李 明,解 静 ,考永贵,刘 震
(1.青岛理工大学信息与控制工程学院,山东青岛 266525;2.哈尔滨工业大学(威海)理学院,山东威海 264209)
分数布朗运动是一类带有Hurst指数H ∈(0,1)的特殊高斯随机过程,它既不是半鞅也不是Markov过程,不是半鞅就无法应用鞅的随机分析理论,不是Markov过程就无法与微分算子之间建立联系.但分数布朗运动的增量具有平稳性,自相似性和自相关性.当Hurst指数取值为H ∈(0.5,1)时,分数布朗运动将具备样本路径连续性和长记忆性的特点.由于这两个特点的存在,分数布朗运动可以更好地用于描述现实社会和自然界许多现象的本质属性,例如动力学系统中的噪声驱动、股票价格和指数的行为,图像纹理分析、交通流、智能电网、脑功能信号分析等.而Hurst指数取值为H ∈(0,0.5)时,分数布朗运动的增量是负相关的且不具备长相关性,可以用来模拟具有间歇性和瞬时性的序列,但探索其驱动的随机微分系统变得更难,目前研究成果相对较少.因此本文主要讨论Hurst指数取值为H ∈(0.5,1)时分数布朗运动驱动的随机微分系统的稳定性.
目前,分数布朗运动在动力学系统中产生的随机扰动现象开始引起部分学者的关注,成果主要研究相应输入噪声模型的分析与控制问题.Zhou等[1]研究了分数布朗运动干扰下滞后神经网络的稳定性.Khosro等[2]研究了分数布朗运动干扰下伊藤随机系统的滑模观测器设计.Yan等[3]研究了分数布朗运动干扰下滞后神经网络的自适应状态估计.Lu等[4]研究了分数布朗运动干扰下线性系统的鲁棒H∞滤波.目前还没有文献分析分数布朗运动对广义随机系统稳定性的影响问题,因此本文致力于讨论分数布朗运动干扰下广义随机系统如何实现正则、无脉冲和随机稳定.另外,为了处理分数布朗运动特有的Malliavin导数,本文选取了与Malliavin导数有关的新型Lyapunov函数.利用线性矩阵不等式得到了Malliavin导数部分使得系统有限时间随机有界的条件,这是本文的特色之一.
状态观测器的设计在控制理论及应用研究中具有重要的意义和工程背景[5].目前常用的观测器增益矩阵的定义方法在实际应用和仿真实验时具有一定的局限性.滑模控制是一类能实现线性系统和非线性系统鲁棒控制的方法[6-7].现阶段基于观测器的滑模控制方法受到越来越多学者的关注和研究[8-9].如何设计滑模面函数来解决观测器的状态估计和增益矩阵定义问题,如何设计滑模控制器来实现滑模面有限时间可达问题,是研究基于观测器的滑模控制方法需要解决的关键技术.
基于上述讨论,本文考虑分数布朗运动干扰下时滞广义随机系统的基于观测器的滑模控制问题研究.为解决上述两个关键技术问题,本文研究了滑模面函数的设计,观测器增益矩阵的定义,系统有限时间随机有界性分析以及滑模面可达性分析问题.最后要通过数值仿真来验证所提方法和技术的有效性.
在完备的概率空间(Ω,F,P)上,考虑如下带分数布朗运动干扰的广义随机系统:
其中:x(t)∈Rn是状态向量,u(t)∈Rm是输入向量,y(t)∈Rq是输出向量.φ(θ)是相容的初始条件.Σ是满足rankΣ=nd<n的奇异实矩阵,A,Ad,B,D和C是具有合适维数的实数常矩阵.ΔA(t)和ΔAd(t)是参数不确定项.τ≥0 是时间滞后.BH(t)是在概率空间(Ω,F,P)上满足Hurst指数H ∈(0.5,1)的一维分数布朗运动.
假设1矩阵对(A,B)是完全可控的且rankB=m.矩阵对(A,C)是完全可测的且rankC=q.
假设2参数不确定项ΔA(t)和ΔAd(t)满足
其中:M,N,Md和Nd是具有合适维数的常矩阵,F(t)和Fd(t)是具有Lebesgue可测元的未知函数矩阵并且FT(t)F(t)≤I和(t)Fd(t)≤I.
