基于MWOA-ELM代理模型的有限元模型修正*

赵 宇, 彭珍瑞

(兰州交通大学 机电工程学院，甘肃 兰州 730070)

0 引 言

有限元模型(finite element model,FEM)可以分析不同运营条件下结构的行为。然而，有限元分析结果和实际结构响应存在着差异。因此，对有限元模型进行修正，减小有限元模型与实际结构之间的差异，提高有限元分析的精确性很有必要[1]。有限元模型修正(finite element model updating,FEMU)分为基于模态参数和频响函数的模型修正方法。其中，基于频响函数的方法不需要进行模态分析，直接使用振动测试所得的频响函数矩阵，修正结果较为精确。

在模型修正的过程中需要重复调用有限元模型进行响应的计算，导致修正效率低下。代理模型(surrogate model,SM)能够建立结构参数与响应之间的隐式关系，替代有限元模型。响应面模型(response surface model,RSM)等在模型修正中得到应用[2～4]。极限学习机(extreme learning machine,ELM)作为一种基于单隐层前馈神经网络(single-hidden layer feedforward neural networks,SLFNs)的快速学习算法，以其较快的学习速度和泛化能力引起了关注[5,6]。

FEMU问题可以归结为非线性优化问题。传统的优化方法计算量大，会陷入局部最优。遗传算法(genetic algorithm,GA)等智能优化算法被引入模型修正[7,8]。鲸鱼优化算法(whale optimization algorithm,WOA)是一种新型群体智能优化算法，模拟自然界中鲸鱼的群体捕食行为[9]。文献[10]提出基于Lévy飞行的鲸鱼优化算法(Lévy flight based whale optimization algorithm,LWOA)。目前，ELM代理模型构建及WOA在FEMU应用中鲜有见到。

本文利用改进的鲸鱼优化算法(modified whale optimization algorithm,MWOA)优化ELM的输入层权值及隐层节点阈值，将MWOA-ELM作为代理模型，建立修正参数与加速度频响函数(acceleration frequency response function,AFRF)之间的关系，替代有限元模型。并以频域准则构建修正目标，结合MWOA获取修正参数实现FEMU。

1 改进的鲸鱼优化算法

1.1 LWOA

LWOA是在基本WOA搜索机制中加入了Lévy飞行行为。LWOA通过以下几种行为更新搜索代理(座头鲸)位置捕获猎物。

1)猎物包围

X(t+1)=X*(t)-A·D

(1)

D=|C·X*(t)-X(t)|

(2)

式中A=2a·r-a;a=2-2t/tmax;C=2·r;r为[0,1]间的随机向量；t为当前迭代次数；tmax为最大迭代次数；X(t)为当前位置向量；X*(t)为当前最优解位置向量。

2)Bubble-net狩猎

(3)

式中D′=|X*(t)-X(t)|;b为定义对数螺旋线形状的常量；l为[-1,1]间的随机数；p为[0,1]间的随机数。

3)猎物搜索

X(t+1)=Xr(t)-A·D

(4)

D=|C·Xr(t)-X(t)|

(5)

式中Xr(t)为随机搜索位置向量。

4)Lévy飞行策略

X(t+1)=X(t)+α0(X(t)-X*(t))⊕Levy

(6)

1.2 MWOA

1)Gauss混沌初始化策略

为提高算法求解效率，采用Gauss混沌初始化策略产生混沌初始种群

(7)

2)非线性调整策略

为加快算法收敛速度，加入非线性收敛策略

(8)

3)自适应权重系数

(9)

(10)

(11)

2 优化ELM模型建立

2.1 ELM模型

ELM包含输入层、隐含层和输出层。给定N组训练样本集(xi,ti)，xi=[xi1,xi2,…,xin]T∈Rn，ti=[ti1,ti2,…,tim]T∈Rm，则网络输出

(12)

式中L为隐含层节点数；wi为输入层节点与第i个隐含层节点间的权值向量；βi为第i个隐含层节点与输出层节点间的权值向量；bi为第i个隐含层节点的阈值；g(·)为激活函数。

式(12)可表示为矩阵形式

Hβ=T

(13)

则有隐含层输出矩阵

(14)

式中β=[β1,β2,…,βL]T为输出权值矩阵；T=[t1,t2,…,tN]T为目标矩阵。

由文献[5]得到式(13)的最小二乘解

(15)

