观视角，胜在体系清晰.

2.3 锻炼高阶思维

相较于低阶思维，高阶思维是高阶能力的核心，主要指向创新力、问题求解力、决策力和批判性思维力等，这与数学核心素养的追求高度一致.深度学习理论以发展学生的学科素养为目标，关注学习的真正发生，更加重视知识载体背后学科能力素养的落实.单元起始课一方面要帮助学生了解知识体系明线，另一方面则要以单元知识为载体，引导学生自主探究、合作研讨、猜想验证，着眼于单元核心数学思想、方法及根植于其中的数学精神，并将其作为后续学习的重要线索，以此打造学生高阶思维的实践场域.

3 单元起始课的教学实践——以“复数”单元起始课为例

单元起始课作为落实单元教学的关键，承载着诸项任务，如何设计才能真正体现单元思想，引导学生开展深度学习，落实数学核心素养的培养目标？笔者以“复数”单元起始课为例，结合实践浅谈教学设计及思考.

3.1 教学内容分析

单元教学的核心要义在于把握教学内容的整体与关联，因此，“复数”单元起始课的教学内容分析需以课标为基准，从单元角度整体把握.数系概念的发展与扩充是数学发展的一条重要线索，复数概念的产生源于现实世界的实际需求与数学内部发展的矛盾，是在已有认知基础之上的再一次数系扩充，且虚数的引入带来了数系结构与运算性质的一系列变化.而在知识表象(如图1)下数系扩充及虚数引入的动因、发现研究“扩充”问题遵循的规律和方法以及探究过程中蕴涵的数学精神才是本单元学习的深层内容.

图1 复数单元知识结构图

以单元整体角度出发的“复数”单元起始课需明确以下几点：

1)复数的起源与进阶点.

复数的诞生与发展经历了漫长而又曲折的过程，这也是人类数学创造的缩影.更重要的是其发展过程与本单元的学习轨迹基本吻合，这使得单元起始课中知识的起源、核心概念的建立以及单元学习框架的搭建有了丰富的数学文化背景和资源.

2)复数的本质与关联.

复数的产生将代数研究对象由一维空间拓展到二维空间，究其本质是一元实数的推广产物——二元数.因此，实数是复数的重要的认知起点.

向量与复数有着密切联系，将复平面的概念引入后，复数的几何意义即为一一对应的平面向量和复平面上的点，复数的加减法运算也可以通过向量的加减运算加以定义，但仅限于线性运算，乘法的关系是不存在的.而在复平面中，定义向量方向与实轴正方向所夹之角为复数幅角，从而产生了复数的三角表示，这又将复数与三角紧密联系在一起.因此，三角、向量是复数的重要关联[3].

3)数系建构的策略与思想.

复数理论构建遵循数系扩充的一般原则.事实上，每次数系的扩充都是为了解决原数系无法解决的矛盾点而引入“新数”，还要在新的数系中保持原数系的运算律和性质不变，这就是数系的“扩容”.接着以此为导引展开进一步的研究：概念—性质—运算—联系.在复数研究过程中涉及的重要数学思想与方法有两个：一是类比思想.从实数到复数，由一维到二维，类比是贯穿整个单元的核心研究方法.二是数形结合思想.复数的几何意义使得复数概念的形成和发展拥有了重要的依据，亦是沟通“数”与“形”的有效桥梁.

3.2 学情分析

学生经历过从自然数到实数的多次数系扩充，积累了一定的数系扩充经验，并且熟练掌握了在实数范围内求解一元二次方程的方法，同时系统学习了三角、向量的相关内容，有一定的分析、解决问题的意识与能力.但也存在一些认知障碍：

1)复数的物理背景相对复杂，学生缺乏直观感受，势必造成理解上的困难；

2)学生对于数系扩充虽有感性认识，但缺乏整体审视过程的能力，在方法和意识上均有空白；

3)学生思维的系统性和完整性仍有欠缺，主动质疑、释疑的意识与能力有待加强.

3.3 教学目标

基于“四基四能”的培养目标，依据教学内容和学生认知水平的分析，确定本单元起始课目标如下：

1)了解数系扩充的过程，体会虚数引入的必然和意义，了解复数的代数形式和几何形式，逐步理解“虚数不虚”；

2)体会类比、数形结合等数学思想，经历数学抽象的过程，掌握研究数系扩充的基本思路与规则，积累数学建模的经验；

3)学会利用资料开拓视野，建立良好的数学观，形成提出问题、解决问题的探究意识与能力.

3.4 教学设计片段

3.4.1 回顾旧知，厘清路径

挑战型任务1这些数的产生和发展经历了上千年，请大家观看微课“数系扩充的那些事儿——从自然数到实数”，完成并思考：1)用框图梳理数系扩充的过程；2)试着从数学世界的角度谈一谈数系扩充;3)数系扩充遵循哪些原则.

设计意图从生活中的具体数据作引，以微课的形式介绍，帮助学生从社会实践需求的角度审视数系扩充，增加了学习的趣味性.同时要求学生用框图梳理知识，由脑海中的思维片段落到纸上的系统直观，更加清晰地勾勒扩充脉络，培养了学生数学阅读以及归纳概括的能力.

