广义非线性扩张状态观测器设计及性能分析

张世华，齐晓慧，万 慧

(陆军工程大学石家庄校区，河北石家庄 050053)

1 引言

自抗扰控制(ADRC)是韩京清针对不确定系统的控制问题而提出的，是一种吸收现代控制理论成果、发扬并丰富PID思想精髓(“基于误差消除误差”)、开发运用特殊非线性效应的新型实用控制技术[1].其核心内涵在于:根据系统输出和控制输入选择积分串联标准型，把系统中异于标准型的部分视为总扰动(内扰和外扰)，以扩张状态观测器(ESO)为手段，实时估计并在反馈控制中得以补偿，从而使得闭环动态系统具有良好的控制性能[2].由此可见，ESO是自抗扰控制系统的核心部分，它的观测精度直接影响系统能否有效地对扰动进行补偿.最近，许多学者对扩张状态观测器及其应用进行了深入的理论研究.文献[3]考虑到其高增益特性，开发了一种ESO级联组合，能快速准确的重构信号，同时避免测量噪声过度放大.文献[4]在研究多智能体的有限时间输出一致性问题时，通过设计分布式有限时间扩张状态观测器估计未测量的共识误差和干扰.

传统ESO(即扩张阶数为1)借用状态观测器的思想，用非线性反馈机制建立了能够观测被扩张状态(总扰动)的观测器[5]，由于其并不依赖于研究对象和生成扰动的具体数学模型，因此可以作为通用而实用的扰动观测器，但其非线性反馈结构给理论分析带来很大困难，参数整定较为繁琐，不便于工程实际应用.文献[6]首次将ADRC中的非线性环节线性化处理，采用极点配置的思想将参数与带宽联系起来，简化了参数整定方法，极大推动了自抗扰控制的理论研究与应用.非线性ESO的收敛性和稳定性理论分析十分困难，早期的主要工作针对低阶非线性ESO收敛性及估计误差分析[7-10];郭宝珠的研究团队在这方面取得了丰硕的成果，文献[11]证明了一般的非线性ESO的收敛性，文献[12]证明了下三角不确定开环系统非线性ESO的收敛性;虽然文献[11-12]中的ESO包含广泛的非线性函数类型，但是不包含非线性函数“fal”[5]，赵志良等在文献[13]中证明了由“fal”构成的非线性ESO对开环系统状态和总扰动跟踪的收敛性.

实际应用中，系统的总扰动大多为包含常值、斜坡、正弦扰动等各种形式的复合时变扰动，而传统ESO是通过减小总扰动的变化率实现对总扰动及系统各状态的估计，因此对于广泛存在的时变扰动不能完全估计，文献[14]指出，传统的线性扩张状态观测器(LESO)仅能实现对常值外界扰动(扰动变化率为0)的渐近跟踪.对于一类可以表示为形如d(t)=d0+d1t+d2t2+···的时间多项式函数形式的时变扰动[15]，文献[16]首次提出高阶LESO(扩张阶数为任意阶)的概念，可以证明如果扰动的r阶导数为0，则可以设计一个r阶LESO，得到状态及扰动估计的渐近收敛性.正弦扰动是一类无限可微的周期性时变扰动，文献[17]分析了高阶LESO处理快速变化的正弦扰动的性能，指出如果ESO带宽的选择明显大于干扰频率，同时小于未建模高频动态，则高阶LESO对快速变化的正弦扰动的跟踪性能得到改善，但该方法仍然存在一个正弦误差.文献[2]讨论了高阶及传统LESO的动态响应、干扰抑制能力与观测器参数间的关系，在估计能力、峰值现象的抑制、滤噪性能等方面对高阶及传统LESO进行系统的性能评价.上述工作仅分析了提高LESO的扩张阶数对系统性能的影响，并没有对观测器结构设计问题的本质进行深入讨论.文献[18]对传统LESO的系统重构策略进行了分析，指出该方法在时变扰动抑制问题中存在的缺陷.进而，在对总扰动进行分析的基础上，对系统模型进行重构，建立能够反映扰动中已知模态的更加精确的模型.基于重构系统设计的广义LESO，实现了对总扰动中已知模态分量的完全估计和补偿，从而提高系统精度.近年来，一些文献讨论了具有谐波扰动的控制系统问题.文献[19]将总扰动重构为多项式函数与谐波函数叠加的形式，并针对性的设计高阶LESO以提高观测精度.文献[20]利用周期性信号的微分特性，构建LESO，观测并补偿电机转速脉动中的主要周期分量.从上述工作可以看出，线性扩张状态观测器干扰抑制性能的分析和改进策略已经取得了比较丰富的成果.事实上，非线性ESO的非线性机制在跟踪精度、抗干扰能力等方面有其自身的优势，然而在如何有效提高观测精度上，鲜少有文献进行策略设计并给出理论分析.