对带有分数布朗运动的广义随机系统
设Lyapunov 函数V(t,x)∈C2,1,那么存在无穷小算子LH使得
定义1[10]设广义随机系统(2),对任意(t,x),如果存在Lyapunov函数V(t,x)∈C2,1满足
并且使得LHV(t,x)≤0,那么广义随机系统(2)是随机稳定的.
定义2[11]设时滞广义系统
如果矩阵对(Σ,A)和(Σ,A+Ad)满足
则称广义系统(8)是正则的.如果矩阵对(Σ,A)和(Σ,A+Ad)满足
则称广义系统(8)是无脉冲的.
定义3[12]设广义随机系统(1)是正则,无脉冲的,那么
1) 对相容的初始条件φ(θ),如果存在正数δ(φ(·))>0使得‖x(s)‖2ds}≤δ(φ(·)),则称广义随机系统(1)是随机稳定的.
2) 如果广义随机系统(1)是正则,无脉冲且随机稳定的,则称(1)是随机容许的.
定义4[13]给定时间区间[0,Tf],常量0<c1<c2,和对称正定矩阵P >0.如果广义系统(1)是正则,无脉冲的,且满足
则称广义系统(1)是关于参数(c1,c2,[0,Tf],P)有限时间随机有界的.
引理1[11]对合适维数的矩阵M,N和F(t),如果FT(t)F(t)≤I,那么存在任意常数α >0使得
对系统(1),设计如下不受分数布朗运动BH(t)扰动的时变增益状态观测器:
其中yε(t)∈Rm是误差系统的输出向量.
对观测器系统(9),设计积分型滑模面函数:
其中:G ∈Rm×n使得GB为非奇异矩阵,滑模面增益矩阵K的选取在下面的定理1中给出.根据滑模控制策略,当系统轨迹到达滑模面时,应满足s(t)=0和(t)=0.因此等效控制器可推导得
下面将分析误差系统(10)和滑动方程(13)的有限时间随机有界性,进一步讨论滑模面可达性问题.
证为了处理分数布朗运动对系统稳定性的影响,在时间区间[0,Tf]上定义与Hurst指数相关的新型Lyapunov函数为
其中f(t)由系统(10)定义,P为对称正定矩阵且满足引理1条件ΣTP=PE≥0.可以推导得V(t,x)满足条件(6).根据定义1的条件,可以推导得V(t,x)满足条件(7),即
再利用式(3)可得
为了实现LHV(t)≤0,进行如下处理和分析:
首先,对系统(10)的两端求数学期望,再根据E{dBH(t)}=0,得E{Σdε(t)}=E{f(t)dt}.由于引理1条件ΣTP=PΣ≥0 成立,根据Jensen 不等式和文献[14]知,存在0 ≤τ(t)≤τ和矩阵S1,S2,使得下式成立:
根据Schur 补引理可知,Γ1≤0,Γ2<0分别等价于定理1中条件(15)-(16)成立.
由于在时间区间[0,Tf]内有下列不等式成立
综上,根据定义3-4可得误差系统(10)是关于(c1,c2,Tf,X)有限时间随机有界的. 证毕.
假设Σ=I,广义随机系统(1)退化到正常系统.根据文献[15],可得如下推论.
推论1设E=I,广义随机系统(1)退化为带分数布朗运动的正常系统.如果存在如定理1中定义的矩阵X >0,R1>0,R2>0,S1,S2,V,Y,Q1>0和Q2>0 使得条件(15)-(17)成立,其中式(15)(17)中的Σ取值为Σ=I,那么退化后的正常系统是关于(c1,c2,Tf,X)有限时间随机有界的.
下面将考虑该滑模面函数的有限时间可达性问题.
定理2对带分数布朗运动干扰的广义随机系统(1),选取状态观测器(9)和滑模面函数(11),如果定义滑模控制器为
其中δ1>0和δ2>0为常数.那么广义随机系统(1)的观测器状态轨迹可在有限时间
内最终到达滑模面s(t)=0并作稳定的滑动运动.
