基于前置 审辩说理 揭示本质

陈银 邵虹

【摘   要】“三角形的三边关系”是小学数学教学的重点内容之一，在实际教学过程中，学生常常出现只关注“围成”或“围不成”的外在形式，陷入重形式记忆、弃本质理解的怪圈。研究团队尝试发挥审辩式思维在数学教学中的作用，突破原有思维定式进行教学。形成的新设计基于前置性学情诊断，通过“曝光”学生的认知差异和分歧，聚焦“三角形任意两边之和大于第三边”的数学本质。教学中还应重视三边关系结论的理性分析，构建递进式的学习阶梯，渗透确定三角形的充分且必要条件，促进学生数学思维水平的提升。

【关键词】审辩式思维;小学数学;三角形的三边关系

【课前慎思】

三角形相关知识是“图形与几何”领域的重要内容，是认识多边形的基础。三角形也是最简单、最基本的几何图形，它的研究内容、研究路径、研究方法具有一定的普适性。其中，对于“三角形的三边关系”这一知识点，现行的各版本教材无一例外地都是先给出一组或几组确定长度的材料，让学生进行操作以确定三边关系。而事实上，学生在操作判断时多依靠直觉思维，只关注“围成”或“围不成”的外在形式，缺乏对三边关系的理性分析。因此，落实“三角形的三边关系”的教学目标，不仅要让学生积极参与拼搭三角形的实践操作，更应引导学生在反思质疑中明晰探究问题，在对比辨析中理解“三角形任意两边之和大于第三边”的性质，在推理论证中掌握“较短两边之和大于第三边”的判定方法。

笔者所在的研究团队试图突破原有的思维定式进行教学设计，发挥审辩式思维在数学教学中的作用，基于前置性学情诊断，“曝光”学生的认知差异和分歧，聚焦“三角形任意两边之和大于第三边”的数学本质，重视三边关系结论的理性分析，构建递进式的学习阶梯，渗透确定三角形的充分且必要条件，促进学生数学思维水平的提升。

【课堂写真】

（一）基于前置，聚焦问题

1.出示任務：从学具袋中抽取三根拼条围一围，看能否围成三角形。

生：我围成了三角形。

生：我没有围成三角形。

2.揭示课题：什么样的三条线段能围成三角形呢？今天我们就来研究三角形的三边关系。

3.展示前测材料。

（1）出示前测问题。

师：课前，我们做了一份调查卷（见图1），一起来回顾。

（2）请学生猜想同学们的判断结果，并出示数据（见图2）。

师：哪几组意见比较一致？

生：第④组和第⑤组大家都觉得能围成。

（二）命题转换，理性分析

1.引导学生观察。

师：请大家看第④组小棒（5cm，5cm，5cm），它有什么特别的地方？

生：三条边的长度一样。

2.展示学生判断的理由（如图3）。

3.介绍学具。

师：“画”确实是一种研究方法，但有一定困难，我们可以借助这样的拼条来进行研究（见图4）。

4.第一次审辩活动。

师：三边相等就一定能围成三角形吗？是不是围成三角形时三边一定相等？

生：三边相等一定能围成三角形，比如都是4cm或8cm时一定可以围成三角形。

生：但能围成三角形时不一定三边相等，我们的黑板上就有反例。

5.操作验证。

师：请大家看前测中的第⑤组小棒（8cm，12cm，10cm），三条边不一样长，大家都觉得能围成三角形，真的能围成吗？请你拼一拼。

生：能围成，而且围成的是形状、大小一样的三角形。

师：当围成三角形的三条线段长度固定时，围成的三角形的形状、大小都是一样的。

（三）设置冲突，审辩说理

1.提出猜想。

出示前测中学生对第⑤组小棒能否围成三角形的判断理由，并进行解释（如图5）。

猜想1：只要有两边之和大于第三边，就能围成三角形。

猜想2：任意两边之和大于第三边，就能围成三角形。

猜想3：较短两边之和大于第三边，就能围成三角形。

追问：任意是什么意思？

生：随便选。

生：三组中两边的和跟第三边比都要长。

师：同学们都在研究两边之和大于第三边，有人认为是“只要有”，有人认为是“任意”，还有人认为是“较短”两边之和大于第三边时，就能围成三角形。这些都还只是我们的一种猜想，接下来我们来验证。