受到文献[16]和文献[18]的启发，针对时变外扰，为了提高非线性ESO的观测精度，本文提出了一种广义非线性扩张状态观测器.第2节分析了传统非线性ESO设计策略存在的缺陷.在第3节，设计反映扰动中已知分量的广义非线性ESO，并且从理论上证明观测器的收敛性，得到观测误差上界与扩张阶数的定量关系式.第4节通过数值模拟验证广义非线性ESO抑制周期性时变扰动的有效性.

2 传统非线性ESO简介

本文考虑如下具有不确定性的n阶SISO非线性系统

其中:u(t)为系统输入，y(t)为系统的量测输出，f(·)为系统的非线性不确定性，w(t)为外界扰动.

定义系统状态x ∈Rn+1，其中:

于是，系统(1)可以写为如下形式:

对系统(2)设计如下的非线性ESO系统:

其中ε为ESO的可调参数，非线性函数

满足条件

得到系统(3)对系统(2)的观测误差动态系统为

则观测误差的状态方程可以表示为

当系统达到平衡点附近时，依赖系统状态的内部不确定性通常变化缓慢，此时，若f为自治非线性函数，扰动项中依赖系统状态的分量几乎为0.对系统产生持续作用的主要是依赖外界扰动的部分下面分两种情况讨论外界扰动对ESO性能的影响:

由此可知，传统ESO的设计策略是扩张1阶，其观测精度主要取决于扰动项‖‖的上界，常值外界扰动时平衡点附近‖‖近似为0，因此观测误差能够渐近收敛到0.外界扰动若是时变的，‖‖不为0，且‖‖越大，说明系统不确定性越强，ESO的观测精度越低.在实际应用中，系统总扰动大多为包含各种分量的复合时变扰动，由上述分析可知，此时ESO的观测精度和系统性能将会受到较大影响.

在设计控制系统时通常能够获得总扰动中某些扰动分量的先验信息，如果能够有效利用这些先验信息设计ESO，使其完全消除总扰动中已知的时变扰动分量，减小‖‖，则ESO的估计精度将会提升，从而提高系统的控制性能.

3 广义ESO的设计及收敛性分析

为了解决非线性扩张状态观测器对时变扰动估计能力有限的问题，利用微分同胚变换，对扰动系统进行重构，建立原系统的内部状态和扰动系统状态的广义模型，设计反映扰动中已知分量的广义非线性ESO，从而减小扰动项‖‖的上界，提升观测器对扰动及系统状态的估计能力.

本节对系统(1)的总扰动进行分析，非线性不确定性和外界扰动定义为

把总扰动看作单输入单输出仿射非线性系统的输出函数，假设如下的扰动系统模型[18]:

其中:θ ∈Rm为扰动系统状态，μ ∈R为扰动系统输入，是和外界扰动w(t)和系统状态x有关的函数，D ∈R为扰动系统输出，是系统(1)的总扰动，p，q ⊆Rm→Rm是两个光滑的向量场，s ⊆Rm →R是一个光滑映射.扰动系统的相对阶次r=m.

定义系统(6)的李导数[22]

矩阵B，C，E的定义与式(2)相同.

针对重构后的系统模型(8)，设计如下的广义ESO:

可得系统(9)对系统(8)的观测误差动态系统为

注1事实上，广义ESO是利用扰动解耦后的系统(7)将观测器扩张阶数高阶化，扩张r+1阶，包含了时变扰动的先验信息.