式中H+为隐含层输出矩阵H的Moore-Penrose广义逆。

2.2 MWOA优化ELM模型

采用MWOA优化ELM输入层权值和隐含层节点阈值。将ELM输入层权值w和隐含层节点阈值b作为MWOA每一条座头鲸，以ELM样本集期望输出与实际输出的均方根误差(root mean square error,RMSE)为适应度函数，通过更新搜索代理位置，得到优化后的输入权值和阈值。

3 频响函数与频域准则

3.1 频响函数

对于多自由度阻尼系统，加速度频响函数

(16)

式中M,C和K分别为n×n维质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；ω为激励频率。

3.2 频域准则及目标函数

通过频率响应置信准则(frequency response assurance criterion,FRAC)和频率幅值置信准则(frequency amplitude assurance criterion,FAAC)衡量有限元模型与实际结构AFRF之间的相关程度

FRACj=

(17)

FAACj=

(18)

式中 {HX(ωi)}j和{HA(ωi)}j分别为第j个自由度频率ωi上的试验和有限元模型AFRF向量；FRAC∈[0,1]；FAAC∈[0,1]。

使用MWOA-ELM预测AFRF向量替代{HA(ωi)}j。以MWOA-ELM模型与试验AFRF频域准则为目标函数

(19)

式中w1和w2为权重，w1+w2=1。

4 数值算例

采用图1所示的平面桁架，材料弹性模量E=210 GPa，材料密度ρ=7 850 kg/m3。利用ANSYS建立有限元模型，桁架有26个节点和49个杆件单元。除节点1和节点25外，每个节点有x,y方向2个平动自由度，共49个自由度。

图1 平面桁架

4.1 参数灵敏度分析

结构在服役时刚度会降低，刚度与弹性模量和截面尺寸相关，一般截面尺寸保持不变[8]。通过降低弹性模量来模拟“试验”值。激励点和测点分别选取在节点19,节点4的竖向自由度上。对杆件的弹性模量扰动2%，结构AFRF对参数的灵敏度如图2所示。

图2 桁架响应对参数的灵敏度

选取灵敏度最高的E15,E32,E34作为待修正参数，将E15，E32，E34的初始有限元值降低15%模拟“试验”值，试验值E=178.5 GPa。

4.2 MWOA-ELM模型建立与检验

采用拉丁超立方抽样(Latin hypercube sampling,LHS)，对3个待修正参数抽样100组，并代入式(16)计算AFRF。以待修正参数为样本输入，AFRF为输出，建立MWOA-ELM模型。激活函数为Sigmoid函数，隐含层节点数为60。鲸鱼数量为20，最大迭代次数为100。利用MATLAB编程，程序运行20次，求其平均值。WOA，LWOA及MWOA优化ELM适应度值迭代曲线如图3所示。

图3 优化ELM适应度值迭代曲线

从图3可知，与WOA，LWOA相比，MWOA迭代速度快，计算精度高。模型的有效性通过RMSE和决定系数R2评价。RMSE趋于0，R2趋于1，意味着模型具有较好的精度。ELM及优化ELM模型预测RMSE值如图4所示。从图4可知，优化后的ELM模型，其RMSE值均有所减小。其中，MWOA-ELM模型的RMSE值最小，RMSE均值为3.098×10-6，R2为1。

图4 ELM及优化ELM预测RMSE值

4.3 待修正参数MWOA优化

建立MWOA-ELM模型，采用MWOA求解式(19)。并将修正结果与GA方法进行对比。权重值取为0.5，种群大小为50，最大迭代次数为200。设定GA参数：交叉概率0.9，变异概率0.1。同时，考虑到噪声对试验值的影响，此处对试验频响函数加入3 %的噪声。修正后的参数值对比如表1所示。由表1可知，基于MWOA-ELM的模型修正方法较GA方法可以获得较为准确的修正结果。在考虑测量噪声时，修正结果误差最大值从15 %降到1 %以内。不考虑测量噪声时，误差最大值为0.003 2 %。修正后的加速度频响函数如图5所示。从图5可以看出，MWOA-ELM模型修正后的AFRF与试验值有很好的吻合。

表1 修正后结果对比

图5 修正后模型、试验模型及有限元模型频响函数

5 结 论

本文提出了一种基于AFRF频域准则的模型修正方法，将MWOA-ELM模型用于结构FEMU中。MWOA较原有WOA,LWOA，寻优效率得到了显著提升。所建MWOA-ELM模型预测效果更好。修正结果相较于GA，寻优精度高。算例结果表明，在3 %噪声下修正后的参数误差控制在1 %以内。有效验证了MWOA-ELM作为代理模型在FEMU中的应用可行性。