2.第二次审辩活动。

（1）选择：任选一个猜想进行研究（见图6）。

（2）验证说理：拼一拼、算一算。

（3）结论：猜想是否成立？

3.交流讨论，发现结论。

（1）研究“任意两边之和大于第三边，就能围成三角形”。

生：我研究了“4cm，5cm，8cm”和“8cm，10cm，4cm”这两组数据，发现都能围成三角形，因此猜想2是成立的（见图7）。

师：是不是其他能围成三角形的三条边之间也都具有这样的关系呢？请你选择一个围成的三角形，像这样写一写，并在四人小组中进行交流。（生写并交流）

师：看来围成的三角形一定是任意两边之和大于第三边。如果一个三角形的三条边的长度分别是a、b、c（如图8），你还能用算式表示三条边之间的关系吗？

生：a+b>c，a+c>b，b+c>a。

（2）研究“较短两边之和大于第三边，就能围成三角形”。

生：我研究了“4cm，5cm，8cm”和“10cm，8cm，5cm”这两组数据，前一组数据中最短两边是4cm和5cm，4+5>8，后一组数据中8+5>10，发现它们都能围成三角形，因此猜想3是成立的。

师：为什么刚才我们比了3次，现在只要比1次就可以了呢？

生：短的两边之和比最长的边还要长，那么剩下的两组肯定比第三边长。

总结：看来满足“较短两边之和大于第三边”一定满足“任意两边之和大于第三边”。

（3）研究“只要有两边之和大于第三边，就能围成三角形”。

生：我研究了“3cm，5cm，10cm”这一组数据，发现它是围不成三角形的，因为3+5<10，只要有一个条件不符合就说明这个猜想是不成立的。

师：还有不同的例子吗？

生：“4cm，8cm，12cm”这一组也是围不成的，因为4+8=12。

师：真的围不成三角形吗？

生：两条短的边加起来正好等于最长的边，重合在一起了。

师：大家听明白他的意思了吗？在操作中我们的观察有可能没有这么细微，借助几何画板再来观察一下（见图9）。

师：只要有一组不符合两边之和大于第三边的判定原理，也就不符合任意两边之和大于第三边，是围不成三角形的。

4.验证思辨。

师：通过刚才的研究，我们发现有些猜想是成立的，有些猜想是不成立的，哪个结论适用于所有的三角形呢？

生：我觉得围成的三角形，一定满足“任意两边的和大于第三边”，因为“任意”包含了“较短”的情况。

生：三边相等的情况也符合这个原理，我们可以用算式来说明5+5>5。

师：通过研究我们发现围成的三角形一定满足“任意两边之和大于第三边”。再思考一下，如果三条线段满足“任意两边之和大于第三边”，就一定能围成三角形吗？请你自主选择三个数据来验证一下。

生：我研究了“12cm，8cm，10cm”这一组数据，8+10>12，3+5>4，4+5>3，用拼条确实能拼成三角形。

生：我研究了“3cm，4cm，5cm”这一组数据，3+4>5，3+5>4，4+5>3，用拼条确实能拼成三角形。

师：如果是“15cm，20cm，18cm”这一组数据，能围成吗？

生：15+20>18，15+18>20，20+18>15，可以围成。

（教师借助几何画板进行验证）

师：真的能围成三角形。还有吗？四人小组交流你们的发现。

总结：看来围成的三角形一定满足任意两边之和大于第三边，任意两边之和大于第三边时一定能围成三角形。“任意”很重要，它包含了所有的情况，把这个结论说给你的同桌听一听。