证s(t)=0时系统已进入滑动模态区作滑动运动,此时的控制器选取为等效控制器(12).现在分析s(t)/=0时系统对滑模面的可达性.当s(t)/0时,根据式(9)(11)可得
根据式(31),沿着滑模面函数(32)对V1(t)求导可得
进一步地推导可知
那么对式(35)两端求导,知存在时间常数
使得观测器的状态轨迹在t≤T时间内到达滑模面s(t)=0. 证毕.
注1为避免趋近运动中‖s(t)‖过小发生奇异问题,滑模控制器(31)采用高增益反馈形式u(t)=-来代替传统形式u(t)=-ksgn(s(t)),其中δ1>0的存在能够提高滑模面的趋近速率,达到响应快且削弱抖振的目的.另外,在仿真应用中,常数δ2>0的取值需要适当减小,也是为了提高滑模面的趋近速率从而削弱抖振.但δ2的选取不宜过小,否则会使滑模面的到达时间延长.
算例1对系统(1),定义矩阵参数为
取Hurst指数H=0.75.定义参数不确定项为F(t)=0.5e-t且
利用MATLAB求得满足定理1条件的下列解矩阵:
因此,该数值算例在定理1条件下是有限时间随机有界的.
数值仿真结果如图1-4所示.其中滑模控制器(31)的参数取值为δ1=0.01和δ2=2.针对分数布朗运动,该算例进行了6次重复独立实验,图1给出了6次独立实验的分数布朗运动路径图像.在这6次独立分数布朗运动路径下分别进行了系统的滑模控制研究.
图1 6个相互独立的分数布朗运动样本路径Fig.1 6 individual sample paths of the fractional Brownian motions
图2给出了6次独立实验对应的滑模控制器曲线和滑模面函数曲线.
图2 6个独立样本路径下的控制器曲线和滑模面函数Fig.2 The controllers and sliding mode surfaces with 6 individual paths
图3给出了6次独立实验下误差轨迹曲线图,通过图3可以看出本文设计的观测器是有效可行的.最后,图4给出了6次独立实验后原系统状态和观测器状态的均方轨迹曲线图,说明本文设计的滑模控制器是有效可行的.
图3 6个独立样本路径下的误差轨迹曲线Fig.3 The error trajectories with 6 individual paths
图4 原状态和观测器状态的均方轨迹曲线Fig.4 The mean square of state trajectories and observer trajectories
算例2将本文方法和结论应用在文献[10]的Example5.2中,针对分离式飞机控制系统模型进行仿真和对比验证.此时系统(1)退化为正常系统.根据本文定理1,可求得可行解矩阵
图5给出了6次独立实验后原系统状态和观测器状态的均方轨迹曲线.说明本文方法是有效可行的.
图5 6个独立实验后原状态和观测器状态的均方轨迹曲线Fig.5 The mean square of state trajectories and observer trajectories with 6 individual sample paths
最后取Hurst指数H=0.6,0.7,0.8,0.9,分别用本文和文献[10]中方法对该算例进行了6次独立实验.表1给出了6次独立实验后状态均方轨迹满足‖x(t)‖<0.01和<0.01,t≥T0.01的收敛时间T0.01的对比结果,其中x(t)和分别表示本文和文献[10]中的状态均方轨迹.
通过表1可以看出,本文所提方法的收敛时间优于文献[10]的收敛时间.
表1 收敛时间的对比结果Table 1 Comparing results about converge time
在分数布朗运动干扰和时间滞后条件下,本文对广义随机系统的有限时间随机有界性问题进行了分析.给出了不受分数布朗运动干扰的状态观测器的设计和积分型滑模面函数的构造.通过建立与Hurst 指数相关且带有二重积分的新型Lyapunov函数,得到了误差系统有限时间随机有界的充分条件并实现了观测器增益矩阵的选取问题.然后分析了滑模面函数有限时间内可达性并得到了到达时间上限.最后数值仿真验证了本文所提方法的可行性.关于滑模控制中存在的抖振问题,将在今后的研究中进一步的讨论和分析.本文研究的分数布朗运动和观测器增益矩阵设计方法将为后续研究网络控制系统和多自主体系统提供参考价值.