之后提出3个讨论点：1)引导学生逐步从现实需求抽象到数学发展需要，厘清从自然数集到实数集的扩充过程；2)引导学生运用方程模型，并加入对于新旧数集运算封闭性的梳理，这是认识数系扩充必然性的又一方向，从而有条不紊地形成了前情回顾清单(如图2)；3)引发“怎样做”的思考，帮助学生跳出具体的某次扩充，从更加宏观的高度寻找数系扩充的一般性“套路”，即每次都引入“新数”，解决原数系里无法实施的运算问题，而在新数系里，原来的运算(律)和性质仍然适用.这为后续研究虚数的引入奠定了知识基础和方法基础.

图2 前情回顾清单

3.4.2 重构史料，明晰问题

问题在既有数系扩充的历程中，人类探索未知的意识和脚步从未停歇，结合前情回顾清单，你会提出什么问题呢？

设计意图在回顾旧知的基础之上，鼓励学生发现问题.虽然复数缺乏生活中的直观感受，但思维品质较高的学生可以通过前几次数系扩充逐步实现了加、减、乘、除以及乘方运算的封闭性猜测,开平方运算会是下一次数系扩充的发端，如此设问对于引导学生自发地培养高阶思维有着良性的影响.

挑战型任务21)已知3次方程x3+px+q=0的其中一个根的求根公式为

请根据该公式求解x3=15x+4.

由-1=-1×1，-2=-1×2，-3=-1×3，…，归纳可得

-15=-1×15, -121=-1×121.

由此，-15,-121的开方问题就都化归于-1的开方问题.在这样的探究中，学生化归、迁移、逻辑推理的能力得到了有效锻炼，定义“i2=-1”顺理成章，虚数概念呼之欲出.

3.4.3 任务驱动，抽象概念

挑战型任务31)我们规定了虚数i后，试一试将其与实数进行运算能产生哪些新形式的数？它们的一般形式是怎样的？

3)回顾数的发展.由于实数的顺序特征，我们建立了其与一维数轴上点的一一对应，有了这个几何意义，实数间的相等、比大小、四则运算，乃至于绝对值问题都迎刃而解，那么由实部和虚部构成的复数是否也存在几何意义呢？

设计意图这个问题指向性更强，从研究对象到研究方法都有了明确的方向，引出了贯穿全单元的复数几何意义的线索，师生共同探索建立复平面，使得每一个复数与平面上的点一一对应，进一步深化对于“虚数不虚”的理解.同时，由一维到二维、由数轴到复平面，类比思想、数形结合思想在这里都有了极好的发挥空间，提升了学生的思维水平.

3.4.4 多元联想，构建框架

挑战型任务4我们已经建立了复数的概念，包括它的代数形式和几何意义，接下来将如何继续构建复数单元“大厦”呢？

设计意图教师发挥主导作用，给出构建复数单元的研究任务，同时提供研究方案：类比实数从代数、几何两个角度出发.学生在教师的启发下从代数方向入手研究复数相等、四则运算及运算律，在复数集内求解方程；从几何方向入手研究复数的坐标表示、模，还可以联系向量、三角，并用数形结合的视角全方位审视其关联.在这个过程中有一些问题学生已经可以自行判断，如虚数无法比大小，有一些还很模糊，正是后续学习的动力.

3.4.5 梳理资料，涵养精神

教师引导学生完成数系的扩充和虚数的引入，又为复数学习打造了单元蓝图，这一番研究也基本吻合人类探索复数的历程.此时教师借助微课“复数的前世今生”，介绍复数产生与发展的相关史料以及做出杰出贡献的数学家(如图3).

图3

让学生梳理并体会复数从最初的产生到逐步的完善，再到形成严密理论体系的理性过程，涵养学生的数学精神.

3.4.6 拓展延伸，问题待续

挑战型任务5通过这节课的研究，我们知道了复数的本质是二元数，是否存在三元数、四元数呢？若有，你能创建相应的模型吗？这个问题我们将用一个单元的时间进行思考和研究.

设计意图弗兰登塔尔认为数学学习的根本任务是“再创造”.提前将该项任务抛给学生，并非要在此时完成，它的作用在于在单元起始课上帮助学生高处定位，指引学生透过现象看本质.二元数的学习带来三元数的思考，又有可能引发四元数的讨论等.这一超越传统问题的任务，引发学生进行探究，提供施展主观能动性的空间，由此单元学习的全过程将成为探寻新生知识的进阶点和工具箱，拓宽了现阶段的学习，为教学带来了新的可能，这正是深度学习的内核所在.

4 结语

开展指向深度学习的单元起始课教学研究是实施单元教学的关键之一，更是落实发展核心素养的必要环节.有效的单元起始课要求教师理解学生，坚持从学情出发，提供合适的学习环境；要求教师明晰大单元下课程标准的要求，洞悉知识的来龙去脉、思想方法的横向与纵向联系；更要求教师发挥主导作用，设置适合的挑战型任务，并为学生的深度学习活动持续提供清晰的反馈，不断地改进和完善，促使学生在研中学、研中悟，进而真正提升学科核心素养.