注2当已知部分扰动信息时，比如某个频率的周期扰动，这时对总扰动进行重构，模型(7)中的a()是已知的，基于此构建系统的广义模型并进行广义非线性ESO设计，就能补偿已知扰动分量，提高跟踪精度.

假设1存在正常数，使得h(t)有界，且满足|h(t)|≤M.

定理1若假设1和假设2均满足，对于系统(9)有如下结论成立:

1) 对于任意给定的正常数a，在[a，+∞)上下式一致成立，

证由假设1和2，Lyapunov函数V(η(t))沿着系统(10)关于时间t的导数为

对于任意给定的正常数a，当t ∈[a，+∞)时，对ε取极限可以得到

此时，定理的结论1)成立.若取ε为充分小的正数，对t取极限可以得到

由此可见，定理的结论2)成立. 证毕.

注3由定理1可知，当观测器的可调参数ε足够小时，系统(9)的状态可以在整个时域上与系统(1)的状态及总扰动充分接近，并且估计误差收敛于O(εn+r+2-i)，同时刻画了观测误差与扩张阶数的定量关系.与文献[21]中关于传统ESO收敛性的结论相比较，观测器(9)利用扰动模型(7)增加了观测器的阶数，而其中的已知分量信息降低了系统的不确定性，显然当r≥1时，其精度更高.但是随着扩张阶数的增加，假设1中对总扰动的约束条件越来越苛刻，即要求补偿了已知分量信息的总扰动的r+1阶导数存在并且有界.这就需要在实际工程问题中根据扰动的先验信息，合理地选择扩张观测器阶数.

特别地，若扰动系统经过微分同胚变换后系统(7)中的a(ξ)具有下面的形式:

其中mi ∈R，i=1，2，···，r.构建系统(8)的广义LESO，形式如下:

设计增益li，i=1，···，n+r+1使矩阵E是Hurwitz的.此时，存在正定矩阵P是Lyapunov方程PE+ETP=-I的解，I表示(n+r+1)维单位矩阵.定义函数V，W:Rn+r+1→R为

容易证明V，W满足假设2.从而，由定理1可以得到广义LESO的收敛性结果如下:

推论1若假设1和假设2均满足，并且式(11)成立，则对于系统(12)下列结论成立:

1) 对于任意给定的正常数a，在[a，+∞)上一致成立

其中:zi(t)(i=1，···，n)为线性扩张状态观测器(12)对系统(1)的状态估计值，zi(t)(i=n+1，···，n+r+1)为总扰动及其高阶导数的估计值.

4 干扰抑制性能的仿真分析

本节以被控对象为线性系统和非线性系统两个实例，通过仿真对传统ESO和广义ESO进行性能对比分析.首先考虑文献[6]中的运动控制系统，数学模型为

其中:y为输出位移，u为控制电压，Td为转动扰动.记系统状态为x1=y，x2=，上述模型可以写为如下标准形式:

其中:b0=25为控制增益的标称值，f(·)=-1.41x2(t)+23.2Td-1.8u(t)为总扰动.

设计非线性ESO[21]

这里的非线性函数φ:R→R的定义如下:

ε为观测器高增益调整参数.此时为传统非线性状态扩张观测器，相应于系统(3)，gi(i=1，2，3)分别为

外环ADRC控制器，采用线性控制律

其中:r为参考输入信号，k1，k2为控制器参数.选取内环观测器带宽为ωo=15 rad/s，外环控制器带宽为ωc=5 rad/s[18].根据LESO“带宽法”参数整定原则，参数设定为:k1=，k2=-2ωc，ε=1/ωo.

下面考察系统(14)受到正弦扰动下，ESO对扰动和状态的估计效果.假设该周期性扰动的幅值为0.5，频率为1 rad/s，此时，外扰对时间的一阶导数为同周期的余弦信号.根据前文的分析，在平衡点附近，总扰动f(·)对时间的变化率将近似呈现出周期性规律变化.从图1可以看出观测器的估计效果，在正弦扰动作用下，观测器的输出误差也为正弦信号.这说明，当系统受到周期性时变外界扰动作用时，传统非线性ESO无法完全消除该扰动的影响，并且估计误差的大小随扰动周期的增大而增大.