（四）揭示本质，拓宽应用

1.第一層次：判断是否能围成三角形。

出示题目（见图10）：

师：有人能很快地判断，你们是怎么想的？

生：只要最短的两条边的和与第三边进行比较就可以了。

师：第③组为什么不能围成三角形？

生：因为2+9<15，所以围不成。

2.第二层次：想象观察三角形的形状。

师：请你想象一下它们分别围成了一个怎样的三角形。

生：第①组中有两条边一样长，是等腰三角形。

生：第②组有点像直角三角形。

师：真的是这样吗？我们用三角尺中的直角来比一比，真的是直角三角形。

师：这三个三角形之间有什么联系吗（见图11）？

生：一条边都是10cm，另外两条边之和都是14cm。

3.第三层次：你还能画出符合要求的三角形吗？

师：像这样一条边是10cm，另外两条边的和是14cm的三角形还有吗？

生：另外两条边可以是4cm和10cm，3cm和11cm，2cm和12cm，1cm和13cm。

生：2cm和12cm，1cm和13cm不可以，因为2+10=12，1+10<13，不符合任意两边之和大于第三边。

4.第四层次：最短是几厘米？

师：如果边长是整厘米数，三角形的边最短可以是几厘米？

生：最短是3厘米。

师：如果边长不是整厘米数，三角形的边最短又可以是几厘米呢？

生：可以是2.1cm，还可以是2.01cm，只要比2cm大都可以。

根据学生的反馈，借助几何画板分别画出图形（如图12）。

5.第五层次：感受椭圆的产生。

师：如果把这些三角形的顶点连起来，会形成一个怎么样的图形呢？请你用手描一描（见图13）。

总结：三角形的三边关系跟数学中的某些图形也是有联系的。

【课堂评析】

（一）基于前置任务，曝光真实思维，聚焦核心问题

本课教学前，学生已经学过三角形的概念、三角形的稳定性及其应用，会根据表象判断小棒能否围成三角形。但是，这些判断多数属于直觉思维，缺乏科学依据与理性分析。比如，学生对“5cm，5cm，5cm”这组小棒围成三角形的识别率高，很大程度是受到了等边三角形的直观影响，而对“4cm，12cm，8cm”这组小棒能否围成三角形的判断就存在较大分歧，原因在于对“三边关系”的误解，缺乏空间想象和推理能力。

课始，教师借助前测数据，将学生的思维可视化，“曝光”了学生的真实思维状态。顺势提出富有挑战性的问题：“三边相等就一定能围成三角形吗？是不是能围成三角形时三边一定相等？”引导学生评估结论的可靠性，通过应用和命题转换，来识别结论中的偏见和漏洞。学生通过找反例的方式进行说理：“8cm，12cm，10cm三条边不一样长，但是也能围成三角形。”渗透三边关系结论的理性分析、确定围成三角形的充分且必要条件，创设探究空间，促进学生数学思维水平的提升。

（二）制造认知冲突，经历三次审辩，凸显概念本质

“为什么三角形任意两边之和大于第三边”，在以往的教学中，教师大多给定小棒请学生围三角形，有的能围成，有的不能围成，进而采用不完全归纳法得出三边关系的结论。本课教学中，教师则是通过学生自主提出的三个结论制造冲突，增强学生的审辩意识。通过三边能否围成三角形的实践操作和课件动画演示，引导学生寻找理据，理性分析“三边的长度与能否围成三角形之间具有怎样的联系”，探究当“较短两条线段的和小于或等于第三条线段”时，这三条线段不能围成一个三角形，并进一步认识三角形的三边关系，即“较短两边之和大于第三边”“任意两边之和大于第三边”。这一过程打破了思维定式，避免探究的形式化，通过审辩结论的真伪或部分为真的方式，掌握“三角形三边关系”的判定方法，培养了学生的辨异能力、反驳能力和元认知能力，进而发展了学生的数学审辩思维能力。

此外，执教教师精心设计了分类任务卡，不同的颜色代表不同的研究任务。这些任务卡既提供了研究素材，又给出了研究方法——猜想、举例、验证、说理，给予学生足够的自主探究空间，使其不断丰富和积累数学活动经验。

（三）设计变式练习，开阔数学视野，发展空间观念

在“揭示本质，拓宽应用”环节，教师设计了变式练习，以““7cm，7cm，10cm”“6cm，10cm，8cm”“15cm，2cm，9cm”“5cm，9cm，10cm”这四组小棒能否围成三角形为起点，首先引导学生掌握“两条短边之和大于第三边”的判定方法;接着观察想象围成的三角形的形状，感悟三角形的稳定性（唯一性）;然后固定一边长度，推算其余两边长度来反向思考三边关系，建立三边关系与两点间线段最短的实质性关联;最后通过动态演示引导学生发现符合条件的三角形顶点连接后会形成一个椭圆，拓宽了知识面。在这个环节中，教师不断变化问题情境，对一道习题进行优化组合，一题多用，一题多解，呈现性质的正例、反例，引导学生进行辨别判断，点燃了学生的思维火花。设置开放的数学问题，既丰富了学生对三角形三边关系的认识，又加深了学生对三角形三边关系的理解，还发展了学生的空间想象和应用能力。

（1.浙江省杭州市天长小学   310006 2.浙江省杭州市上城区教育学院   310002）