图1 传统ESO估计正弦扰动的效果Fig.1 Effect of traditional ESO on estimating sinusoidal disturbance

下面利用本文的方法，重构系统模型，设计广义非线性ESO跟踪系统状态和扰动.假设外界正弦扰动为Td=0.5 sin(at)，满足=-a2Td.根据模型(7)定义广义扩张状态

对系统进行重构，可以得到下面的模型:

针对重构后的系统(18)设计广义非线性ESO

其中非线性函数φ的定义与式(16)相同，gi(i=1，2，3，4，5)分别为

在本例中，a=1.为了保证广义非线性ESO与传统ESO有相同的截止频率，选取ω0=6.8 rad/s，ε=1/ω0，使用与式(17)结构和参数均相同的外环控制器.

此时，选取矩阵

它的所有特征值均为负实部，所以是Hurwitz矩阵.通过求解Lyapunov方程PE+ETP=-I，可得正定矩阵

通过计算可以得到

取λ3=0.01，λ4=1，此时假设2的条件满足，这说明式(19)是系统(14)定义好的非线性ESO.

现在使用相同的输入、扰动和初始值，广义ESO的数值模拟结果见图2.由于重构后的系统模型反映了周期性扰动的信息(本例中的外扰只有周期性正弦扰动)，因此，进入稳态时，h(t)→0，若观测器的参数ε充分小，估计误差在稳态时能够渐近收敛到0.从图2可以看出，相较于传统ESO，广义非线性扩张状态观测器跟踪输入信号及扰动的效果明显提高.

图2 广义ESO估计正弦扰动的效果Fig.2 Effect of generalized ESO on estimating sinusoidal disturbance

下面给出一个非线性受控系统

其中:w(t)为外部扰动，总扰动为

观测器、控制器结构与参数分别与式(15)(17)(19)相同，并且与系统(14)有相同的输入、扰动和初始值.传统ESO和广义ESO估计扰动的数值模拟结果分别见图3和图4.对于非线性受控对象，同样的，广义ESO补偿了已知扰动分量，从而减小了跟踪误差，提高了估计扰动的精度.

图3 传统ESO估计正弦扰动的效果Fig.3 Effect of traditional ESO on estimating sinusoidal disturbance

图4 广义ESO估计正弦扰动的效果Fig.4 Effect of generalized ESO on estimating sinusoidal disturbance

通过上述两个仿真实例可以看到，广义扩张状态观测器(19)对一定范围的被控对象来说是通用的，其设计只是基于对象的相对阶次、输入输出通道个数以及总扰动f(·)中已知分量部分，而其估计效率的提高是由于从设计结构上补偿了已知扰动分量.

5 结论

针对时变外扰，为了提高非线性扩张状态观测器的观测精度，本文提出了一种基于扰动已知分量设计的广义非线性ESO，通过定义广义扩张状态提高观测器的阶数，实现对已知分量的完全补偿，减小最终的扰动项‖h(t)‖(补偿已知扰动分量后的总扰动的r+1阶导数)的上界，从而减小跟踪误差，提高观测器和控制系统的性能.利用Lyapunov定理证明了广义非线性ESO的收敛性，并得出了观测误差上界与扩张阶数的定量关系式.通过仿真对传统和广义非线性ESO在干扰抑制方面进行了性能评估，结果表明，本文提出的观测器设计方法能够对扰动的已知分量实现完全抑制.

本文只是从理论的角度给出了一种ESO的设计思路，并且进行了理论证明和仿真验证.但是实际中可能为了得到扰动的某些先验信息也会多投入一些成本，这是工程实践中追求控制的高品质和低投入之间的一种矛盾，需要根据实际来进行选择和平衡.

本文研究的是一类非线性ESO，其中的非线性项并不包含韩老师提出的“fal”函数，对于更一般的非线性函数，设计方法的有效性、收敛性证明以及参数整定等问题还需要进一步论证.